數(shù)學(xué)建模人口增長(zhǎng)詳解

1、數(shù)學(xué)建模摘要:人口的增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題作為世界上人口最多的國(guó)家，我國(guó)的人口問題是十分突出的由于人口基數(shù)大盡管我國(guó)已經(jīng)實(shí)行了20多年的計(jì)劃生育政策人口的增長(zhǎng)依然很快，巨大人口壓力會(huì)給我國(guó)的社會(huì)政治經(jīng)濟(jì)醫(yī)療就業(yè)等帶來了一系列的問題。因此研究和解決人口問題在我國(guó)顯得尤為重要。我們經(jīng)常在報(bào)刊上看見關(guān)于人口增長(zhǎng)預(yù)報(bào)，說到本世紀(jì)，或下世紀(jì)中葉，全世界的人口將達(dá)到多少億。你可能注意到不同報(bào)刊對(duì)同一時(shí)間人口的預(yù)報(bào)在數(shù)字商場(chǎng)有較大的區(qū)別，這顯然是由于用了不同的人口整張模型計(jì)算出來的結(jié)果。人類社會(huì)進(jìn)入20世紀(jì)以來，在科學(xué)和技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時(shí)世界人口也以空前的規(guī)模增長(zhǎng)。人口每增加十億的時(shí)間，

2、有一百年縮短為十幾年。我們賴以生存的地球已經(jīng)攜帶著他的60億子民踏入下一個(gè)世紀(jì)。長(zhǎng)期以來，人類的繁殖一直在自然地進(jìn)行著，只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律以及如何驚醒人口控制等問題。本文件里兩個(gè)模型：(1):中國(guó)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。(2)：中國(guó)人口的Logistic圖形，標(biāo)出中國(guó)人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。而且利用MATLAB圖形，標(biāo)出中國(guó)人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測(cè)曲線和兩種預(yù)測(cè)模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差。關(guān)鍵詞：指數(shù)增長(zhǎng)模型Logistic模型MATLA

3、B軟件人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)1 .問題的提出下表列出了中國(guó)1982-1998年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1982年為起始年(t=0),N0=0B萬人，Nm=200000萬人。年人口(萬)198210165419831030081984104357198510585119861075071987109300198811102619891127041990114333年人口(萬)19911158231992117171199311851719941198501995121121199612238919971236261998124810要求：(1)建立中國(guó)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比

4、較。(2)建立中國(guó)人口的Logistic模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。(3)利用MATLAB圖形，標(biāo)出中國(guó)人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測(cè)曲線。(4)利用MATLAB圖形，畫出兩種預(yù)測(cè)模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差?！咀ⅰ砍Ｎ⒎址匠桃浑A初值問題的MATLAB庫函數(shù)為：ode45。語法為：t,Y=ode45(odefun,tspan,y0)2 .問題的分析人口的變化受到眾多方面因素影響，因此對(duì)人口的預(yù)測(cè)與控制復(fù)雜，很難再一個(gè)模型中綜合考慮到各個(gè)因素的影響。要預(yù)報(bào)未來若干年的人口，最重要的影響因素自然是今年的人口和今后這些年的增長(zhǎng)率(即人口出生率減去死亡率)，根據(jù)這

5、兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行人口預(yù)報(bào)是十分容易的。例如根據(jù)我國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)陳芳、史忠英：人口增長(zhǎng)的年齡結(jié)構(gòu)模型局1990年10月30日歸表的公報(bào)。1990年7月1日我國(guó)人口總數(shù)為11.6億過去8年的平均年增長(zhǎng)率為1.48%。如果今后的年增長(zhǎng)率保持這個(gè)數(shù)字，那么容易算出，一年后我國(guó)人口為11.6*(1+1.0148)=11.77(億)，10年后即2000年警衛(wèi)116*(1+0.0148)人10=13.44(億)。這種算法用式子表示也十分簡(jiǎn)單。記人口為X0,k年后人口為Xk,年增長(zhǎng)率為r則預(yù)報(bào)公式為：Xk=X0(1+r)Ak(1)顯然，這個(gè)公式的基本前提是年增長(zhǎng)率r保持不變。這個(gè)條件在什么情況下才能成立，如果不成立又

6、該怎么辦。在歷史上，人口模型的發(fā)展過程回答這個(gè)問題。早在18世紀(jì)人們就開始進(jìn)行人口預(yù)報(bào)工作了，一二百來年發(fā)展了許多模型，指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型是其中最簡(jiǎn)單的兩種模型。3 .模型一3.1 模型假設(shè)：(1)假設(shè)不存在某抽樣年齡段出現(xiàn)0死亡概率(2)假設(shè)人口平穩(wěn)增長(zhǎng)，無大行自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)等因素影響(3)假設(shè)境內(nèi)外遷移率對(duì)我國(guó)未來人口影響不計(jì)(4)人口凈增長(zhǎng)率(即出生率減去死亡率)為常數(shù)(5)時(shí)刻t的人口函數(shù)是連續(xù)可微的3.2 名詞解釋與符號(hào)說明t表示年份(選定初始年份t=0)r表示人口增長(zhǎng)率x表示人口數(shù)量3.3 模型的建立及求解記時(shí)刻t的人口為x(t)當(dāng)烤翅一個(gè)國(guó)家或一個(gè)很大的地區(qū)人口時(shí)

7、，x(t)是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x(t)視為連續(xù)的，可微的函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0)的人口為X0,人口增長(zhǎng)率為r,r是單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增長(zhǎng)量與x(t)的比例系數(shù)。根據(jù)r是常數(shù)的基本假設(shè)，t到t+At時(shí)間內(nèi)人口的增量為：x(t+At)-x(t)=rx(t)At于是x(t)滿足如下的微分方程：dx/dt=rxx(0)=x0(2)有這個(gè)線性常系數(shù)微分方程容易得出x(t)=x0*eA(rt)表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)(r>0)。將t以年為單位離散化，(3)是表明，人口以eAr為公比的等比數(shù)列增長(zhǎng)因?yàn)檫@時(shí)候r表示年增長(zhǎng)率通常r<<1,所以可用近似關(guān)系eAr=

8、1+r可得出x(t)=x0(1+r)At(4)(1) 式與(4)式比較克制前面給出的預(yù)報(bào)公式(1)不過是指數(shù)增長(zhǎng)模型離散形式得近似表示。(2) 由(3)或(2)式給出的模型，與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好的吻合。數(shù)學(xué)建模3.4 模型檢驗(yàn)98年由指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)出的人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)相差最小，而且其他年份的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間有差別年實(shí)際人口(萬人)指數(shù)增長(zhǎng)模型(萬人)誤差199111433319921158231156162071993117171116914257199411851711822629119951198501195532971996121121120894227

9、199712238912225113819981236261236233其中人口的自然增長(zhǎng)率為這幾年的平均增長(zhǎng)率r=0.01116,指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果很好額反映了實(shí)際情況。按此模型預(yù)測(cè)現(xiàn)在中國(guó)人口已超過13億，到2016年中國(guó)人口將超過15億。我們看到，盡管中國(guó)人口調(diào)控政策比較得力，但中國(guó)近幾年處于高生育期，按指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果均比實(shí)際人口要少。同時(shí)由于中國(guó)人口調(diào)控政策比較得力，中國(guó)人口的自然增長(zhǎng)率在逐年下降，已經(jīng)從1991年的千分之十五降到1998年的千分之十左右。而按照近幾年的平均增長(zhǎng)率r=0.01116預(yù)測(cè)，肯定和實(shí)際之間有一定的誤差。隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人

10、口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來越明顯。如果當(dāng)人口較少時(shí)人口增長(zhǎng)率還可以看做常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少，許多國(guó)家人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況完全證明了這點(diǎn)。為了生存及人類文明程度的不斷提高，順其自然地會(huì)采取有效措施來控制人口的增長(zhǎng)，使增長(zhǎng)率成為一個(gè)遞減數(shù)，而可供人類生存的自然資源、環(huán)境等條件也為人口數(shù)量的最大值給予了強(qiáng)硬的限制。這就導(dǎo)致了比較適合于人口發(fā)展規(guī)律的新數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。3.5 模型的應(yīng)用于推廣用指數(shù)增長(zhǎng)模型的確可以預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng)但是他只適合與短期的人口預(yù)測(cè)，為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)時(shí)期預(yù)報(bào)更好的符合實(shí)際情況，必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)假

11、設(shè)了。為了生存及人類文明成都的不斷提高，順其自然的回采取有效措施來控制人口增長(zhǎng)，式增長(zhǎng)率成為一個(gè)遞減數(shù)而可供人類生存的自然資源、環(huán)境等條件也為人口數(shù)量的最大值給予了強(qiáng)硬的限制。這就導(dǎo)致了比較適合于人口發(fā)展規(guī)律的新數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。4 .模型二4.1 假設(shè)(1)地球上的資源有限，設(shè)為1；而一個(gè)人的正常生存需要占用資源1/P*(2)在時(shí)刻t,人口增長(zhǎng)速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，為簡(jiǎn)單起見也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源s-1-P/P*成正比；比例系數(shù)r*表示人口固有增長(zhǎng)率；(3)社人口數(shù)P(t)足夠大，可以視為連續(xù)變量處理，且P(t)關(guān)于t連續(xù)可微。陳芳、史忠英：人口增長(zhǎng)的年齡結(jié)構(gòu)模型4.2 符號(hào)說明t年份(初始年

12、份t=0)r人口增長(zhǎng)率p人口數(shù)4.3 模型建立與求解由模型假設(shè)可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率r視為人口數(shù)P(t)的函數(shù)，由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制，r(P)應(yīng)是P(t)的減函數(shù)，特別是當(dāng)P(t)達(dá)到極限承載人口數(shù)P*時(shí)，應(yīng)有凈增長(zhǎng)率r(P)=0,當(dāng)人口數(shù)P(t)超過P*時(shí)，應(yīng)當(dāng)發(fā)生負(fù)增長(zhǎng)?；谌缟舷敕?，可令r(P)=r*s=r*(1-P/P*).用r(P)代替指數(shù)增長(zhǎng)模型中的r到處如下微分方程模型dP/dt=r*P(1-P/P*)P(t0)=P0(2)這是個(gè)伯努利方程的初值問題，其解為：P(t)=-F?在這個(gè)模型中，我們考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用，因而稱卬：于丁'-1工，為阻滯增長(zhǎng)模型(或

13、Logistic模型)其圖形如圖3-34.4 模型檢驗(yàn)從圖3-3可以看出人口總數(shù)具有如下規(guī)律:當(dāng)人口數(shù)的初始值P0>P*時(shí)人口曲線(虛線)單調(diào)遞減，而當(dāng)人口數(shù)的初始值P0<P*時(shí)，人口曲線(實(shí)線)單調(diào)遞增；無論人口處置如何，當(dāng)t趨向正無窮他們彳t趨于極限值P*。4.5 模型討論阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足，可以被用來做相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè)。但我們可以從一些有關(guān)我國(guó)人口預(yù)測(cè)的資料發(fā)現(xiàn)這樣的預(yù)測(cè)結(jié)果：在直到2030年這一段時(shí)間內(nèi)，我國(guó)的人口一直將保持增加的勢(shì)頭，到2030年前后我國(guó)人口將達(dá)到最大峰值的16億，之后，將進(jìn)入緩慢減少的過程一一這是一條非單調(diào)的曲線，即說

14、明其預(yù)測(cè)方法不是本節(jié)提到的兩種方法的任何一種。還有比指數(shù)增長(zhǎng)模型、阻滯模型更好的人口預(yù)測(cè)方法嗎？事實(shí)上，人口的預(yù)測(cè)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，影響人口增長(zhǎng)的因素除了人口基數(shù)與可利用資源量外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關(guān)，特別在做中短期預(yù)測(cè)時(shí)，我們希望得到滿足一定預(yù)測(cè)精度的結(jié)果，比如在剛剛經(jīng)歷過戰(zhàn)爭(zhēng)或是由于在特定的歷史條件下特殊的人口政策等，這些因素本身以及由此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)就會(huì)變的相當(dāng)重要，進(jìn)而需要必須予以考慮。數(shù)學(xué)建模5 .模型作圖X1011105圈：人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)綠線：人口的指數(shù)增長(zhǎng)曲線6o1012141618115,r=0.01116)(國(guó)101654(1982年人口)，與=.(l+r)k,P(t)=紅線：人口的Logistic增長(zhǎng)曲線（?=1600000000,P口二%）左圖為指數(shù)增長(zhǎng)曲線與真實(shí)數(shù)據(jù)的誤差圖，右圖為L(zhǎng)ogistic增長(zhǎng)曲線與真實(shí)數(shù)據(jù)的誤差圖6參考文獻(xiàn)1姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)*II