數(shù)列題型與解題方法歸納總結(jié)

1、知識(shí)框架數(shù)列的概念兩個(gè)基J本數(shù)列數(shù)列的分類(lèi)!數(shù)列的通項(xiàng)公式.函數(shù)角度理解1trt>/,f八.、/'數(shù)列的遞推大系na=d(n之2)an=a1+(n-1)dcn,11n(n-1),Sn=2(7+aj=na1+2dn+am=ap+aq(m+n=p+q)等差數(shù)列J產(chǎn)11等差數(shù)列的定義a等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)a手比數(shù)列的定義工an二手比數(shù)列的通項(xiàng)公式=q(nan=a>2)n1q數(shù)列等比數(shù)列J等比數(shù)列的求和公式Sn="a1anqa1(1q).1-q1-qqja1(q=1)、等比數(shù)列的性質(zhì)anam=apSq(m+n=p+q)公式法分組求和錯(cuò)位相減

2、求和數(shù)列裂項(xiàng)求和求和倒序相加求和累加累積、歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)用掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀(guān)察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。(1)遞推式為an+i=an+d及an+i=qan(d,q為常數(shù))例1、已知an>7兩足an+i=an+2,而且ai=1°求an°例1、解,.an+1-an=2為常數(shù):an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差

3、數(shù)列-an=1+2(n-1)即an=2n-11 .例2、已知aj滿(mǎn)足a=an,而a1=2,求an=?2解二=彳是常數(shù)12是以2為首項(xiàng)，公比為;的等比數(shù)列sLi參考材料an+i=an+f(n)以n=1,2,，(n-1)代入，可得n-1個(gè)等式累加而求ano(3)遞推式為an+1=pan+q(p,q為常數(shù))例4、an中，a1=1,對(duì)于n>1(nCN)有an=3an+2,求an.解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3二a11(1-22n-14n-34n-2(2)遞推式為an+i=an+f(n)1 1例3、已知aj中,an4F=an+2一,求

4、a2 4n2-11111解：由已知可知an+-an=()(2n1)(2n-1)22n-12n1令n=1,2,(n-1),代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)(an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=(3X1+2)-1=4-an+1-an=4,3n"an+1=3an+2-3an+2-an=4,3n1即an=23n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=432,，an-an-1=43n-2,a-ai=4(i+3+32+-+r3)=4(

5、1-3：)1一J把n-1個(gè)等式累加得：.an=23n-1-1說(shuō)明只要和f(1)+f(2)+-+f(n-1)是可求的，就可以由參考材料（4）遞推式為an+i=pan+qn（p,q為常數(shù)）【例5】己如（%中，久V，。=與“+6）-求%就是%+2=（口+8）4+i-aB則可從Q+B二p人二P解得Q,1Qp=-q略解在-工=；%+尸的兩邊乘以2呻導(dǎo)則<+1=<+1,于是可得于是an+1-aan是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類(lèi)型。211例6已知數(shù)列a也曠1,電=2,求an22n4中一切=一（4一切）由上題的解法，得：。=3-2（一）33bnQ,1n1nan=方=3（2）一2（3）說(shuō)明對(duì)

6、于遞推式%尸p%+q,可兩邊除以q叫得尚=7+L引輔助數(shù)列-，&二F），甑同二+1后用qqqqaqq分析a+pa*p2u+3=3Cl,B=3（5）遞推式為an七=pan+qan21解在自p=3+距兩邊減去u得（“+二a*+J=不（+】4）思路：設(shè)an攵=pan+qan,可以變形為參考材料11Sn1-Sn=-an1).(_n_2_n)22E+i是公比為一1,首項(xiàng)為藥-為二1的等比數(shù)列1and=an-an-121 +1an1=an,亍2nan=2+(n-1)2=2n上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2nan是公差為2的等差數(shù)列。(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式此類(lèi)型可

7、利用(n>2)【例7】設(shè)%)前n項(xiàng)的和54工-由。求x與的系；(2)試用n表示an。解(1)由乂=4-%-擊得Sm+i=4_3tl+i2力-工數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。參考材料2、錯(cuò)項(xiàng)相減法:適用于差比數(shù)列(如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比數(shù)列)2.一.q(ii)若已知Sn=pn+qn,則當(dāng)n取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)Sn最P即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法:即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾anM0(i)右已知通項(xiàng)an,則Sn取小U；

8、an1二0項(xiàng)，可求和。2(11)右已知Sn=pn+qn,q一則當(dāng)n取最靠近一2的非零自然數(shù)時(shí)PSn最一.1c適用于數(shù)列>和<anan1小;數(shù)列通項(xiàng)的求法：可裂項(xiàng)為：ananddan1公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；已知Sn(即a+a2+111等比數(shù)列通項(xiàng)公式。an=f(n)求an,用作差大;2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1<0,公差da0,則前n項(xiàng)和Sn有最小值an_§(n=1)一Sn-Sn_1,(n-2)°已知ail_a2J-_an=f(n)求an,用作商法：anan。等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：1、若等差數(shù)列an)的首項(xiàng)a1>0,公差d<0,則前n項(xiàng)

9、和Sn有最大值。an-0(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最大u«；©n1-0f(1),(n=1)Yfrf(n-1)八)已知條件中既有Sn還有an,有時(shí)先求Sn,再求2口；有時(shí)也可直接求若an由一an=f(n)求an用累加法an=(an-an/),(an/-an)HI(a2-a1)十a(chǎn)1(n之2)。參考材料也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.已知a=f（n）求小，用累乘法：20二旦，包工，川三4（n之2）。anananNai已知遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如an=kan+b、an=kanj+bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為

10、公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形如an=kan°+kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。（2）形如an=嘰的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kanbk（3）形如an由=an的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。（8）當(dāng)遇到an+-an,=d或包土=q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果an4可能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將和式“中同類(lèi)項(xiàng)“先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)

11、聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有1 L=”，).n(n1)nn1'n(nk)k%nk，'率111/11、 -2:-2()k2k2-12k-1k11111111kk1(k1)kk2(k-1)kk-1k1111 1=1n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n11=；(n1)!n!(n1)!2(.

12、n1y'n)=2:1：二2二2卜門(mén)7吊-1)nxn1、n.n,n-1、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an(n=1時(shí)，a1=S1,n之2時(shí)，an=Sn-Sn_1)參考材料3、求差（商）法如：Qn滿(mǎn)足1al+a2+2221an=2n52n：二11.解：n=1時(shí)，-21=2X1+5,-21=142“a?解：,a3an12*=一a1a2an.123乂a1二3,二an3n5、等差型遞推公式一.an_1na1n-11n之2時(shí)，-a1+a2+2221聲明=2n-15:二2=2n1問(wèn)14(n=1)一2n1(n_2)由anan=f(n),a1=a0,求an,用迭加法n>

13、2時(shí)，a2-a1=f(2)“a3-a2=f(3)兩邊相加，得：-an-an=f(n).ana1=f(2)+f(3)+f(n)練習(xí)1數(shù)列滿(mǎn)足Sn+Sn+5_can韋，3ai=4,求anan=ao+f(2)+f(3)+f(n)練習(xí)1（注意到an由=&4Sn代入得:ST4數(shù)列anLa1=1,an=3n/+an(n至2),求an又Si=4,（Sj是等比數(shù)列,Sn=4nj-1)n之2時(shí)，an=Sn-Sn=3，4n，4、疊乘法例如：數(shù)列中，a1=3,包工=,求anann-16、等比型遞推公式an=can口+d(c、d為常數(shù)，c=0,c=1,d=0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，改+x=can/+x）參考材料令

14、(c-1)x=d,x,二為等差數(shù)列，2=1,公差為ana12c-1是首項(xiàng)為c-1a1c一1c為公比的等比數(shù)列111i+n-1-=-n+1an22.ananaV)c-1anc-1練習(xí)1cn-數(shù)列On滿(mǎn)足a1=9,3an+an=4,求an(an=844尸2.數(shù)列求和問(wèn)題的方法(1)、應(yīng)用公式法3,+1)等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以7、倒數(shù)法例如：a1=1,an4t=2an,求an1an2n1an211由已知得：=一，一an12an2an111-an1an2下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。,_,口(口+1)1+2+3+n=-21+3+5+(2n-1)=n2,2n(n

15、+l)(2n+l)1+2+5+n=：1*+2'+夢(mèng)+/=獨(dú)尊參考材料和。的J8求數(shù)列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n項(xiàng)的2nCn+1)T2G+。本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+n=1,一n(n+1)個(gè)奇數(shù),2=124n=124nCn+1)(n-1)，最后一個(gè)奇數(shù)為：1+二n(n+1)-1X2=n2+n-12(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫(xiě)與倒因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，然后求和。1鼠=51一4n(ii+1)*14-G?4-n-l)(2)、分解轉(zhuǎn)化法例io、求和：S

16、nuScn+eci+HI+Bncn101例10、解Sn=0C：+3C1n又Sn=3口或十2nC6對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和的J9】求和S=1n2-1)+2-n2-22)+3n2-32)+-+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+-+n3)相加，且運(yùn)用C：=CF可得2sh=3口(C：+C：+C：)=3n，21kSn=3n2n-1(4)、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的參考材料11ri1-n(n+k)knn+k_+川(2n-1)(2n3)11+5-9(2n-l)(2n+3)式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然

17、后錯(cuò)位相減求和.例11、求數(shù)列1,3x,5x2，,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和.解設(shè)Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.當(dāng)"1時(shí)，口二1?.B>(2)x=0時(shí)，Sn=1.(3)當(dāng)xw0且xw1時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+-+2xn-1-(2n-1)xn.由公式知S.=q-1+-(2口-1翼Lx1+x-(2n41)五推+(2n-l)xn+l='(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：111例12、求和+1*53*75*9例3求和三十六

18、=()C(2n-l)C2a+3)42n-l2n+31111111111,n537592口-320+12n-12力+3L111r4l32n+l2n+3n(4n+5)=-區(qū)+僅2口+3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與參考材料負(fù)項(xiàng)一樣多。函數(shù)的圖像開(kāi)口向下-f=f(k)在掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1 .函數(shù)思想此函數(shù)以n為自變量縹屋|也上時(shí)Ja功0最美Sk/田中,.d荏0部此二次2，當(dāng)1+k為偶數(shù)時(shí)，口=三時(shí)S,最大,當(dāng)1+k為奇數(shù)時(shí)，口=2>時(shí)S”最大口運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決。皎13等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai>0,前n項(xiàng)的和為Sn,若Si=Sk(lwk)問(wèn)n為何值時(shí)Sn最大？2 .方程思想解依題意，設(shè)f(11)二S#二口藥十口("Ddf(n)=dn2+(a1-y)nJ-a£j歐M4】設(shè)等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解,.依題意可知qW1。,.如果q=1,則S3=3ai,S6=6ai,S9=9ai。由此應(yīng)推出ai=0與等比數(shù)列不符。,qwi參考材料%(1-q，)aL(1-q6)2nQ-q)有i+i=i1-q1-q1-q