二項(xiàng)式定理-講義

1、二項(xiàng)式定理1 .二項(xiàng)式定理:(a b)n C：an C：an1b C：an rbr | C：bn(n N ),2 .基本概念:二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C： (r 0,1,2, ,n).項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第r 1項(xiàng)C：an rb叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用Tr1 Cnranrbr 表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有(n 1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇a, b,其順序不能更改。(a b)n與(b a)n是不同指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0 ,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減 到n,是升哥排列。

2、各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是 c：,c：,c2, C, ,C：.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù)）4 .常用的結(jié)論：令a 1,b x, (1 x)n C： C：x C：x2Crxr | Cnxn” N )令a 1,b x, (1 x)n Cn0 C：x C2x2 I" C：xr | ( 1)nC；xn(n N )5 .性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 C0 Cn , CnkCn1二項(xiàng)式系數(shù)和：令a b1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn C C2 I" C： “I C：2n變形式 C1 C2

3、III Cn III Cn 2n 1奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和:在二項(xiàng)式定理中， 令 a1,b1C0 C Cn C3 "I ( 1)nCn(1 1)n 0 ,從而得到：C0 C2 c4CnrcnCn HI2r 1Cn12n22n奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:III anxn1axa0n n n 0 0 n 0 -1 n 12 n 2 2 Jn 0 n12(a x)Cna xCnax Cna xCnaxa0a1x a2xn 0 0 n c1 n 12 2 n 2n n 0n2(x a)Cna xCnax Cna xCnaxanx a2x x1d1Ja0a1a2a3U|

4、an(a1)n®令 x 1,則 a0 a1a2 a31M an (a 1)n 得，a。a2 a,"為上萬回支(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)得，為a3 as" a0 (a ”(a 1)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一n項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項(xiàng)n 1 n 1的二項(xiàng)式系數(shù)Cn, C同時取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2, ,An1,設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有Ar 1 Ar ，從而解出r來。Ar 1 Ar 2題型一：二

5、項(xiàng)式定理的逆用;例：C： C2 6 Cn3 62 III C； 6n1 .解：(1 6)n C0 C： 6 Cn 62 C： 63 "I C： 6n與已知的有一些差距，C1C2 公 c32nn1 1 1 公 c22nn、Cn C n 6 C n 6Cn 66 (C n 6 Cn 6Cn 6 )1(C： C； 6 C： 62Cn 6n 1) 1(1 6)n 1 1(7n 1)666練：Cn 3C2 9C：川 3n 1C： .解：設(shè) Sn Cn 3cl2 9C： 3n 0,則3SC13c232C333Cn3n。飛c232c3330n3n1(13)3SnCn3Cn 3Cn3Cn 3C nC

6、n 3Cn 3Cn3Cn 31(13)(1 3)n 14n 1Sn 33題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式(步 舟 的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45 ,求含有x3 的項(xiàng)的系數(shù)解：由條件知Cn 2 45,即C： 45,n2 n 90 0,解得9（舍去）或n 10,由1 210r 2Tr 1 C；0(x 4)10 r(x3)r C；0xF3,，由題意2r 3,解得 r 6,43則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1 C1x3 210x3,系數(shù)為210。練：求(x21)9展開式中x9的系數(shù) 2xr . 2.9 r .1 . r r 18 2r .1 .r r r .1、r 183r用牛.Tr 1

7、 C9 ( x ) ()C9x( ) xC9 ( ) x ? V 18 3r 9 ,2x22則r 3故x9的系數(shù)為C3( 1)321o2 2題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式（x2）10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)5_解：Tr 1 C1r0(x2)10 r(六)r C；0(；)rx 5，令 20 |r 0,得 r 8,所以T9c180(2)845256練：求二項(xiàng)式(2x工)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)2xr 6 r r，1、rr r 6 r 1 r 6 2r斛.Tr1C6(2x)( 1)(1)( 1)Ce2(-)x ，令 6 2r 0 ,彳寸 r 3 ,2x2所以 T4( i)3c620練：若(x2 1

8、)n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n . x解：T5 C：(x2)n4J)4 C：x2n12,令 2n 12 0,得 n 6. x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(五 次)9展開式中的有理項(xiàng)1127 r解：Tr 1 C；(x5)9r( x3)r ( 1)rc9rx =，令巴工 Z,( 0 r 9)得 6r 3或 r 9 ,所以當(dāng) r 3時，竺4, T4 ( 1)3C；x484x4 ,627 r3933當(dāng) r 9 時，3, T10( 1) C9x x。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和= 偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例：若(. x21)n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為解：設(shè)(.此1)n展

9、開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a。® an,令x 1,則有a° & an 0,，令x 1,則有a0 a1 a2 a3( 1) an 2 , dD將-得：2(a a3 a5)2n, a1 a3 a§2n 1有題意得，2n125628, n 9。練：若* ,J)n的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它 的中間項(xiàng)。角昂.C *c0c2 c4c2rC1c3”， c2r12n12n11024川干cncn cncncncncn2)21024)解得n 11所以中間兩個項(xiàng)分別為n 6,n 7, T51 C5(/)6(X)5 462 x 4 ,61T6 1 462 x 1

10、3題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知(1 2x)n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 2成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少 解：；C4 C6 2C5, n2 21n 98 0,解出 n 7或 n 14,當(dāng) n 7 時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5 T4的系數(shù)C73(-)423 35, 22T5的系數(shù)C；(1)324 70,當(dāng)n 14時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 丁8,T8 的系數(shù)C74(1)727 3432。2練：在(a b)2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n 1 Tn 1,也就是

11、第n 1項(xiàng)。2練：在（23）n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中23 x的常數(shù)項(xiàng)是多少解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則n 1 5,即n 8,所以展開式中常2數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于c：（1）2 72練：寫出在（a b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)系數(shù)最小的項(xiàng)解：因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有 T4C3a4b3的系數(shù)最小，T5 C4a3b4系數(shù)最大。練：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于 79,求（1 2x）n的展開式中 2系數(shù)最大的項(xiàng)解：由Cn（2C： C2 79,解出n 12,假設(shè)Tr1項(xiàng)最大,_ 122x)1 12(12124

12、x)Ar 1Ar 1ArAr 2C；24rC；24rC r 1 r 1：化簡得到9.4 r 10.4,又r 12,C11214r 1(練：在（1 2x）1°的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少r 10,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為"，有I, T&Tx10 16896x10解：假設(shè)Tr1項(xiàng)最大，TT Tr 1 C1r0 2rxrArArArAr 2&2&2_ r 1C10 2_ r 1C10 2解得2（112）（10,r），化簡得到6.3 k 7.3,又;0 r 10, T8 C17027x7 15360x7.r 7 ,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng);

13、例：求當(dāng)（x23x 2）5的展開式中X的一次項(xiàng)的系數(shù)解法:(x23x 2)5 (x2 2) 3x5, Tr 1C5(x2 2)5 r(3x)r,當(dāng)且僅當(dāng)1時，1的展開式中才有X的一次項(xiàng)，此時Tr 1 T2 C5(x2 2)43x,所以 x得一次項(xiàng)為 C5c 4 2 43x它的系數(shù)為C1C：243 240解法:/25/,、550 51 450 51 45 c5、(x 3x 2) (x 1) (x 2)(C5xC5xC5)(C5xCsx2C52 )故展開式中含x的項(xiàng)為C；xC；25 C：x24 240x,故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子（xH 2）3的常數(shù)項(xiàng) x解：（x（洞木）6,設(shè)第r 1

14、項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr 1C；( 1)r x6(二) ( 1)6C； x62，得 6 2r 0, r 3,岡T3 1 ( 1)3C6320.題型八：兩個二項(xiàng)式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展開式中X2的系數(shù).解：(1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是cm(2x)m cm 2m xm,(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是 c4 ( x)n c41n xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令m n 2,則 m 0且 n 2,m 1 且 n 1,m 2且n 0,因此(1 2x)3(1 x)4o一n n ood d ddo o nn的 ggzpp/ 上 丫2的玄米。千 p0 Q0221 Q1

15、112 Q200陽展開工中 x 陽東奴寺丁C32C4( 1)C32C4( 1)C32 C4 ( 1)6練:求(1次)6(1 聲)10展開式中白常數(shù)項(xiàng).mm解：(1改)6(11)10展開式的通項(xiàng)為C6mx三. xnC；x 7C6nC1n04m 3n12x 12m0-m3-m6其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m 3n,即 或 或n0,n4,n8,時得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C； C100 C3 C： C6 C180 4246.練:.91n 、. . 、一.、已知(1 x x )(x F)的展開式中沒有吊數(shù)項(xiàng) ，n N且2 n 8,則n . x解：(x q)n展開式的通項(xiàng)為

16、cn xnr x3r cn xn 4r,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xcn xn4r,cn xn4r1,cn xn4r2：展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 n 8n 4r且n 4r 1 且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和;例:在(x 歷2006的二項(xiàng)展開式中，含對勺奇次曷的項(xiàng)之和為 S,當(dāng)xJ2時,S 解：設(shè)(x 72)2006 =aoa1x1a2x2a3x3 111 a2006x2006(xV2)2006=aoaxa2x2a3x3| a2oo6x2006 得 2(ax a3x3a5x5 111 azoosx2005)(x 亞 20

17、06 (x V2)2006(xJ2)2006展開式的奇次曷項(xiàng)之和為S(x) 1(x J2)2006 (x J2) 2006 23 2006當(dāng) x 、2日t,S(',2) 1 ( . 2 、,2 ) 2006 ('.2. 2 ) 20062 2 300822題型十：賦值法;例：設(shè)二項(xiàng)式(3次 3n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P,所有二項(xiàng)式系 x數(shù)的和為S,若p s 272，則n等于多少解:若(3 3x -)n xa0aix2 a2xanxn，有 Pa。aan ,練:解:練:解:練:S C0令 x 1 得 P 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272得 2n 16或2n17(舍

18、去)，n 4.若 3 . x為多少(2n 17)(2 n 16) 0 解n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)n3& 房 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n 6,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為C；(3«)3 (若(1 2x)2009 a0 a1x1 a2x人 1v x ，可信a02在令x 0可得a055右(x 2)a5x64所以3a3xIIITx)3540.2009 a2009x(xR),則 a2a222a2009-20092的值為a1a22221,因而aa20092 2009a22243adxa3xa?x0,a1a222a200922009a0a2009220091a1x1.a0,

19、則 a1a2 a3a4a5解：令 x0#a032,令 x1 彳#a0a1a2a3a4a51,aia2 a3題型十一：整除性;例：證明：32n28n9(n N*)能被64整除證：32n 2 8n 99n 18n 9 (8 1)n 1 8n 90 Q n 11 Q nn 1 Q2n Q1 n 1Cn 18 Cn 18Cn 1 8 Cn 18Cn 18 n 9Cn118nl c1 18nCnn；82 8(n 1) 1 8n 90 Cn 11 cnn 1.2Cn18 Cn 18Cn18由于各項(xiàng)均能被64整除32n 2 8n 9(n N*)能被64整除1.在（2x2I)5的二項(xiàng)展開式中，X的系數(shù)為 X2.(X2 2)(4 1)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是