第三章+線性方程組和矩陣的初等變換

1、本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念秩的概念, ,并提出求秩的有效方法再利并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩反過(guò)來(lái)研究齊次線性方程組有用矩陣的秩反過(guò)來(lái)研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度較大較大. . 引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134

2、2分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程2 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是

3、解得 33443231xxxxx.3為任意取值為任意取值其中其中x方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c 30340111cx即即（2）小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元上述解方程組的方法稱為消元法法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1）交換方程次序；）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍倍ij（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）ik ij（以

4、替換）（以替換）ik i3上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換變換是同解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak ji因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算算若記若記 97963422644121121112)(bA

5、B則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方方程組（程組（1）的增廣矩陣）的變換）的增廣矩陣）的變換定義定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定義定義2 矩陣的矩陣的初等列變換初等列變換與與初等行變換初等

6、行變換統(tǒng)稱統(tǒng)稱為為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類且變換類型相同型相同 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是所用記號(hào)是把把“r”換成換成“c”)jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：；反反身身性性）（A A 1A;B , B A 2則則若若對(duì)稱性對(duì)稱性）（C. AC,BB, A 3則則若若）傳傳遞遞性性（等價(jià)，記作等價(jià)，記作與與就稱矩陣就稱矩陣，矩陣矩陣經(jīng)有限次初等變換變成經(jīng)有限次初等

7、變換變成如果矩陣如果矩陣BABABA具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)例如，兩個(gè)線性方程組同解，例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 23252rrr 243rr 5 0000031000301

8、1040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 21rr 32rr 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c.54都都稱稱為為行行階階梯梯形形矩矩陣陣和和矩矩陣陣BB特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）、可劃出）、可劃出一條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零；5 00000310003011040101B （2）、每個(gè)）、每個(gè)臺(tái)階臺(tái)階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即

9、是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元零元.1 5的的其其他他元元素素都都為為零零列列，且且這這些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一個(gè)個(gè)非非零零元元為為即即非非還還稱稱為為行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣，行行階階梯梯形形矩矩陣陣B.,A nm和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣 注意：注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方

10、程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形 000003100030110401015 B例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 00000301003101041001 00000301003001040001.的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形稱稱為為矩矩陣陣矩矩陣陣BF214ccc 3215334cccc 43 cc .為為零零陣陣，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一個(gè)個(gè)單單位位矩矩F標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的

11、行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個(gè)數(shù)唯一確定，其中三個(gè)數(shù)唯一確定，其中此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由rrnm特點(diǎn)：特點(diǎn)： 所有與矩陣所有與矩陣 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)稱為一個(gè)等價(jià)類等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣單的矩陣.AF1.1.初等行初等行( (列列) )變換變換 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相且變換類型相同同3.3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)矩陣等價(jià)具有的性質(zhì) ;1 反身性反身性 ;2 對(duì)稱性對(duì)稱性 .

12、3 傳遞性傳遞性2.2.A初等變換初等變換B. BA已知四元齊次方程組已知四元齊次方程組 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齊次方程組四元齊次方程組 的通解為的通解為 II .,1 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 02121RkkkkTT .,;,?說(shuō)說(shuō)明明理理由由有有若若沒沒求求出出來(lái)來(lái)若若有有是是否否有有非非零零公公共共解解與與問(wèn)問(wèn)III解解 得得的的通通解解代代入入將將III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解為為與與故故III TTTkkk1 , 1 , 1 , 11 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 0221 所所有有非非零

13、零公公共共解解為為 .01 , 1 , 1 , 1 kkT. , 數(shù)數(shù)是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行階階把把它它變變?yōu)闉樾行须A階變變換換總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣nmA ., 12階子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們?cè)谧兯鼈冊(cè)诓桓牟桓脑卦靥幍膫€(gè)處的個(gè)），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在定義定義kAkAknkmkkkAnm 一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念矩陣的秩矩陣的秩. )(0102等等于于零零并并規(guī)規(guī)定定

14、零零矩矩陣陣的的秩秩的的秩秩，記記作作稱稱為為矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式，數(shù)數(shù)稱稱為為矩矩陣陣，那那末末于于）全全等等階階子子式式（如如果果存存在在的的話話，且且所所有有式式階階子子的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣定定義義ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩陣陣AARAnm ，對(duì)于對(duì)于TA).()(ARART 顯有顯有. 個(gè)個(gè)階階子子式式共共有有的的矩矩陣陣knkmCCkAnm 例例1.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階階子子式式只只有有一一個(gè)個(gè)的的又又AA3. 0322

15、1 ，且且0 A. 2)( AR例例2.00000340005213023012的的秩秩求求矩矩陣陣 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，是一個(gè)行階梯形矩陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR例例3 3，求該矩陣的秩，求該矩陣的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解計(jì)算計(jì)算A的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR做做初初等等變變換換，對(duì)對(duì)矩矩陣陣 510231202231A另解另解,

16、000031202231510231202231 顯然，非零行的行數(shù)為顯然，非零行的行數(shù)為2， . 2 AR此方法簡(jiǎn)單！此方法簡(jiǎn)單！., 梯形梯形等行變換把他變?yōu)樾须A等行變換把他變?yōu)樾须A總可經(jīng)過(guò)有限次初總可經(jīng)過(guò)有限次初因?yàn)閷?duì)于任何矩陣因?yàn)閷?duì)于任何矩陣nmA 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？ . ,1 BRARBA 則則若若定定理理證證二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法).()( BRARBA 則則，經(jīng)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)一次初等行變換變?yōu)橄茸C明：若先證明：若. 0 )( rDrArAR階階子子式式的的某某個(gè)個(gè)，且且設(shè)設(shè)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)BABAkrrriji 時(shí)時(shí)，分分三三

17、種種情情況況討討論論：當(dāng)當(dāng)BAjikrr ,.rrDDB相對(duì)應(yīng)的子式相對(duì)應(yīng)的子式中總能找到與中總能找到與在在, rrrrrrkDDDDDD 或或或或由由于于.)(0 rBRDr ，從而，從而因此因此行行；行行但但不不含含第第中中含含第第）（行行；行行和和第第中中同同時(shí)時(shí)含含第第）（行行；中中不不含含第第）（jiDjiDiDrrr321.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子子式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的中中與與兩兩種種情情形形，顯顯然然對(duì)對(duì)，對(duì)情形對(duì)情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非零子式非零子式階階行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不含第因因

18、riAiDr.)(rBR , 0 rD若若).()( BRARBA ，則，則經(jīng)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)一次初等行變換變?yōu)槿羧?,AB為為也可經(jīng)一次初等變換變也可經(jīng)一次初等變換變又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也有也有則則).()(BRAR 因因此此).()(ARBR 故故也也有有 經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變有限次初等行變換矩陣的秩仍不變 ).()(,BRARBA 也也有有經(jīng)經(jīng)初初等等列列變變換換變變?yōu)闉樵O(shè)設(shè),BA經(jīng)初等列變換變?yōu)榻?jīng)初等列變換變?yōu)樵O(shè)設(shè)).()(),(, BRARBABA 則則即即經(jīng)有限次初等變換變

19、為經(jīng)有限次初等變換變?yōu)槿羧艟C上綜上,TTBA 經(jīng)初等行變換變?yōu)榻?jīng)初等行變換變?yōu)閯t則),()( TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 證畢證畢初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例例4的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩陣陣設(shè)設(shè)AAA,41461351021632305023 階階梯梯形形矩矩陣陣：作作初初等等行行變變換換，變變成成行行對(duì)對(duì)A解解 414613

20、51021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr . 的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階子子式式求求 A , 3)( AR . 3階階的的最最高高

21、階階非非零零子子式式為為知知A階階子子式式共共有有的的 3A . 403534個(gè)個(gè) CC階梯形矩陣為階梯形矩陣為的行的行則矩陣則矩陣記記),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，考察考察A 000400140161, 3)( BR的的前前三三行行構(gòu)構(gòu)成成的的子子式式計(jì)計(jì)算算B .3階非零子式階非零子式中必有中必有故故 B.4個(gè)個(gè)且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 則這個(gè)子式便是則這個(gè)子式便是 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式.A，階階可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)An , 0 A,AA的的最最高高階階非非零零子子

22、式式為為,)(nAR .,EAEA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位陣陣故故.為為滿滿秩秩矩矩陣陣，故故稱稱可可逆逆矩矩陣陣可可逆逆矩矩陣陣的的秩秩等等于于階階數(shù)數(shù).奇奇異異矩矩陣陣為為降降秩秩矩矩陣陣?yán)? 5 4321,6063324208421221bA設(shè)設(shè) .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣bABA 解解),( bABB 的的行行階階梯梯形形矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)分析：分析：的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，就是就是則則AA).()(),(BRARbAB及及中可同時(shí)看出中可同時(shí)看出故從故從 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr

23、143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR三、小結(jié)三、小結(jié)(2)(2)初等變換法初等變換法1. 矩陣秩的概念矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)(1)利用定義利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));思考題思考題?)()(,是否相等是否相等與與為任一實(shí)矩陣為任一實(shí)矩

24、陣設(shè)設(shè)ARAARAT 思考題解答思考題解答相等相等., 0 x因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)于于任任一一實(shí)實(shí)向向量量,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Ax, 0 AxAT必有必有有有時(shí)時(shí)反之當(dāng)反之當(dāng),0 AxAT0 AxAxTT 即即 0 AxAxT; 0 Ax由此可知由此可知,00同同解解與與 AxAAxT .ARAART 故故 .01nARxAnnm 矩矩陣陣的的秩秩的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有非非零零解解元元齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理一、線性方程組有解的判定條件一、線性方程組有解的判定條件的解的解討論線性方程組討論線性方程組的秩，的秩，和增廣矩陣和增廣矩陣如何利用系數(shù)矩陣如何利用系數(shù)矩陣bAxBA

25、問(wèn)題：?jiǎn)栴}：證證必要性必要性. . ,nDnAnAR階非零子式階非零子式中應(yīng)有一個(gè)中應(yīng)有一個(gè)則在則在設(shè)設(shè) ,根據(jù)克拉默定理根據(jù)克拉默定理個(gè)方程只有零解個(gè)方程只有零解所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的 nDn從而從而有有非非零零解解，設(shè)設(shè)方方程程組組0 Ax這與原方程組有非零解相矛盾，這與原方程組有非零解相矛盾， .nAR 即即不不能能成成立立nAR )(充分性充分性. . ,nrAR 設(shè)設(shè).個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量從而知其有從而知其有rn 任取一個(gè)自由未知量為，其余自由未知量為，任取一個(gè)自由未知量為，其余自由未知量為，即可得方程組的一個(gè)非零解即可得方程組的一個(gè)非零解 .個(gè)非零行，個(gè)非零行，的行階梯形矩陣只含的行

26、階梯形矩陣只含則則rA證證必要性必要性,有解有解設(shè)方程組設(shè)方程組bAx ,BRAR 設(shè)設(shè)則則B B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程，方程， .,2的秩的秩陣陣的秩等于增廣矩的秩等于增廣矩矩陣矩陣的充分必要條件是系數(shù)的充分必要條件是系數(shù)有解有解元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組定理定理bABAbxAnnm 這與方程組有解相矛盾這與方程組有解相矛盾. .BRAR 因此因此并令并令 個(gè)自由未知量全取個(gè)自由未知量全取0 0，rn 即可得方程組的一個(gè)解即可得方程組的一個(gè)解充分性充分性. . ,BRAR 設(shè)設(shè) ,nrrBRAR 設(shè)設(shè)證畢證畢個(gè)非零行，個(gè)非零

27、行，的行階梯形矩陣中含的行階梯形矩陣中含則則rB其余其余 個(gè)作為自由未知量個(gè)作為自由未知量, ,rn 把這把這 行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為非自由未知量非自由未知量, ,r小結(jié)小結(jié)有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解. .bAx 方程組的通解方程組的通解性性程組的任一解，稱為線程組的任一解，稱為線定義：含有個(gè)參數(shù)的方定義：含有個(gè)參數(shù)的方齊次線性方程組齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩增廣矩陣化成行階

28、梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221二、線性方程組的解法二、線性方程組的解法施行初等行變換：施行初等行變換：對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 035243243

29、1xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它寫寫成成通通常常的的參參數(shù)數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，進(jìn)行初等變換， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)

30、(, 2)( BRAR顯顯然然，故方程組無(wú)解故方程組無(wú)解例例 求解非齊次方程組的通解求解非齊次方程組的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換進(jìn)行初等變換 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 , 2 BRAR由由于于故方程組有解，且有故方程組有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任任意意其其中中xx所以方程組的通解為所以方程

31、組的通解為例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情況況下下，是是有有解解的的充充要要條條件件證證明明方方程程組組. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解證解證對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，進(jìn)行初等變換，方程組的增廣矩陣為方程組的增廣矩陣為 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR. 051 iia是是方方程程組組有有解解的的充充要要條條件件由于原方程組等價(jià)于方程組由于原方程組等價(jià)于方程組 45

32、4343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)x例例 設(shè)有線性方程組設(shè)有線性方程組 23213213211 xxxxxxxxx?,有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)解解有有解解取取何何值值時(shí)時(shí)問(wèn)問(wèn) 解解 21111111 B 11111112 作作初初等等行行變變換換，對(duì)對(duì)增增廣廣矩矩陣陣),(bAB 2222111011011 32222120011011 22112100111011 ,11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 000000001111B ., 3 方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解 BRAR其通

33、解為其通解為 33223211xxxxxxx .,32為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)xx ,12時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 22120011011 B這時(shí)又分兩種情形：這時(shí)又分兩種情形： :, 3,2)1方方程程組組有有唯唯一一解解時(shí)時(shí) BRAR .21,21,212321 xxx .,故故方方程程組組無(wú)無(wú)解解BRAR ,2)2時(shí)時(shí) 300063304211B nBRAR nBRAR 有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解. .bAx 非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax nAR ;0只只有有零零解解 Ax nAR .0有有非非零零解解 Ax三、小結(jié)三、小結(jié);有唯一解有唯一解bAx 思考題思考題.,

34、?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解況況下下情情在在方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解的的有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解有有唯唯一一解解方方程程組組無(wú)無(wú)解解取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)討討論論線線性性方方程程組組tptxxxxxxpxxxxxxxxxx 思考題解答思考題解答 tpB121051315133163113211解解 191260066402242013211tp 53000422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方程組有唯一解方程組有唯一解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) BRARp 100002100011210132115300042000

35、1121013211ttB有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),2)2( p;, 4)(3)(,1方方程程組組無(wú)無(wú)解解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) BRARt 0000021000302108000100000210001121013211B且且., 3)()(,1方程組有無(wú)窮多解方程組有無(wú)窮多解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) BRARt 組為組為與原方程組同解的方程與原方程組同解的方程).(203801204321Rkkxxxx , 2, 32, 84321xxxx故原方程組的通解為故原方程組的通解為定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣陣稱為初等矩陣. .E三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換

36、對(duì)應(yīng)著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛用廣泛.一、初等矩陣的概念一、初等矩陣的概念 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以數(shù)數(shù)乘乘某某行行或或某某列列；以以數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行或或兩兩列列；kk. 30. 2. 1，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào))(,jirrjiE對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)兩行或兩列、1 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j，得得左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21

37、212111211),(行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣，右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣以以類類似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣 02乘乘某某行行或或某某列列、以以數(shù)數(shù) k).()(0 kiEkriki矩矩陣陣，得得初初等等行行乘乘單單位位矩矩陣陣的的第第以以數(shù)數(shù)

38、1111)(kkiE行行第第i；行行的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù))(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第i類類似似地地，左乘矩陣左乘矩陣以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相當(dāng)于以數(shù)相當(dāng)于以數(shù)，其結(jié)果，其結(jié)果矩陣矩陣右乘右乘以以上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以數(shù)數(shù))()(03 k，列上列上列加到第列加到第的第的第乘乘或以或以行上行上行加到第行加到第的第的第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左左乘乘矩矩陣陣以以

39、AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把，其其結(jié)結(jié)果果相相當(dāng)當(dāng)于于右右乘乘矩矩陣陣類類似似地地，以以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111)( 定理定理1 1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì) 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的

40、階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA二、初等矩陣的應(yīng)用二、初等矩陣的應(yīng)用初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣 ),(),(1；則則的的逆逆變變換換是是其其本本身身，變變換換jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換 定理定理2 2 設(shè)設(shè)A A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等為可逆方陣，則存

41、在有限個(gè)初等方陣方陣.,2121llPPPAPPP 使使證證 , EA使使即存在有限個(gè)初等方陣即存在有限個(gè)初等方陣,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使階可逆方陣階可逆方陣及及階可逆方陣階可逆方陣存在存在的充分必要條件是的充分必要條件是矩陣矩陣推論推論,AE 經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換可可變變故故利用初等變換求逆陣的方法：利用初等變換求逆陣的方法：，有有時(shí)時(shí)，由由當(dāng)當(dāng)lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll1

42、1111 . )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時(shí)時(shí)，原原來(lái)來(lái)的的變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣即即對(duì)對(duì). ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩陣矩陣的方法，

43、還可用于求的方法，還可用于求利用初等行變換求逆陣?yán)贸醯刃凶儞Q求逆陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行變換初等行變換例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可可逆逆，則則若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1

44、 CAY即即可可得得作作初初等等行行變變換換，也也可可改改為為對(duì)對(duì)),(TTCA , 1作作初初等等列列變變換換，則則可可對(duì)對(duì)矩矩陣陣如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列變換列變換),)( ,(),1TTTTCAECA （列變換列變換TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代數(shù)余子中所有元素的代數(shù)余子求求方陣方陣已知已知解解例例3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且 10001000010011000010111000012222EA 10001000110

45、0010001100010001210001,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nn三、小結(jié)三、小結(jié)1. 1. 單位矩陣單位矩陣 初等矩陣初等矩陣. .一次初等變換一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟是利用初等變換求逆陣的步驟是: ;1 EAEA或或構(gòu)構(gòu)造造矩矩陣陣 .,(,211 AEEAEAAEEAEA對(duì)應(yīng)部分即為對(duì)應(yīng)部分即為后后劃為單位陣劃為單位陣將將變換變換施行初等列施行初等列或?qū)驅(qū)?duì)應(yīng)部分即為對(duì)應(yīng)部分即為右邊右邊后后化為單位矩陣化為單位矩陣將將施行初等行變換施行初等行變換對(duì)對(duì)思考題思考題.010102001

46、的的乘乘積積表表示示成成有有限限個(gè)個(gè)初初等等方方陣陣將將矩矩陣陣 A思考題解答思考題解答解解可以看成是由可以看成是由3階單位矩陣階單位矩陣 經(jīng)經(jīng)4次初等變換次初等變換,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得. 而這而這4次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣為次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣為:,0101000011 P,1020100012 P,1000100013 P.1000100014 P由初等方陣的性質(zhì)得由初等方陣的性質(zhì)得4213PEPPPA .4213PPPP );(),(ccrrjiji記記作作列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)矩矩陣陣的的兩兩行行);(,)(0 kckrkii 記記作作中中的的所所有有元

47、元素素列列乘乘某某一一行行以以數(shù)數(shù)).(,)()( ckcrkrkjiji 記記作作對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行初等變換的定義初等變換的定義換法變換換法變換倍法變換倍法變換消法變換消法變換初等變換初等變換 逆變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換同一類型的初等變換)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji .,BABABA記記作作等等價(jià)價(jià)與與稱稱矩矩陣陣就就矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限

48、限次次初初等等變變換換變變成成如如果果矩矩陣陣反身性反身性傳遞性傳遞性對(duì)稱性對(duì)稱性; AA;,ABBA則則若若.,CACBBA則則若若矩陣的等價(jià)矩陣的等價(jià)三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣初等矩陣初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣為初等矩陣E).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm 行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣相相左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用（）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等（）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等矩陣矩陣

49、).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列與與第第第第的的把把施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣用用類類似似地地),(jiE（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣列），得初等矩陣);(,)(kriAkAkiEim 行行第第的的乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)左左乘乘矩矩陣陣以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)右右乘乘矩矩陣陣以以k)( kiE（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等

50、矩陣一行（列）上去，得初等矩陣);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把左左乘乘矩矩陣陣以以).(,)(ckcjkiAAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相當(dāng)當(dāng)于于把把右右乘乘矩矩陣陣以以k)(kijE經(jīng)過(guò)初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩經(jīng)過(guò)初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為為0 0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線

51、的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元一個(gè)非零元例如例如 00000310000111041211行階梯形矩陣行階梯形矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一經(jīng)過(guò)初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為個(gè)非零元為1 1，且這些非零元所在列的其它元素都，且這些非零元所在列的其它元素都為為0 0例如例如 00000310003011040101行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得

52、到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為陣，其余元素都為0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.,),(,數(shù)數(shù)梯形矩陣中非零行的行梯形矩陣中非零行的行就是行階就是行階其中其中三個(gè)數(shù)完全確定三個(gè)數(shù)完全確定此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形換和列變換換和列變換行變行變總可以經(jīng)過(guò)初等變換總可以經(jīng)過(guò)初等變換矩陣矩陣任何一個(gè)任何一個(gè)rrnmOOOErFnmnm 所有與所有與A A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一等

53、價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣矩陣F定義定義., 2階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所處處不不改改變變它它們們?cè)谠趥€(gè)個(gè)元元素素行行列列交交叉叉處處的的位位于于這這些些列列行行和和任任取取中中矩矩陣陣在在kAkAkkkAnm 矩陣的秩矩陣的秩定義定義. 0).(, 0)(1,0 并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩等等于于記記作作的的秩秩稱稱為為矩矩陣陣數(shù)數(shù)的的最最高高階階非非零零子子式式稱稱為為矩矩陣陣那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的話話階階子子

54、式式且且所所有有階階子子式式的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣ARArADrDrA ;)(,1rARrA 則則階子式都為零階子式都為零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 則則若若行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)矩陣秩的性質(zhì)及定理矩陣秩的性質(zhì)及定理;)(,rARrA 則則階子式階子式中有一個(gè)非零的中有一個(gè)非零的如果如果. )4(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式為為 則則階可逆矩陣階可逆矩陣為為若若,nA定理定理定理定理.)(

55、0 nARxAnnm 陣陣的的秩秩充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩有有非非零零解解的的元元齊齊次次線線性性方方程程組組.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩陣陣分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣有有解解的的充充元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組bABAbxAnnm 線性方程組有解判別定理線性方程組有解判別定理齊次線性方程組齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解矩陣，寫出通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解

56、，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解通解10線性方程組的解法線性方程組的解法定理定理.,;, 階階初初等等矩矩陣陣相相應(yīng)應(yīng)的的的的右右邊邊乘乘以以相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等列列變變換換對(duì)對(duì)階階初初等等矩矩陣陣左左邊邊乘乘以以相相應(yīng)應(yīng)的的相相當(dāng)當(dāng)于于在在變變換換施施行行一一次次初初等等行行對(duì)對(duì)矩矩陣陣是是一一個(gè)個(gè)設(shè)設(shè)nAAmAAnmA 11初等矩陣與初等變換的關(guān)初等矩陣與初等變換的關(guān)系系定理定理., 2121PPPAPPPAll 使使則則存存在在有有限限個(gè)個(gè)初初等等矩矩陣陣為為可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)推論推論.,: BPAQQnPmBA

57、nm 使使得得階階可可逆逆矩矩陣陣及及階階可可逆逆矩矩陣陣存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是矩矩陣陣一、求矩陣的秩一、求矩陣的秩二、求解線性方程組二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題典型例題求矩陣的秩有下列基本方法求矩陣的秩有下列基本方法（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩一、求矩陣的秩一、求矩陣的秩（）用初等

58、變換即用矩陣的初等行（或（）用初等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用例例求下列矩陣的秩求下列矩陣的秩.341471911663111104

59、26010021 A解解對(duì)對(duì) 施行初等行變換化為階梯形矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因因此此注意注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形階梯形當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解般用初等行變換求方程的解當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)

60、，求線當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則法和克萊姆法則二、求解線性方程組二、求解線性方程組例例求非齊次線性方程組的通解求非齊次線性方程組的通解)1(. 2255, 1222, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對(duì)方程組的增廣矩陣對(duì)方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形其成為行最簡(jiǎn)單形B 2025511222111321112311321B 0000020354111322025520453