第三章_matlab矩陣運算

1、Matlab 仿真及其應用主講：陳孝敬主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：矩陣運算；矩陣運算；矩陣元素運算；矩陣元素運算；3.1 3.1 矩陣運算矩陣運算矩陣分析矩陣分析1 1向量范式定義：向量范式定義： 向量的向量的3 3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)種常用范數(shù)及其計算函數(shù)在在MATLABMATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)(1) norm(V)或或norm(V,2)norm(V,2)：計算向量：計算向量V V的的22范數(shù)。范數(shù)。(2) norm(V,1)(2) norm(V,1)：計算向量：計算向量V V的的11范數(shù)。范數(shù)。(3) norm(V,inf)(3) nor

2、m(V,inf)：計算向量：計算向量V V的的范數(shù)。范數(shù)。111/ 22211nknkknkkxxkxxxx 例例3-1 3-1 求向量求向量x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5和和y=3,0,5,2,2y=3,0,5,2,2間的距離間的距離 x=1,2,3,4,5;x=1,2,3,4,5; y=3,0,5,2,2;y=3,0,5,2,2; norm(x,1); %1- norm(x,1); %1-范式范式 norm(x,inf); norm(x,inf); % %范數(shù)范數(shù) norm(x); norm(x); e=x-y; e=x-y; norm(e); norm(e); 2 2矩陣的

3、秩：矩陣的秩： 矩陣中線性無關的列（行矩陣中線性無關的列（行) )向量個數(shù)向量個數(shù), ,稱為列（行）秩。稱為列（行）秩。 MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)rankrank（）來計算矩陣的秩。（）來計算矩陣的秩。 例例3-2 3-2 求向量求向量eyeeye（4)4)，magicmagic（4 4）和）和A=1,2,3 A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;4,5,6;7,8,9的秩。的秩。 rank(eye(4);rank(eye(4); rank(magic(4); rank(magic(4); rank(A); rank(A); 3 3矩陣的行列式：矩陣的行列式： Matlab

4、Matlab中用函數(shù)中用函數(shù)detdet（）來計算矩陣的行列式。（）來計算矩陣的行列式。 1212|d e t ()(1 )nkkkn kAAaaa 例例3-3 3-3 求向量求向量eyeeye（4)4)，magicmagic（4 4）和）和A=1,2,3 A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;4,5,6;7,8,9的行列式。的行列式。 det(eye(4);det(eye(4); det(magic(4); det(magic(4); det(A); det(A); 4 4矩陣的行列跡：矩陣的行列跡： 矩陣的跡定義為對角元素之和。矩陣的跡定義為對角元素之和。MatlabMatlab中用函

5、數(shù)中用函數(shù)tracetrace（）來計算矩陣的行列式。）來計算矩陣的行列式。 例例3-4 3-4 求向量求向量eyeeye（4)4)，magicmagic（4 4）和）和A=1,2,3 A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;4,5,6;7,8,9的行列式。的行列式。 trace(eye(4);trace(eye(4); trace(magic(4); trace(magic(4); trace(A); trace(A); 5 5矩陣化零矩陣：矩陣化零矩陣： 對于非滿秩矩陣對于非滿秩矩陣A A，若存在矩陣，若存在矩陣Z Z使得使得AZ=0AZ=0且且ZZ=IZZ=I，則稱，則稱 矩陣矩陣Z

6、Z為矩陣為矩陣A A的化零矩陣。的化零矩陣。MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)nullnull（）來計（）來計算矩陣的化零矩陣。算矩陣的化零矩陣。 例例3-5 3-5 求矩陣求矩陣A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的化零矩陣。的化零矩陣。 Z=null(A)Z=null(A) 驗證驗證AZ=0AZ=0的具體代碼如下：的具體代碼如下： AZ=AAZ=A* *Z Z 驗證驗證ZTZZTZ的具體代碼如下：的具體代碼如下： ZTZ=ZZTZ=Z* *Z Z 6 6矩陣的正交空間：矩陣的正交空間： 矩陣矩陣A A的正交空間的正交空間Q Q滿足滿足Q Q

7、T TQ=IQ=I，且矩陣，且矩陣Q Q與與A A具有相同的列具有相同的列基底，基底，MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)orthorth（）來計算正交空間（）來計算正交空間Q Q。 例例3-6 3-6 求矩陣求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和和A2=1,2,3 A2=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;10,11,12;4,5,6;7,8,9;10,11,12的正交空間的正交空間Q Q。 Q=orth(A1)Q=orth(A1) R=orth(A2) R=orth(A2) 7 7矩陣的簡化化梯形式：矩陣的簡化化梯形式： 矩陣矩陣

8、A A的簡化化梯形式為的簡化化梯形式為 ，其中，其中 為為r r階單位矩陣。階單位矩陣。 MatlabMatlab 中用函數(shù)中用函數(shù)rref()rref()來計算矩陣的簡化梯形形式來計算矩陣的簡化梯形形式 例例3-7 3-7 求矩陣求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和和A2=1,2,3 A2=1,2,3 ;1,1,5;7,8,9;10,11,12;1,1,5;7,8,9;10,11,12的正交空間的正交空間Q Q。 Q=rref(A1)Q=rref(A1) R=rref(A2) R=rref(A2) *0 *rIrI9 9矩陣空間之間的角

9、度：矩陣空間之間的角度： 矩陣空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個矩陣線性矩陣空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個矩陣線性相關程度，夾角越小代表線性相關度越高。相關程度，夾角越小代表線性相關度越高。MatlabMatlab中用函中用函數(shù)數(shù)subspacesubspace（）來計算矩陣空間之間的角度。（）來計算矩陣空間之間的角度。 例例3-9 3-9 求矩陣求矩陣A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9和和A2=1,2;3 A2=1,2;3 ,4;5,6,4;5,6之間的夾角之間的夾角Q Q。 Q=subspace(A1,A2)Q=subspace(A1,

10、A2) 線性方程組線性方程組 Ax = b 有x = A-1b，但實際上并不顯式求A-1例子： 7x = 21 x = 21/7=3如果求逆 x = 7-1 21 = .142857 21 = 2.99997這就需要一次除和一次乘，且精度更低Backslash運算符 AX = BX = AB 左除 XA = BX = B/A 右除3-by-3的例子6475156230710321xxx65 5 46237710 32132121xxxxxxxx5 . 21 . 6755 . 2061 . 000710321xxx1 . 65 . 2761 . 0055 . 200710321xxx2 . 65

11、 . 272 . 60055 . 200710321xxx線性方程組的解結構線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構1.1.齊次線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構例例3-103-10. .判別方程組判別方程組202520470330 xyzxyzxyzxyz有無非零解有無非零解, ,若有若有, ,寫出其通解寫出其通解.解解 在在MATLABMATLAB中輸入該方程組的系數(shù)矩陣中輸入該方程組的系數(shù)矩陣A A并將它化為最簡行并將它化為最簡行階梯形矩陣階梯形矩陣, ,所用命令如下所用命令如下: : A=1 2 -1;2 5

12、2;1 4 7;1 3 3; A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A) rref(A)ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0由階梯形矩陣可知由階梯形矩陣可知R R( (A A)=23,)=2 A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=null(A , r) %求基礎解系求基礎解系B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 syms k1 k2 k3 %定義符號參數(shù)定義符號參數(shù) X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X

13、= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k2 k3即即123115226100010001Xkkk為方程組的通解為方程組的通解, ,其中其中k k1 1, ,k k2 2, ,k k3 3為任意實數(shù)為任意實數(shù). .2.2.非齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構例例3-123-12. .求解方程組求解方程組12312312233231xxxxxxxx 解解 在在MatlabMatlab中輸入系數(shù)矩陣及常數(shù)列向量中輸入系數(shù)矩陣及常數(shù)列向量, ,并檢驗系數(shù)矩陣并檢驗系數(shù)矩陣是否逆是否逆, ,所用命令及結果如下所用命令及結果如下 A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0;

14、 A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; b=3 3 -1 ; det(A) det(A) % %檢驗檢驗A A是否可逆是否可逆ans =ans = 2 2系數(shù)矩陣行列式值等于系數(shù)矩陣行列式值等于2,2,是可逆的是可逆的, ,則可以用矩陣相除來求解則可以用矩陣相除來求解. . X=AbX= 1 2 -1即是原方程組的解即是原方程組的解. .矩陣分解矩陣分解矩陣分解：把矩陣分解成比較簡單或?qū)λ再|(zhì)比較熟悉的若干矩陣分解：把矩陣分解成比較簡單或?qū)λ再|(zhì)比較熟悉的若干矩陣的乘積的形式；矩陣的乘積的形式；1 1CholeskyCholesky分解：分解： CholeskyCh

15、olesky分解是把對稱正定矩陣表示成上三角矩陣的轉分解是把對稱正定矩陣表示成上三角矩陣的轉置與其本身的乘積，即：置與其本身的乘積，即：A=RA=RT TR R，在，在MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)cholchol來計算來計算CholeskyCholesky分解分解 例例3-13 3-13 求矩陣求矩陣A=pascalA=pascal（4 4）的）的CholeskyCholesky分解，分解， A=pascal(4)A=pascal(4) R=chol(A) R=chol(A) R R* *R R 2 2LULU分解：分解： LULU分解是將任意一個方正分解是將任意一個方正A A分解

16、成為一個交換下三角矩陣分解成為一個交換下三角矩陣L(L(或是排列或是排列(permuted) 的上三角形矩陣的上三角形矩陣)和一個上三角矩和一個上三角矩陣陣U U的乘積，的乘積，A=LUA=LU，在，在MatlabMatlab中用函數(shù)中用函數(shù)lulu來計算來計算LULU分解分解 例例3-14 3-14 求矩陣求矩陣A=1,4,2;5,6,9;4,1,8A=1,4,2;5,6,9;4,1,8的的LULU分解，分解， L1,U1=lu(A)L1,U1=lu(A) L1 L1* *U1U1 3 3奇異分解：奇異分解： 奇異值分解就是將奇異值分解就是將 的矩陣的矩陣A A分解為分解為U U* *S S

17、* *V V，其中，其中U U 為為 的酉矩陣，的酉矩陣，V V為為 的酉矩陣，的酉矩陣，S S為為 ，并，并可以表示如下：可以表示如下： ，其中，其中 ，r=rankr=rank（A)A)， ，MatlabMatlab中奇異值是有函數(shù)中奇異值是有函數(shù)svdsvd（）實現(xiàn)（）實現(xiàn)的。用的。用svdsvd計算矩陣計算矩陣A=1 4 2;5 6 9A=1 4 2;5 6 9例例3-153-15 求矩陣求矩陣A=1 4 2;5 6 9A=1 4 2;5 6 9的奇異分解，的奇異分解， U,SU,S，V=SVD(A)V=SVD(A) m nmmnnmn00 0S12(,)ndiag 0(1,2, )i

18、ir4 4QRQR分解：分解： QR分解法是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣與上三角形分解法是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣與上三角形矩陣矩陣,所以稱為所以稱為QR分解法分解法,與此正規(guī)正交矩陣的通用符號與此正規(guī)正交矩陣的通用符號Q有關。有關。 Matlab以以qr函數(shù)來執(zhí)行函數(shù)來執(zhí)行QR分解法，分解法， 其語法為其語法為Q,R=qr(A)。 例例3-153-15 求矩陣求矩陣A=1 4 2;5 6 9A=1 4 2;5 6 9的奇異分解，的奇異分解， U,S=qr(A)U,S=qr(A) 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量在在MATLABMAT

19、LAB中，計算矩陣中，計算矩陣A A的特征值和特征向量的函數(shù)是的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)eig(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3 3種：種：(1) E=eig(A)(1) E=eig(A)：求矩陣：求矩陣A A的全部特征值，構成向量的全部特征值，構成向量E E。(2) V,D=eig(A)(2) V,D=eig(A)：求矩陣：求矩陣A A的全部特征值，構成對角陣的全部特征值，構成對角陣D D，并求，并求A A的特征向量構成的特征向量構成V V的列向量。的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)(3) V,D=eig(A,nobalance)：與第：與第2

20、 2種格式類似，種格式類似，但第但第2 2種格式中先對種格式中先對A A作相似變換后求矩陣作相似變換后求矩陣A A的特征值和特的特征值和特征向量，而格式征向量，而格式3 3直接求矩陣直接求矩陣A A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。例例3-163-16 求矩陣求矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15的特的特征值和特征向量征值和特征向量 V,D=eig(A);V,D=eig(A);例例3-17 3-17 用求特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x3x5 5-7x-7x4 4+5x+5x2 2+2x-18=0

21、+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p); %AA=compan(p); %A的伴隨矩陣的伴隨矩陣x1=eig(A) %x1=eig(A) %求求A A的特征值的特征值x2=roots(p) %x2=roots(p) %直接求多項式直接求多項式p p的零點的零點例例3-183-18. .求解方程組求解方程組1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解解 先用先用MatlabMatlab函數(shù)函數(shù)nullnull求出對應的齊次線性方程組的基礎解求出對應的齊次線性方程組的基礎解系系, ,再利用其系數(shù)矩陣的上

22、、下三角陣求出方程組的一個特解再利用其系數(shù)矩陣的上、下三角陣求出方程組的一個特解, ,這樣即可得到該方程組的通解這樣即可得到該方程組的通解, ,程序如下程序如下: : A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0 ; b=1 4 0 ; format rat format rat C=null(A , C=null(A , r r); %); %求基礎解系求基礎解系 L,U=lu(A); %A=LU,L L,U=lu(A); %A=LU,L為上三角陣為上三角陣,U,U為下三角陣為下三角陣 X0

23、= U(Lb) % X0= U(Lb) %用用LULU求出一個齊次方程的特解求出一個齊次方程的特解 syms k1 k2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0運行結果為運行結果為X0 = 0 0 -8/15 3/5 X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*k1+7/4*k2 k1-8/15 k2+3/5即即123/23/4103/27/40108/15013/5Xkk為該非齊次方程組的通解為該非齊次方程組的通解, ,其中其中k k1 1, ,k k2 2為任意實數(shù)為任意實數(shù).3.2 3.2 矩陣元素運算矩陣元素運算矩陣運算主要是對矩陣里的每個元素進行運算！矩陣運算主要是對矩陣里的每個元素進行運算！ 三角函數(shù)（三角函數(shù)（p48p48）例例3-183-18 計算矩陣計算矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15A=6,12