電磁場(chǎng)與電磁波8

1、第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)1例：求均勻電場(chǎng)例：求均勻電場(chǎng)E0的電位分布的電位分布解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)镋0為無(wú)限大區(qū)域的電場(chǎng)，為無(wú)限大區(qū)域的電場(chǎng)，故電位并不隨著距離而衰減。因此故電位并不隨著距離而衰減。因此需要專(zhuān)門(mén)指定需要專(zhuān)門(mén)指定0點(diǎn)，方便起見(jiàn)可以點(diǎn)，方便起見(jiàn)可以設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)電位為設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)電位為0。故空間任一點(diǎn)的電位可以以原點(diǎn)作故空間任一點(diǎn)的電位可以以原點(diǎn)作為參考為參考 00OPPOE z dlE z 由此可見(jiàn)，電位僅僅與由此可見(jiàn)，電位僅僅與z有關(guān)。等有關(guān)。等位面為平行位面為平行xoy的平面。的平面。0E z0E z0E z0cosE r0E x0E x

2、0cosE0sincosE r0E y0E y0sinE0sinsinE r書(shū)上例題書(shū)上例題1.3可自行推導(dǎo)?？勺孕型茖?dǎo)。第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)2E.g: The two plates metal of figure having an area A and a separation d form a parallel-plate capacitor. The upper plate is held at a potential of V0, and the lower plate is grounded. Determine (a) the

3、potential distribution, (b) the electric field intensity, (c) the charge distribution on each plate, and (d) the capacitance of the parallel-plate capacitor.解：既然導(dǎo)體為解：既然導(dǎo)體為xy平面且為等勢(shì)體，平面且為等勢(shì)體，可以預(yù)想電位僅僅是可以預(yù)想電位僅僅是z的函數(shù)。對(duì)的函數(shù)。對(duì)于兩板之間的無(wú)電荷區(qū)域，電位滿(mǎn)于兩板之間的無(wú)電荷區(qū)域，電位滿(mǎn)足足Laplace方程：方程：220z得到：得到：azb(a,b為待定系數(shù)為待定系數(shù))根據(jù)邊界條件，根據(jù)

4、邊界條件，(1) z=0， =0 (2) z=d, =V0可以得到：可以得到：0Vzd第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)3E.g: (a) the potential distribution, (b) the electric field intensity, (c) the charge distribution on each plate, and (d) the capacitance of the parallel-plate capacitor.0Vzd則其電場(chǎng)的空間分布為：則其電場(chǎng)的空間分布為：0VEzd 00snzVDd 0snz dVDd

5、 0VQAdACd第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)4電容電容(capacitance)與電容器與電容器(capacitor)電容器：兩個(gè)靠近的任意形狀導(dǎo)體即可形成電容器。據(jù)此不難理解電容器：兩個(gè)靠近的任意形狀導(dǎo)體即可形成電容器。據(jù)此不難理解寄生電容的概念。寄生電容的概念。電容：導(dǎo)體上電荷與其電位的比值電容：導(dǎo)體上電荷與其電位的比值(其中某個(gè)電位設(shè)置為其中某個(gè)電位設(shè)置為0電位電位)，其，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為數(shù)學(xué)表達(dá)式為QCU理解：理解：在接通外加電源時(shí)，導(dǎo)體在接通外加電源時(shí)，導(dǎo)體b的正電荷向電位低的負(fù)極的正電荷向電位低的負(fù)極(低電位低電位)移動(dòng)，導(dǎo)體移動(dòng)，導(dǎo)體a

6、的負(fù)的負(fù)電荷向電位高的正極電荷向電位高的正極(高電位高電位)移動(dòng)，故導(dǎo)體移動(dòng)，故導(dǎo)體a帶正電而導(dǎo)體帶正電而導(dǎo)體b帶負(fù)電。帶負(fù)電。導(dǎo)體導(dǎo)體a,b由于比較臨近，故可在兩帶電體間形成電場(chǎng)。電力線(xiàn)由電位高指向電由于比較臨近，故可在兩帶電體間形成電場(chǎng)。電力線(xiàn)由電位高指向電位低的導(dǎo)體。位低的導(dǎo)體。電源的電勢(shì)一定，當(dāng)電源的拉力和電場(chǎng)的電力達(dá)到平衡，電荷不再移動(dòng)。電源的電勢(shì)一定，當(dāng)電源的拉力和電場(chǎng)的電力達(dá)到平衡，電荷不再移動(dòng)。結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)電源電勢(shì)比較低時(shí)，只要從導(dǎo)體移動(dòng)少量的電荷，即可利用電場(chǎng)力來(lái)平衡當(dāng)電源電勢(shì)比較低時(shí)，只要從導(dǎo)體移動(dòng)少量的電荷，即可利用電場(chǎng)力來(lái)平衡電勢(shì)的拉力。電勢(shì)的拉力。1. 當(dāng)電源電勢(shì)成

7、比例增加時(shí)，移動(dòng)的電荷當(dāng)電源電勢(shì)成比例增加時(shí)，移動(dòng)的電荷(剩余的凈電荷剩余的凈電荷)也會(huì)等幅增加，但是其也會(huì)等幅增加，但是其比值保持不變，因此可以用電容來(lái)表示這種存儲(chǔ)電荷的能力。比值保持不變，因此可以用電容來(lái)表示這種存儲(chǔ)電荷的能力。第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)5雙導(dǎo)體電容計(jì)算公式（重點(diǎn)內(nèi)容）：雙導(dǎo)體電容計(jì)算公式（重點(diǎn)內(nèi)容）：(1)根據(jù)具體目標(biāo)設(shè)定相應(yīng)的坐標(biāo)系。根據(jù)具體目標(biāo)設(shè)定相應(yīng)的坐標(biāo)系。(2)假定兩導(dǎo)體上分別帶等量異荷假定兩導(dǎo)體上分別帶等量異荷 (3)根據(jù)電荷求解導(dǎo)體間的電場(chǎng)根據(jù)電荷求解導(dǎo)體間的電場(chǎng)(4)利用電場(chǎng)求解導(dǎo)體間的電位差利用電場(chǎng)求解導(dǎo)體間

8、的電位差(5)利用導(dǎo)體電容計(jì)算式求解電容利用導(dǎo)體電容計(jì)算式求解電容第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)6E.g: Two parallel conducting plates, each of area A, and separated by a distanced d, as shown in figure, from a parallel-plate capacitor. The charge on the top is +Q and on the other plate is Q. What is its capacitance? 解：假設(shè)間距解：假設(shè)

9、間距d遠(yuǎn)小于其它方向遠(yuǎn)小于其它方向大小。此時(shí)可以忽略邊緣繞射效大小。此時(shí)可以忽略邊緣繞射效應(yīng)并且假設(shè)電荷在導(dǎo)體上均勻分應(yīng)并且假設(shè)電荷在導(dǎo)體上均勻分配。根據(jù)以前所學(xué)，導(dǎo)體間的電配。根據(jù)以前所學(xué)，導(dǎo)體間的電場(chǎng)為場(chǎng)為sEz sQA其中其中Q為電量為電量,A為極板面積為極板面積, 為導(dǎo)體板間的媒質(zhì)介電常數(shù)。為導(dǎo)體板間的媒質(zhì)介電常數(shù)。兩極板間的電位差為：兩極板間的電位差為：0adssabbdQdUE dldzA 因此平行平板電容為：因此平行平板電容為：abQACUd第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)7abQACUd多講兩句，多講兩句， 稱(chēng)為電容率的原因：稱(chēng)為電容率的

10、原因：電阻：電阻：dRA:電阻率電阻率電導(dǎo)：電導(dǎo)：AGd:電導(dǎo)率電導(dǎo)率電容：電容：ACd :電容率電容率第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)8E.g: A spherical capacitor is formed by two concentric metallic spheres of radii a and b, as shown in figure. The charge on the inner sphere is +Q and that on the outer sphere is Q. Determine the capacitance of

11、the system. What is the capacitance of an isolated sphere? Assuming the earth to be an isolated sphere of radius 6.5*10*6 meter, calculate its capacitance. Deduce an approximate expression for the capacitance when the separation between the spheres is very small as compared to their radii.解：對(duì)于球面均勻電荷

12、分布，根據(jù)解：對(duì)于球面均勻電荷分布，根據(jù)Gauss定律，球面間電場(chǎng)強(qiáng)度為定律，球面間電場(chǎng)強(qiáng)度為24QErr內(nèi)外球之間的電位差為：內(nèi)外球之間的電位差為：211144aabbQQUdrrab 因此該系統(tǒng)的電容為：因此該系統(tǒng)的電容為：4abCba第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)94abCba如果令如果令b ，即可認(rèn)為此時(shí)的電容為孤立球體電容，即可認(rèn)為此時(shí)的電容為孤立球體電容4Ca將地球半徑代入得：將地球半徑代入得：30.722 10722CF如果兩球間距非常小，如如果兩球間距非常小，如dbaa24aACbad其中：其中：24Aa第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界

13、條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)10E.g: Determine the capacitance of a spherical capacitor where the dielectric is inhomogenous and concentric.解：將球體分成很多同心球面，相鄰球解：將球體分成很多同心球面，相鄰球面的間距非常小，這些球面形成串聯(lián)關(guān)面的間距非常小，這些球面形成串聯(lián)關(guān)系，根據(jù)剛才公式系，根據(jù)剛才公式 214iiirCr r 214badrCr r如果如果 r 2111144badrCr rab第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)11

14、E.g: The region between two concentric spherical shells is filled with two different dielectrics, as shown in figure. Find the capacitance of the system.解：可以想到電場(chǎng)為徑向解：可以想到電場(chǎng)為徑向(對(duì)于分界面對(duì)于分界面為切向?yàn)榍邢?方向，同時(shí)考慮到電場(chǎng)在跨越方向，同時(shí)考慮到電場(chǎng)在跨越邊界時(shí)切向方向連續(xù)。因此有：邊界時(shí)切向方向連續(xù)。因此有：12rrEE由于由于111rrDE222rrDE故：故：2211rrDD作如圖作如圖Gauss面，根據(jù)面，

15、根據(jù)Gauss定律：定律：1222rrQDDr112122rQDr222122rQDr122122rrQEEr第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)12122122rrQEEr2122babaQdrUr 12112Qab 122Cabba解解2：該結(jié)構(gòu)可以看做半球電容的并聯(lián)，故：該結(jié)構(gòu)可以看做半球電容的并聯(lián)，故12CCC而而1142abCba112Cabba同理：同理：222Cabba122Cabba第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)13E.g: The inner conductor of radius a of a c

16、oaxial cable is held at a potential of U0 while the outer conductor of radius b is grounded. Determine (a) the potential distribution between the conductors, (b) the surface charge density on the inner conductor, and (c) the capacitance per unit length.解：既然兩個(gè)導(dǎo)體解：既然兩個(gè)導(dǎo)體a和和b均為等勢(shì)體，因均為等勢(shì)體，因此可以想象出電位此可以想象

17、出電位U僅僅是僅僅是的函數(shù)而與的函數(shù)而與方位角方位角無(wú)關(guān)。因此無(wú)關(guān)。因此Laplace方程簡(jiǎn)化為方程簡(jiǎn)化為10ddddlncd其中其中c,d為待定常數(shù)為待定常數(shù)考慮邊界條件：考慮邊界條件： =a, =U0 =b, =0可得：可得：0lnlnbUb a第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)14 (b) the surface charge density on the inner conductor, and (c) the capacitance per unit length.0lnlnbUb a0lnUEb a 0lnUDEb a在內(nèi)導(dǎo)體表面的面電荷密度：

18、在內(nèi)導(dǎo)體表面的面電荷密度：0lnsaUn Dab a單位長(zhǎng)度的電荷為：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的電荷為：0022lnlnUUQaab ab a2lnCb a第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)15靜電場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)的能量?jī)煞N方法來(lái)表述能量?jī)煞N方法來(lái)表述能量: (1)電荷電荷(源源)；(2)電場(chǎng)電場(chǎng)(場(chǎng)場(chǎng))(a)考慮一個(gè)沒(méi)有電場(chǎng)的區(qū)域，此時(shí)可以認(rèn)定需考慮一個(gè)沒(méi)有電場(chǎng)的區(qū)域，此時(shí)可以認(rèn)定需要考慮的要考慮的n個(gè)電荷都位于無(wú)窮遠(yuǎn)處個(gè)電荷都位于無(wú)窮遠(yuǎn)處(b)現(xiàn)在我們將無(wú)限遠(yuǎn)處的電荷現(xiàn)在我們將無(wú)限遠(yuǎn)處的電荷q1移動(dòng)到移動(dòng)到r1，由，由于沒(méi)有其他力作用于電荷，則耗費(fèi)的功于沒(méi)有其他力作用于

19、電荷，則耗費(fèi)的功W1=0，但是由于空間中該電荷的存在，導(dǎo)致空間存在但是由于空間中該電荷的存在，導(dǎo)致空間存在電場(chǎng)與電位。電場(chǎng)與電位。(c)將電荷將電荷q2也從無(wú)限遠(yuǎn)移動(dòng)到也從無(wú)限遠(yuǎn)移動(dòng)到r2，由于電場(chǎng)力，由于電場(chǎng)力的作用，移動(dòng)時(shí)需要力的作用。則系統(tǒng)的能量的作用，移動(dòng)時(shí)需要力的作用。則系統(tǒng)的能量即為外力做功。即為外力做功。1,1221214eqWqr(d)同理將電荷同理將電荷q3也從無(wú)限遠(yuǎn)移動(dòng)到也從無(wú)限遠(yuǎn)移動(dòng)到r3，則系，則系統(tǒng)新增加的能量即為外力做功。統(tǒng)新增加的能量即為外力做功。12,13,2333132314eeqqWWqqrr(e)故三電荷系統(tǒng)的總能量為：故三電荷系統(tǒng)的總能量為：112233

20、12132314eqqqWqqqrrr第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)16(e)改變先后次序。例如按照電荷改變先后次序。例如按照電荷3,2,1的次序放入空間，則系統(tǒng)的能的次序放入空間，則系統(tǒng)的能量為量為33221132312114eqqqWqqqrrr可以注意到，由于有矢徑的對(duì)稱(chēng)性，即可以注意到，由于有矢徑的對(duì)稱(chēng)性，即1221rr1331rr2332rr結(jié)論：系統(tǒng)的能量是固定的，不因?yàn)殡姾煞湃氲南群蟠涡蚨淖?。結(jié)論：系統(tǒng)的能量是固定的，不因?yàn)殡姾煞湃氲南群蟠涡蚨淖儭?f)變形變形33222332322312qqqqqqrrr33111331311312

21、qqqqqqrrr22111221211212qqqqqqrrr321211312332313122331212112 4eqqqqrqrqqqrrqqWqqrr312321232113233121213111142 44qqqrqqqrrrrqqqr31231212qqq11223312132314qqqqqqrrr第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)173112eiiiWq(g)對(duì)于對(duì)于n個(gè)離散電荷系統(tǒng)，不難繼續(xù)推導(dǎo)得：個(gè)離散電荷系統(tǒng)，不難繼續(xù)推導(dǎo)得：112neiiiWq(h)對(duì)于連續(xù)分布電荷系統(tǒng)，可以采用微分思想，將一團(tuán)連續(xù)分布電對(duì)于連續(xù)分布電荷系統(tǒng)，

22、可以采用微分思想，將一團(tuán)連續(xù)分布電荷劃分為無(wú)數(shù)的離散電荷，則荷劃分為無(wú)數(shù)的離散電荷，則112neiiiWq 112neiiiWr dq r 112neiiiiWrrV 12eVWrr dVeeVWw dV 12ewrr單位體積的電場(chǎng)單位體積的電場(chǎng)能量，能量密度能量，能量密度從電荷的從電荷的角度出發(fā)角度出發(fā)(i)變形變形 rD 12eVWDdVDDD1122eSVWDdSD EdV第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)181122eSVWDdSD EdV注意到積分區(qū)域的任意性注意到積分區(qū)域的任意性(任意包含系統(tǒng)的面或者體積均可任意包含系統(tǒng)的面或者體積均可)為了方

23、便起見(jiàn)，我們選擇一個(gè)無(wú)限大的球體來(lái)作為積分面為了方便起見(jiàn)，我們選擇一個(gè)無(wú)限大的球體來(lái)作為積分面(體體)。由。由于在無(wú)限大邊界面上：于在無(wú)限大邊界面上：21Dr1r2dSr012eVWD EdV2eD Ew從場(chǎng)的角度從場(chǎng)的角度來(lái)看待電能來(lái)看待電能對(duì)于各向同性媒質(zhì)，有對(duì)于各向同性媒質(zhì)，有DE22222eEDD Ew不難推導(dǎo)電容的能量為：不難推導(dǎo)電容的能量為：212eWCU第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)19222222eEDD EwE.g: A metallic sphere of radius 10cm has a surface charge densi

24、ty of 10nC/m2.Calculate the electric energy stored in the system. 解解:思考應(yīng)該用哪個(gè)公式？思考應(yīng)該用哪個(gè)公式？由于題目中給出的是電荷密度，故可以用第一部分等式。因此需要由于題目中給出的是電荷密度，故可以用第一部分等式。因此需要求出表面電位的值。求出表面電位的值。根據(jù)以往知識(shí)，球面的電位可以有根據(jù)以往知識(shí)，球面的電位可以有2990009 1010 100.1sin113.14sSdsddVR (反應(yīng)快的同學(xué)應(yīng)能很快計(jì)算，首先考慮球內(nèi)電場(chǎng)為反應(yīng)快的同學(xué)應(yīng)能很快計(jì)算，首先考慮球內(nèi)電場(chǎng)為0，故球面與球，故球面與球心電位相等。而球心電位

25、為球面電荷在該處電位的標(biāo)量和。由于心電位相等。而球心電位為球面電荷在該處電位的標(biāo)量和。由于球面各點(diǎn)距球心距離相等，故可得球面電位為球面各點(diǎn)距球心距離相等，故可得球面電位為20044ssRRR)第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)2020044ssRRR32002399921220.110 1071.08 101036ssesSRRWdSJ當(dāng)然該題也可以用其余公式，但是要注意在求能量時(shí)，體積分區(qū)域當(dāng)然該題也可以用其余公式，但是要注意在求能量時(shí)，體積分區(qū)域?yàn)樵撾姾僧a(chǎn)生場(chǎng)的所有區(qū)域。為該電荷產(chǎn)生場(chǎng)的所有區(qū)域。利用利用Gauss定理，易得：定理，易得：220 srR

26、DRrRr22223220000sin21.2sser RRrrRWdrd d 第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)21虛功原理虛功原理功功的常識(shí)：的常識(shí)： 00rrxyzrrW rF rdlFr dxFr dyFr dz “虛虛”功：功：設(shè)想設(shè)想在在r處，在力處，在力F的作用下再行進(jìn)一微小距離的作用下再行進(jìn)一微小距離 00rdrrdrxyzrrW rdrF rdlFr dxFr dyFr dz則功的則功的增量增量為為: rdrxyzrdW rF r dxFr dyF r dz 由于行進(jìn)距離如此之小，以至于可以認(rèn)為是恒力做功，故由于行進(jìn)距離如此之小，以至于可以認(rèn)為是恒力做功，故 xyzdW rFrdxFrdyFrdz如果假設(shè)該距離僅沿如果假設(shè)該距離僅沿x方向行進(jìn)，則方向行進(jìn)，則0dydz xFrdW rdx第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊界條件的值(1)22電場(chǎng)力的求解（虛功原理）：電場(chǎng)力的求解（虛功原理）：siiedWFdldW外部供外部供給能量給能量電場(chǎng)力電場(chǎng)力做功做功靜電能靜電能的增加的增加a. 斷開(kāi)電源，各導(dǎo)體的電荷保持不變斷開(kāi)電源，各導(dǎo)體的電荷保持不變0siieieidWFdldWFdWdl b. 電源狀態(tài)不變，各導(dǎo)體的電位保持不變電源狀