離散型隨機(jī)變量的方差

1、2.3.2離散型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量的方差量的方差高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-31、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望nniipxpxpxpxEX 22112、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)()()E aXbaE XbP1xix2x1p2pipnxnpX數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機(jī)變量的平均水平數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機(jī)變量的平均水平三、如果隨機(jī)變量三、如果隨機(jī)變量X X服從兩點(diǎn)分布為服從兩點(diǎn)分布為X10Pp1p則則()E Xp四、如果隨機(jī)變量四、如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即服從二項(xiàng)分布，即X B（n,p），則），則()E Xnp某人射擊某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：次，所得環(huán)

2、數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的；則所得的平均環(huán)數(shù)平均環(huán)數(shù)是多少？是多少？104332221111 X21014102310321041 X1234P104103102101某人射擊某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則這組數(shù)據(jù)的；則這組數(shù)據(jù)的方差方差是多少？是多少？1)24()23()23()22()22()22()21()21()21()21(10122222222222 s)()()(122212xxxxxxnsni 22222)24(101)23(102)22(103)21(104 s加權(quán)平均加權(quán)平均反映

3、這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量X1234P104103102101離散型隨機(jī)變量取值的方差離散型隨機(jī)變量取值的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：的概率分布為：22211()()()()iinnD XxEXpxEXpxEXp則稱則稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的方差方差。 niiipEXx12)(P1xix2x1p2pipnxnpX稱稱DX為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離均程度的量，它們的值越小，則

4、隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。于均值的平均程度越小，即越集中于均值。1、已知隨機(jī)變量、已知隨機(jī)變量X的分布列的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求求D(X)和和 。 ( )0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.12E X 解：解：22222()(02)0.1 (1 2)0.2(22)0.4(3 2)0.2(42)0.1 1.2D X 1.21.095DX DX2、若隨機(jī)變量、若隨機(jī)變量X滿足滿足P（Xc）1，其中，其中c為為常數(shù)，求常數(shù)，求EX和和DX。解：解：XcP1離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X X的分布列為：的分布列為：EXc1cDX

5、（cc）210例：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)例：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1， X2分布列如下：分布列如下：用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：12()9,()9E XE X12()0.4,()0.8D XD X表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會(huì)很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多平均得分差別不會(huì)很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在數(shù)得分在9環(huán)，而乙得分比較分散

6、，近似平均分布在環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在810環(huán)。環(huán)。問(wèn)題問(wèn)題1：如果你是教練，你會(huì)派誰(shuí)參加比賽呢？：如果你是教練，你會(huì)派誰(shuí)參加比賽呢？問(wèn)題問(wèn)題2：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？應(yīng)派哪一名選手參賽？問(wèn)題問(wèn)題3：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在：如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？應(yīng)派哪一名選手參賽？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.412()9,()9E XE X12()0.4,()0.8D XD X如果對(duì)手在如果對(duì)手在8環(huán)左右環(huán)左右,派甲派甲.如果對(duì)手在如果對(duì)手在9環(huán)左

7、右環(huán)左右,派乙派乙.派甲派甲練習(xí)：有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能練習(xí)：有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：獲得如下信息：甲單位不同職位月工甲單位不同職位月工資資X1/元元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概獲得相應(yīng)職位的概率率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工乙單位不同職位月工資資X2/元元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概獲得相應(yīng)職位的概率率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：解：12()1400,()1400E XE X12()40000,()16000

8、0D XD X在兩個(gè)單位工資的數(shù)學(xué)期望相等的情況下，在兩個(gè)單位工資的數(shù)學(xué)期望相等的情況下，如果認(rèn)為自己能力很強(qiáng)，應(yīng)選擇工資方差大如果認(rèn)為自己能力很強(qiáng)，應(yīng)選擇工資方差大的單位，即乙單位；如果認(rèn)為自己能力不強(qiáng)，的單位，即乙單位；如果認(rèn)為自己能力不強(qiáng)，就應(yīng)選擇工資方差小的單位，即甲單位。就應(yīng)選擇工資方差小的單位，即甲單位。例例 (本題滿分本題滿分12分分)為備戰(zhàn)為備戰(zhàn)2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)年倫敦奧運(yùn)會(huì),中國(guó)射中國(guó)射擊隊(duì)要對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行一次對(duì)抗賽擊隊(duì)要對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行一次對(duì)抗賽.已知甲、乙已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)環(huán),且甲射中且甲射中

9、10,9,8,7環(huán)的概率分別為環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中乙射中10,9,8環(huán)的概環(huán)的概率分別為率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求求,的分布列的分布列;(2)求求,的均值與方差的均值與方差,并以此比較甲、并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)乙的射擊技術(shù).【解【解】(1)依據(jù)題意依據(jù)題意,0.53aa0.11,解得解得a0.1.1分分乙射中乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,乙射中乙射中7環(huán)的概率為環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2. 2分分,的分布列分別為的分布列分別為 4分分10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.

10、20.2(2)結(jié)合結(jié)合(1)中中,的分布列可得的分布列可得:E()100.590.380.170.19.2,E()100.390.380.270.28.7,D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96, 8分分D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.10分分由于由于E()E(),說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高高;又又D()D(),說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中,比較穩(wěn)定比較穩(wěn)定.12分分變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量的分布列為的分布列

11、為且已知且已知E()2,D()0.5,求求:(1)p1,p2,p3;(2)P(12).123Pp1p2p3變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,用用X表示擲出偶表示擲出偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)數(shù)點(diǎn)的次數(shù).(1)若拋擲一次若拋擲一次,求求E(X)和和D(X);(2)若拋擲若拋擲10次次,求求E(X)和和D(X).五、幾個(gè)常用公式：五、幾個(gè)常用公式：DXabaXD2)( ()(1)XD Xpp若 服從兩點(diǎn)分布，則( ,)()(1)XB n pD Xnpp若，則相關(guān)練習(xí)：相關(guān)練習(xí)：113( )13,( )8DD、已知，且則2( ,)E(X)8,D(X)1.6,n,XB n pp、已知

12、 ，則3、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其次品數(shù)件商品，設(shè)其次品數(shù)為為X，求，求E(X)和和D(X)。117100.82，1.98思路探索思路探索 判斷某一離散型隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，判斷某一離散型隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，是利用公式是利用公式E()np，D()np(1p)的先決條件的先決條件【例例】0123456P設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為p，進(jìn)行，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，求當(dāng)求當(dāng)p為何值時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大？并求其最為何值時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大？

13、并求其最大值大值【變式變式】六、課堂小結(jié)六、課堂小結(jié)1、離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差及意義、離散型隨機(jī)變量取值的方差、標(biāo)準(zhǔn)差及意義2、記住幾個(gè)常見(jiàn)公式、記住幾個(gè)常見(jiàn)公式2()()D aXba D X()(1)XD Xpp若服從兩點(diǎn)分布，則( ,)()(1)XB n pD Xnpp若，則22211()()()()iinnD XxEXpxEXpxEXp niiipEXx12)(為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的方差方差。DX為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。 1 。某農(nóng)科院對(duì)兩個(gè)優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下。某農(nóng)科院對(duì)兩個(gè)優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，100公頃的產(chǎn)量列

14、表如下：公頃的產(chǎn)量列表如下：作業(yè)作業(yè)每公頃產(chǎn)量每公頃產(chǎn)量(噸噸)9.49.59.810.2公頃數(shù)公頃數(shù)11324215乙乙每公頃產(chǎn)量每公頃產(chǎn)量(噸噸)9.29.51011公頃數(shù)公頃數(shù)35203510甲甲試判斷這兩個(gè)品種哪一個(gè)較好？試判斷這兩個(gè)品種哪一個(gè)較好？2.從從4名男生和名男生和2名女生中任選名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量機(jī)變量X表示所選表示所選3人中女生的人數(shù)人中女生的人數(shù)(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求求X的均值與方差；的均值與方差；(3)求求“所選所選3人中女生人數(shù)人中女生人數(shù)X1”的概率的概率 錯(cuò)解錯(cuò)解 設(shè)甲品種每公頃產(chǎn)量為設(shè)甲品種每公頃產(chǎn)量為

15、X，則則X的概率分布為：的概率分布為：X9.49.59.810.2P0.110.320.420.15由上表可得由上表可得E(X)甲甲9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以計(jì)算出同理可以計(jì)算出E(X)乙乙9.20.359.50.2100.35110.19.72.由由E(X)甲甲E(X)乙乙，可知甲、乙兩個(gè)品種的質(zhì)量相同，可知甲、乙兩個(gè)品種的質(zhì)量相同 對(duì)于如何評(píng)價(jià)兩個(gè)品種的質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)只是停對(duì)于如何評(píng)價(jià)兩個(gè)品種的質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)只是停在用均值來(lái)比較的層面上，誤以為均值相同即質(zhì)量相同，在用均值來(lái)比較的層面上，誤以為均值相同即質(zhì)量相同，忽視了還可以利用方差對(duì)產(chǎn)量的穩(wěn)定性進(jìn)行考察忽視了還可以利用方差對(duì)產(chǎn)量的穩(wěn)定性進(jìn)行考察正解正解 由錯(cuò)解知：由錯(cuò)解知：E(X)甲甲E(X)乙乙9.72，D(X)甲甲(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.D(X)乙乙(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，D(X)甲甲D(X)乙乙所以甲品種質(zhì)量更好一點(diǎn)所以甲品種質(zhì)量更好一點(diǎn) 對(duì)于兩個(gè)