一元二次方程

1、課題 一元二次方程授課教師 青海省西寧市第十二中學(xué) 王春秀教材 人教版九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)代數(shù)第三冊(cè)第4頁一元二次方程教學(xué)目標(biāo)知識(shí)使學(xué)生了解整式方程、一元二次方程的概念。知道一元二次方程的一般形式，會(huì)把一元二次方程化為一般形式能力通過教學(xué)，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)思維。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題的能力思想培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物，初步了解數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐反過來又作用于實(shí)踐 的辨證唯物主義觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)一元二次方程的概念教學(xué)難點(diǎn)正確認(rèn)識(shí)一元二次方程的二次項(xiàng)及其系數(shù)，一次項(xiàng)及其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)教學(xué)用具微機(jī)教學(xué)環(huán)節(jié) 教 師 活 動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)說明提出問題引起動(dòng)機(jī)教師：我們把一塊

2、長方形薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后把四邊折起來就可以做成一個(gè)無蓋的長方體盒子。（微機(jī)演示）問題1：用一塊長80cm，寬60 cm的薄鋼片在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積是1500cm²的無蓋長方體盒子。請(qǐng)思考怎樣求出截去的小正方形的邊長。（帶動(dòng)學(xué)生思考，分析） 設(shè)小正方形的邊長是x cm,那么盒子底面的長和寬分別是(80-2x)cm及(60-2x )cm根據(jù)題意，得觀察感知思考討論動(dòng)手列式再回答問題通過微機(jī)演示,增強(qiáng)直觀性,培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和想象力用實(shí)際問題引出新課(一元二次方程),可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到一元二次方程是來源于實(shí)際生活的需要的提出問題引起動(dòng)

3、機(jī)(80-2x) (60-2x )=1500整理后，得x²-70x+825=0只需要求出方程中未知數(shù)的值就可以解決這個(gè)問題問題2：剪一塊面積為150平方厘米的長方形彩色卡紙，使它的長比寬多5厘米，應(yīng)該怎么剪？分析:要想按要求剪出長方形卡紙,急需要知道什么?（卡紙的長和寬） 設(shè)卡紙的寬是x cm,那么它的長是(x+5)cm.根據(jù)題意,得x(x+5)=150 去括號(hào),得x²+5x=150還可以整理為: x²+5x-150=0只需要求出方程中未知數(shù)的值, 就可以解決這個(gè)問題問題3：體育館要修建一個(gè)占地面積是1071平方米的游泳池，要求長50米，寬20米，游泳池四周要留有

4、寬為x米的人行道，問怎樣求出人行道的寬度x？ 根據(jù)題意,可得 (50+2x)(20+2x)=1071還可以整理成為: 4x²+140x-71=0只需要求出方程中未知數(shù)的值,就可以解決這個(gè)問題觀察感知思考討論 動(dòng)手列式回答問題提出問題后,引導(dǎo)學(xué)生找到求解方法,以此培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力.這里的求解方法是列方程,但所列的方程是我們沒有學(xué)過的,由此引出新課,使學(xué)生深感走近、了解、學(xué)習(xí)這種方程是勢在必行。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為下一步學(xué)習(xí)做鋪墊類比聯(lián)想講述新課教師：在用方程解決上述實(shí)際問題的時(shí)候，都遇到一個(gè)含有一個(gè)未知數(shù)的方程，我們?cè)诔跻坏臅r(shí)候就學(xué)過一元一次方程，誰能舉幾個(gè)例子？(1)

5、 3x=0 (2)3x-2=0 (3)-2x+3=0討論：提問：這些一元一次方程和我們前面三個(gè)問題中的方程有什么共同之處和不同之處？相同之處:方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式.不同之處:未知數(shù)的最高次數(shù)不同提問：今天所學(xué)的三個(gè)方程具有什么共同點(diǎn)？總結(jié)定義：整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，這樣的方程叫整式方程。一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。問題3：我們知道一元一次方程的一般 形式是ax+b=0且a0，一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?你能否試著總結(jié)一下一元二次方程的一般形式？歸納：我們把a(bǔ)x²+bx+c=

6、0 (a0)稱為一元二次方程的一般形式,同時(shí)強(qiáng)調(diào)它的 二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。問題：一元二次方程的一般形式中為什么要有a0的規(guī)定？若a=0，則ax2+bx+c=0 不是一元二次方程了。思考回答問題 分組討論選代表回答問題回憶舊知識(shí)思考問題并回答問題概念教學(xué)從大量的實(shí)例出發(fā),用實(shí)例直觀的幫助完成定義,而非就定義而定義類比一元一次方程的定義和一般形式,歸納出一元二次方程的定義和一般形式，展現(xiàn)知識(shí)的形成過程,讓學(xué)生在獲取知識(shí)的過程中，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和思維方法,向?qū)W生滲透類比的數(shù)學(xué)思想設(shè)置例題鞏固新課例1：下列各式中，哪些是一元二次方程，哪些不是？(1)x²+y+5=0 (2)

7、x²+2x-7=0(3)x²+2=1/x (4)x²+6x(5)x(2x-3)=6 (6)x+2=1/x(7)x²-(x²+5x)-4=0提問：如果一個(gè)方程是一元二次方程，它一定要滿足幾個(gè)條件？是哪幾個(gè)？例2：把方程 3x(x-1)=2(x+2)+8 化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。解:去括號(hào):得3x²-3x=2x+4+8移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得方程的一般形式3x²-5x-12=0二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是-5,常數(shù)項(xiàng)是-12教師說明:此題已明確要把方程化成一般形式，即使沒有明確，也要把方程化成一般形式

8、再指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。例3：根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列方程，判斷所列方程是否是一元二次方程。（1） 一個(gè)正方形的面積得3倍是75，求正方形的邊長。（2）一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3，且兩數(shù)之積是0，求這個(gè)數(shù)。解：（1）設(shè)正方形的邊長是x，則有3x²=75即3x²-75=0（2） 設(shè)一個(gè)數(shù)是x，那么另一個(gè)數(shù)是(x-3),則有x(x-3)=0即x²-3x=0提問：這兩個(gè)方程你會(huì)解嗎？獨(dú)立地積極思考問題,配合教師完成例題,學(xué)生思考、討論、回答問題配合教師完成例題通過例題中各種題型的出現(xiàn),可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)一元二次方程的定義和一般形式的理解和掌握通過此題得出的方程正好是一次項(xiàng)

9、系數(shù)為0和常數(shù)項(xiàng)為0的特殊的一元二次方程，可以鞏固一元二次方程的定義和一般形式及特殊情況，同時(shí)為后面學(xué)習(xí)一元二次方程的解法奠定基礎(chǔ)。課堂練習(xí)及時(shí)反饋1：課本第5頁1題2：課本第6頁2題3：判斷下列關(guān)于的方程中，哪些是一元二次方程？(1) x2=0 (2)1-x2=0 (3) (4) (5) ax2+bx+c=0 4 ：把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)：（1） 3x2=5x-2 (2) (2x-1)(3x+2)=3（3）2y2=y-7 (4)(5)6x(x-1)=0 (6) (x+5)(x-5)=0(7) (m2+1)x2+n-mx=0動(dòng)腦思考動(dòng)手

10、練習(xí)動(dòng)口回答通過大量的練習(xí)，讓學(xué)生熟悉一元二次方程的一般形式以及能熟練指出一元二次方程在一般形式下的項(xiàng)及其系數(shù). 對(duì)容易出錯(cuò)的題加強(qiáng)訓(xùn)練和說明，以完成教學(xué)目標(biāo)突破教學(xué)難點(diǎn)。歸納小結(jié)有助提高教師：1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，誰能總結(jié)一下？2）通過什么方法學(xué)習(xí)的？3）在指出一元二次方程項(xiàng)及二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，要注意什么問題？思考，討論，并回答問題讓學(xué)生自己小結(jié)培養(yǎng)他們的歸納總結(jié)能力布置作業(yè)靈活掌握（1） 必做題：同步訓(xùn)練A組（2） 選做題：同步訓(xùn)練B組（3） 思考題：試總結(jié)一元三次方程的定義 學(xué)生學(xué)生根據(jù)自己的能力選擇作業(yè)題分層布置作業(yè),以遵循因材施教的教育教學(xué)原則教材說明: 1教材的地位

11、與作用 一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在初中代數(shù)中占有重要的地位。在一元二次方程前面，學(xué)生學(xué)了實(shí)數(shù)和代數(shù)式、一元一次方程（包括可以化為一元一次方程的分式方程 ）和一次方程組，上述內(nèi)容都是學(xué)習(xí)一元二次方程的基礎(chǔ)，通過一元二次方程的學(xué)習(xí)，就可以對(duì)上述內(nèi)容加以鞏固。一元二次方程也是以后學(xué)習(xí)（指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程以及不等式、函數(shù)、二次曲線等內(nèi)容）的基礎(chǔ)，它具有承上啟下的作用。同時(shí)學(xué)習(xí)一元二次方程對(duì)其他學(xué)科也有重要意義。2教學(xué)目標(biāo)根據(jù)教學(xué)大綱及學(xué)生實(shí)際情況，制定以下幾方面目的：（1）知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生了解整式方程、一元二次方程的概念。知道一元二次方程的一般形式，會(huì)把一元二次方程化為一般形式。（

12、2）能力目標(biāo)：通過類比，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)思維，培養(yǎng)并提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。（3）思想目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物，初步了解數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐反過來又服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)。3：教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程的概念。4：教學(xué)難點(diǎn)：正確認(rèn)識(shí)一元二次方程的二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。教案說明:這是一節(jié)概念課。概念教學(xué)有它自身的規(guī)律。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過程，一般地說，是人們?cè)趯?duì)實(shí)際的（或具體的）事例觀察的基礎(chǔ)上，通過比較、分析、歸納，再進(jìn)一步概括、抽象出本質(zhì)的過程。實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)思考過程。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，就是在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生自己積極思維，經(jīng)歷上述

13、思考過程，形成并建立數(shù)學(xué)概念的一種活動(dòng)。眾所周知，思維從問題始，思維總是指向某個(gè)任務(wù)的。為了激發(fā)學(xué)生積極思維，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，在知識(shí)的引發(fā)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)上，不斷向?qū)W生提出適當(dāng)?shù)膯栴}，給出“指向”，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生去思考，去探索。這樣，學(xué)生的思維活動(dòng)就能始終處于積極狀態(tài)，這樣即加強(qiáng)了師生間的互動(dòng),又給學(xué)生足夠的思考和活動(dòng)的空間.整個(gè)教學(xué)活動(dòng)就能夠按照教學(xué)目的指定的目標(biāo)前進(jìn)。教學(xué)之初,教師通過幾個(gè)與實(shí)際生活貼近的例子,設(shè)置疑問,激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和欲望,自然引入新課,同時(shí)認(rèn)幫助學(xué)生識(shí)到一元二次方程是來源于實(shí)際需要的;在講解新課時(shí),通過類比曾經(jīng)學(xué)過的一元一次方程的相關(guān)內(nèi)容,找出二者的相同和不同之處,從而總結(jié)出本節(jié)課的重要內(nèi)容,同時(shí)向?qū)W生滲透類比的數(shù)學(xué)思想;在例題練習(xí)題和作業(yè)題的的安排上,教師有意識(shí)安排有梯度的例題和習(xí)題,以遵循因材施