數(shù)值分析總復(fù)習(xí)

1、 (數(shù) 值 分 析 ) 數(shù) 值 代 數(shù) 數(shù) 值 逼 近 方 程 求 解 () 一 數(shù)值計(jì)算與分析在求解實(shí)際問題中位置。實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型計(jì)算方法修正輸出預(yù)測結(jié)果結(jié)果檢驗(yàn)實(shí)際計(jì)算模型誤差方法誤差測量誤差 舍入誤差 數(shù)值分析 總復(fù)習(xí) 解線性方程組 矩陣特征值與特征向量 數(shù)值代數(shù) 直接方法 迭代法解線性方程組的直接方法 一般的線性方程組解法： 列（全）主元素Gauss消元法 LU分解（直接三角分解法） 特殊的線性方程組解法： 平方根法（改進(jìn)）對(duì)稱正定矩陣 追趕法 三對(duì)角方程組 矩陣表示與計(jì)算量 誤差分析（條件數(shù)）： 向量、矩陣范數(shù)， 誤差分析（條件數(shù)）誤差分析（條件數(shù)）， 病態(tài)方程。右端項(xiàng)b的擾動(dòng)對(duì)解

2、的影響11 , bbxxAbAAbxbxbA設(shè) 有 擾 動(dòng)， 相 應(yīng) 解 的 擾 動(dòng) 記 為即系數(shù)矩陣A的擾動(dòng)對(duì)解的影響1111 , 11AAxxAAAAAxAAxAAAAA如果右端項(xiàng)無擾動(dòng)，系數(shù)矩陣 有擾動(dòng)，相應(yīng)的解 的擾動(dòng)仍記為則誤差分析* AxbxxrbAxrxr在求得方程組的一個(gè)近似解 后，檢驗(yàn)精度的一個(gè)簡單方法是將 代入方程組求得殘量（余量）。如果很小，就認(rèn)為解 比較準(zhǔn)確。但在“病態(tài)”嚴(yán)重的方程組，也有即使殘差量很小，近似解與準(zhǔn)確解的差仍很大的情形。* - ().xxAxbxxrrcond Axb設(shè) 和分 別 是 方 程 組的 準(zhǔn) 確 解 和 近 似 解 ，為 殘 量 ， 則解線性方

3、程組的迭代法方法 迭代方法： 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法 松弛法 迭代矩陣的表示 迭代法的收斂判別：迭代法的收斂判別： 矩陣的譜半徑 迭代法的收斂定理及推論（迭代矩陣） 對(duì)系數(shù)矩陣A的三條判別原則 誤差估計(jì)與停機(jī)準(zhǔn)則 雅可比(Jacobi)迭代法1111221n12112222n2n11n12nn 0 (1, 2,),nnnniiina xa xa xba xa xa xba xa xa xba若 系 數(shù) 矩 陣 非 奇 異 即則 有112213311221123322n112233 nnnnnnnngxb xb xb xgxb xb xb xx

4、b xb xb x,(, ,1, 2,),(1, 2,).ijiijiiiiiabbij i jnginaag 其 中(1)() nnxBxg11,BID AgD b高斯塞德爾（Gauss-Seidel)迭代法(1)()()()112213311(1)(1)()()221123322(1)(1)112 kkkknnkkkknnkknnngxb xb xb xgxb xb xb xxb x(1)(1)2,11 kkn nnngb xbx121312123231321121(1)1( )11000000000()() () nnnnnnnnkkaaaaaaLUaaaaaaxD LUxD LbMD

5、LU為迭代矩陣。松弛法(1)( )(1)1(1)( )( )11 (1,2, ) kkkkiiiinkkkiijjijjiijj ixxxxxxxxb xb xgxinAxb 松弛法是將乘上一個(gè)參數(shù)因子 作為修正項(xiàng)而得到新的近似解，具體公式為即按上式計(jì)算的近似解序列的方法稱為松弛法，稱為松弛因111GaussSeidel子。當(dāng)時(shí)稱為低松弛；是迭代；時(shí)稱為超松弛法。 ,1.JacobiGauss-Seidel2.01,3.02AxbAAA設(shè)有線性方程組下列結(jié)論成立：若 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣或不可約弱對(duì)角占優(yōu)陣，則迭代法和迭代法均收斂。若 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則松弛法收斂。若 為對(duì)稱正定陣，則松弛法收斂

6、的充要條件為。(0)(1)( )( ) (0,1,2,)()1.kkkxgxMxgkxM定理：對(duì)任意初始向量和右端項(xiàng) ，由迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是(1)( )( )1 1, (0,1,2,) .kkkMxMxgkx推論若由迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂 2 02推論松弛法收斂的必要條件是。矩陣特征值與特征向量的計(jì)算 冪法（冪法加速）滿足條件的實(shí)矩陣最大特征 值及其相應(yīng)的特征向量。 反冪法滿足條件的實(shí)矩陣最小特征值及其相應(yīng) 的特征向量，某一特征值及特征向量的校正。 雅可比方法（旋轉(zhuǎn)變換）實(shí)對(duì)稱矩陣全部特征值 及其相應(yīng)的特征向量。 QR算法（豪斯豪爾德方法） 中小型矩陣全部特 征值及其相

7、應(yīng)的特征向量的最有效方法。 數(shù)值積分與微分?jǐn)?shù)值逼近基本思想：基函數(shù)方法插值法函數(shù)逼近插值法 拉格朗日（Lagrange）插值及誤差公式： 構(gòu)造基函數(shù) 牛頓（Newton）插值及誤差公式： 差商、牛頓插值公式； 差分（向前、向后、中心）、等距節(jié) 點(diǎn)插值公式。 埃爾米特（Hermite )插值及誤差公式： 構(gòu)造基函數(shù)、特殊及一般形式。 分段低次插值： 分段線性插值、分段埃爾米特插值。 樣條插值構(gòu)造方法 構(gòu)造滿足條件要求的多項(xiàng)式插值函數(shù)并給出構(gòu)造滿足條件要求的多項(xiàng)式插值函數(shù)并給出截?cái)嗾`差（誤差公式）。截?cái)嗾`差（誤差公式）。拉格朗日（Lagrange）插值及誤差公式0 01 10( )( )( )(

8、)( )nnn nk kkP xy l xy l xy lxy lx11( )( )()()niinixl xxxx011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxxxxxx101( )()()()nnxxxxxxx1011( )()()()()niiiiiiinxxxxxxxxx(1)11( )( )( )(1)!nnnRxfxn 牛頓（Newton）插值及誤差公式( )(),(),()(),()()()n00100120101n01n 1Nxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx 0101( ) ,()()()

9、nnnRxf x xxxxxxxxx埃爾米特（Hermite )插值及誤差公式210( )( )( ).nnjjjjjHxyxmx201( )1 2()( ).njjjkjkkja xxxlxxx2( ) () ( ).jjjxx x l x011011()()()()( )()()()()jjnjjjjjjjnx xx xx xx xl xxxxxxxxx0,( )( )0,1,( )0,( )( ,0, 1,),jkjkjkjkjkjkjkxxjkxxj kn(22)2211( )( )( )( )( )(22)!nnnfR xf xHxxn(2)10( )( )( )( )( )()(2

10、)!km nmnjkfR xf xH xxxxmn 分段低次插值龍格現(xiàn)象分段線性插值：分段三次埃爾米特插值：11111( )()kkhkkkkkkkkxxxxI xffxxxxxxx 2101( )( )( )8max (),max( )hiii nax bhR xf xIxMhxxMfx 函數(shù)逼近 最佳平方逼近： 函數(shù)逼近： 法方程、正交多項(xiàng)式（格拉姆施密特 方法、勒讓德多項(xiàng)式、第一類切比雪夫、 其它正交多項(xiàng)式）及其誤差。 數(shù)據(jù)擬合： 法方程、正交多項(xiàng)式（格拉姆施密特 方法）及其誤差。 函數(shù)最佳一致逼近： 近似最佳一致逼近（第一類切比雪夫性質(zhì)）。構(gòu)造最佳平方逼近（法方程、正交多項(xiàng)式法）多項(xiàng)式

11、，給構(gòu)造最佳平方逼近（法方程、正交多項(xiàng)式法）多項(xiàng)式，給出誤差；出誤差；20100( , ,)( )( )( )mnnijjiiijI a aaxaxf x002( )( )( )( )0mnijjiikiijkIxaxf xxa0 (,)()()()mjkijikiixxx記0( ,)() ()()mkiikikifxf xxd00010011011112011(,)(,)(,)(,)(,)(,)=(,)(,)(,)nnnnnnnnadadad 法方程正交多項(xiàng)式00,;(,)( )( )( )0,.mjkijikiikjkxxxAjk *020()()()(,)(,)()()miikikikm

12、kkikiixf xxfaxx22*2220() .nkkkfAa平方誤差為平方誤差為 (0,1, )kn勒讓德多項(xiàng)式 當(dāng)區(qū)間為1,1，權(quán)函數(shù) 時(shí)，由 正交化得到的多項(xiàng)式就稱為勒讓德(Legendre) 多項(xiàng)式 。()1x1, ,nxx012233424()1()1()( 31 )21()( 53)21()( 3 53 03 )8PxPxxPxxPxxxPxxx 110,;( )( )2,.21nmmnP x P x dxmnn第一類切比雪夫多項(xiàng)式 當(dāng)區(qū)間為1，1，權(quán)函數(shù) 時(shí)，由序列 正交化得到的正交多項(xiàng)式。 21( )1xx1, ,nxx( )cos( arccos ),1.cos ( )c

13、os,0nnT xnxxxT xn若令，0122233( )cos 01( )cos( )cos 22 cos121( )cos343TxTxxTxxTxxx1210,( )( ),0;21,0.nmnmT x Tx dxnmxnm數(shù)值微分與數(shù)值積分 數(shù)值微分： 差商型、插值型求導(dǎo)公式及截?cái)嗾`差， 樣條函數(shù)求數(shù)值微分（非節(jié)點(diǎn)處）。 數(shù)值積分： 牛頓柯特斯(Newton-Cotes)求積公式（對(duì)近 似多項(xiàng)式插值函數(shù)求積，機(jī)械公式） 復(fù)化求積公式 (對(duì)近似分段低次插值函數(shù)求積) 龍貝格（Romberg)求積公式 (提高收斂速度) Gauss型求積公式(兩組參數(shù):節(jié)點(diǎn)xk、求積 系數(shù)Ak，最高代數(shù)精

14、度代數(shù)精度為2n+1.Gauss 點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系，幾種公式。) 確定求積公式中的待定參數(shù)確定求積公式中的待定參數(shù),代數(shù)精度的概念。代數(shù)精度的概念。牛頓柯特斯型求積公式是封閉型的（區(qū)間a,b的兩端點(diǎn)a, b均是求積節(jié)點(diǎn)）而且要求求積節(jié)點(diǎn)是等距的,受此限制，牛頓柯特斯型求積公式的代數(shù)精確度只能是n(n為奇數(shù))或n+1(n為偶數(shù))。次代數(shù)精確度。公式有立，則稱該求積次多項(xiàng)式時(shí)不全精確成是等號(hào)成立；而對(duì)的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，式中次數(shù)不高于為任意一個(gè)若的常數(shù)。是不依賴于其中：對(duì)一個(gè)一般的求積公式定義（代數(shù)精確度）。 1 k0knn)x(fn)x(f)x(fA)x(fAdx)x(fknkba+=高斯勒讓德

15、公式110 ( )() ( )nkkkf x dxA f xxn+1此為高斯勒讓德公式，區(qū)間為-1,1,勒讓德正交多項(xiàng)式P的零點(diǎn)就是其高斯點(diǎn)。0 ( )() 22,(0,1,),(0,1,)nbkkakkfx dxA fxnAknknkk求積公式含有個(gè)待定參數(shù)x適當(dāng)選擇這些參數(shù)使其具有2n+1次代數(shù)精度。這類求積公式稱為高斯公式。x是高斯點(diǎn)。高斯公式高斯公式212101 (),1,11() ()1 21co s(0 ,1,).22nkkkkxxxfxd xAfxxkxknn當(dāng)時(shí) ， 所 建 立 的高 斯 公 式稱 為 高 斯 切 比 雪 夫 公 式 。 高 斯 點(diǎn) 為 n + 1 次 切比 雪

16、 夫 多 項(xiàng) 式 的 零 點(diǎn) 。一般的高斯公式求?。ㄓ纱鷶?shù)精確度）0 21 ( )( )()( )0nbkkaknxfx dxA fxx對(duì) 于 任 意 次 數(shù) 不 超 過的 多 項(xiàng) 式 均 能 準(zhǔn) 確成 立稱 其 為 帶 權(quán) 的 高 斯 公 式 。 其 中為 權(quán) 函 數(shù) 。帶權(quán)的高斯公式 非線性代數(shù)方程 微分方程方程求解 常微分方程 偏微分方程非線性方程解法 二分法及其條件 簡單迭代法及收斂條件 如何判斷簡單迭代式是否收斂如何判斷簡單迭代式是否收斂 Newton法 非線性方程線性化，切線法。 弦截法 用差商代替導(dǎo)數(shù) 拋物線法 由根的三個(gè)近似點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)的二次 插值多項(xiàng)式。 收斂充分性定理*01*

17、 ( )(,)( )( )1, () (0,1,2,).nnxxO xxxxxxxxxxnx 定理：如果函數(shù)在 的一鄰域內(nèi)連續(xù)可微， 為方程的根，且則存在正數(shù)使得對(duì)任意迭代序列收斂于 收斂充分性定理(三) 常微分方程數(shù)值解法 常微分方程離散化方法：差商近似導(dǎo)數(shù)、數(shù) 值積分、Taylor多項(xiàng)式展開多項(xiàng)式展開。 Euler 方法的理論解釋、誤差分析、收斂性。 數(shù)值穩(wěn)定性概念與分析方法。 Runge-Katta 方法 的算法產(chǎn)生與穩(wěn)定性分析。 線性多步法的算法產(chǎn)生。 一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法。 選取參數(shù)使某種形式的選取參數(shù)使某種形式的RK公式或線性多步公式或線性多步為為n階方法，并估計(jì)

18、其局部誤差。階方法，并估計(jì)其局部誤差。 泰勒展開公式泰勒展開公式Runge-Kutta法的基本思想11111(,)(,)(2,3,)pnniiinniininijjjyyhc KKfxyKfxa h yhb Kip ( ,)(,)( )nnnf x yxyTaylory xxTaylor于是可考慮用函數(shù)在若干點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合來構(gòu)造近似公式，構(gòu)造是要求近似公式在處的展開式與解在處的展開式的前面幾項(xiàng)重合，從而使近似公式達(dá)到所需要的階數(shù)。即避免求偏導(dǎo)，又提高了方法的精度，此為RK方法的基本思想。線性多步法10111n ,(,)00 TaylorTaylorxTaylor)rrnin iin iiiiikkkyyhfff xyn+1線性多步法，其一般形式為其中均為常數(shù)，。若 ，顯式；，隱式。構(gòu)造線性多步公式常用展開和數(shù)