(精品)直線與方程知識(shí)點(diǎn)+經(jīng)典習(xí)習(xí)題

1、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾

2、斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系

3、平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過(guò)定點(diǎn)的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)；（）過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式利用點(diǎn)到直線的距離公式，可以推導(dǎo)出兩條平行直線，之間的距離公式，推導(dǎo)過(guò)程為：在直線上任取一點(diǎn)，則，即. 這時(shí)點(diǎn)到直線

4、的距離為。1 傾斜角與斜率【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.直線的傾斜角：2.直線的斜率：3.直線的斜率公式：【典型例題】題型 一 求直線的傾斜角例 1 已知直線的斜率的絕對(duì)值等于，則直線的傾斜角為（ ）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°變式訓(xùn)練：設(shè)直線過(guò)原點(diǎn)，其傾斜角為，將直線繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到直線，則的傾斜角為（ ）。 A. B. C. D. 當(dāng)0°135°時(shí)為，當(dāng)135°180°時(shí)，為題型 二 求直線的斜率例 2如圖所示菱形ABCD中B

5、AD=60°，求菱形ABCD各邊和兩條對(duì)角線所在直線的傾斜角和斜率.變式訓(xùn)練： 已知過(guò)兩點(diǎn), 的直線l的傾斜角為45°，求實(shí)數(shù)的值.題型 三 直線的傾斜角與斜率的關(guān)系例3右圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ）. A .k1k2k3B. k3k1k2 C. k3k2k1D. k1k3k2拓展 一 三點(diǎn)共線問(wèn)題例4 已知三點(diǎn)A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一條直線上，求實(shí)數(shù)a的值變式訓(xùn)練:若三點(diǎn)P（2，3），Q（3，），R(4，)共線，那么下列成立的是（ ）. A B C D拓展 二 與參數(shù)有關(guān)問(wèn)題例 5 已知兩點(diǎn)A (-2,- 3)

6、 , B (3, 0) ,過(guò)點(diǎn)P (-1, 2)的直線與線段AB始終有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍.變式訓(xùn)練：已知兩點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)且與線段AB相交，求直線的斜率的取值范圍. 拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知實(shí)數(shù)、滿足當(dāng)23時(shí)，求的最大值與最小值。變式訓(xùn)練： 利用斜率公式證明不等式：且3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.直線平行的判定 2.兩條直線垂直的判定（注意垂直與x軸和y軸的兩直線）：【典型例題】題型 一 兩條直線平行關(guān)系例 1 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-3，0）、N（-15，-6），經(jīng)過(guò)點(diǎn)R（-2，）、S（0，），試判斷與是否平行變式訓(xùn)練：經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線平行于斜率等于1

7、的直線，則的值是（ ）. A4 B1 C1或3 D1或4題型 二 兩條直線垂直關(guān)系例 2 已知的頂點(diǎn)，其垂心為，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)變式訓(xùn)練：（1）的傾斜角為45°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，-1）、Q（3，-6），問(wèn)與是否垂直（2）直線的斜率是方程的兩根，則的位置關(guān)系是 .題型 三 根據(jù)直線的位置關(guān)系求參數(shù)例 3 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,a)、B（a-2,-3）,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果變式訓(xùn)練：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求點(diǎn)D，使直線CDAB，且CBAD探點(diǎn) 一 數(shù)形結(jié)合思想例 5 已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分

8、別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn).（1）證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上. （2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).探點(diǎn) 二 分類(lèi)討論思想例6 的頂點(diǎn)，若為直角三角形，求m的值. 直線的方程3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.直線的點(diǎn)斜式方程：2.直線的斜截式方程：【典型例題】題型 一 求直線的方程例1 寫(xiě)出下列點(diǎn)斜式直線方程： （1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率是4；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是.例 2 傾斜角是，在軸上的截距是3的直線方程是 .變式訓(xùn)練：1. 已知直線l過(guò)點(diǎn)，它的傾斜角是直線的兩倍，則直線l的方程為2. 已知直線在軸上的截距為3，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的

9、三角形的面積為6，求直線的方程3.將直線繞它上面一點(diǎn)（1，）沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°，得到的直線方程是 .題型 二 利用直線的方程求平行與垂直有關(guān)問(wèn)題例 3 已知直線的方程為的方程為，直線與平行且與在軸上的截距相同，求直線的方程。探究 一 直線恒過(guò)定點(diǎn)或者象限問(wèn)題例 4. 已知直線.（1）求直線恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.探究 二 直線平移例 5 已知直線l：y=2x-3 ，將直線l向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移4個(gè)單位后得到的直線方程為_(kāi)3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.直線的兩點(diǎn)式方程：2.直線的截距式方程：【典型例題】題型 一

10、求直線方程例 1 已知頂點(diǎn)為，求過(guò)點(diǎn)且將面積平分的直線方程.變式訓(xùn)練：1.已知點(diǎn)A（1，2）、B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（ ）. A B C D2.已知，則過(guò)點(diǎn)的直線的方程是（ ）. A. B. C. D. 例 2求過(guò)點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程.變式訓(xùn)練：已知直線l過(guò)點(diǎn)（3，-1），且與兩軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則l的方程為 題型 二 直線方程的應(yīng)用例 3 長(zhǎng)途汽車(chē)客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過(guò)規(guī)定，則需要購(gòu)買(mǎi)行李票，行李費(fèi)用y（元）是行李重量x（千克）的一次函數(shù)，其圖象如圖所示.（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明自變量x的取值范圍；（2）

11、如果某旅客攜帶了75千克的行李，則應(yīng)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)多少元行李票探究 一 直線與坐標(biāo)軸圍成的周長(zhǎng)及面積例 4 已知直線過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成面積為4的三角形，求直線的方程探究 二 有關(guān)光的反射例 5 光線從點(diǎn)A（3，4）發(fā)出，經(jīng)過(guò)x軸反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，光線經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（2，6），求射入y軸后的反射線的方程.變式訓(xùn)練：已知點(diǎn)、，點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，求當(dāng)最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)3.2.3 直線的一般式方程【知識(shí)點(diǎn)歸納】1直線的一般式：2直線平行與垂直的條件：【典型例題】題型 一 靈活選用不同形式求直線方程例1 根據(jù)下列各條件寫(xiě)出直線的方程，并且化成一般式：（1）斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，2）； （2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4，2

12、)，平行于軸；（3）在軸和軸上的截距分別是,3； （4）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（3，2）、（5，4）.題型 二 直線不同形式之間的轉(zhuǎn)化例 2 求出直線方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：過(guò)點(diǎn).題型 三 直線一般式方程的性質(zhì)例 3直線方程的系數(shù)A、B、C分別滿足什么關(guān)系時(shí)，這條直線分別有以下性質(zhì)（1）與兩條坐標(biāo)軸都相交；（2）只與x軸相交；（3）只與y軸相交；（4）是x軸所在直線；（5）是y軸所在直線.變式訓(xùn)練：已知直線。（1）求證：不論為何值，直線總經(jīng)過(guò)第一象限；（2）為使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求的取值范圍。題型 四 運(yùn)用直線平行垂直求參數(shù)例 4 已知直線：，：，問(wèn)m為何值時(shí)：（1）； （2）.變式訓(xùn)練：

13、（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程.題型 五 綜合運(yùn)用例 5 已知直線，求m的值，使得：  （1）l1和l2相交；（2）l1l2；（3）l1 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.兩條直線的焦點(diǎn)坐標(biāo)：2.兩點(diǎn)間的距離公式：【典型例題】題型 一 求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)例 1 判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系. 如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).（1）直線l1: 2x3y+10=0 , l2: 3x+4y2=0； （2）直線l1: , l2: .題型 二 三條直線交同一點(diǎn)例 2 若三條直線相交于一點(diǎn)，則k的值等于變式訓(xùn)練：1.設(shè)三條直線：交于一點(diǎn)，求k的值

14、2.試求直線關(guān)于直線:對(duì)稱的直線l的方程.題型 三 求過(guò)交點(diǎn)的直線問(wèn)題例 3 求經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程.變式訓(xùn)練：已知直線l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求經(jīng)過(guò)l1和l2的交點(diǎn)，且與直線l3: 3x-2y+4=0垂直的直線l的方程.題型 四 兩點(diǎn)間距離公式應(yīng)用例 4 已知點(diǎn)且，則a的值為變式訓(xùn)練：在直線上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離為，并求直線的方程.題型 五 三角形的判定 例 5已知點(diǎn)，判斷的類(lèi)型探究 一 直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例 6 已知直線. 求證：無(wú)論a為何值時(shí)直線總經(jīng)過(guò)第一象限.變式訓(xùn)練：若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，

15、求直線l的傾斜角的取值范圍.探究 二 利用對(duì)稱性求最值問(wèn)題（和最小，差最大）例 7 直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，求它與兩定點(diǎn)A(4，1)，B(3，4)的距離之差的最大值.變式訓(xùn)練：已知，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)求的最小值，及取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)3.3.3 點(diǎn)到直線的距離3.3.4 兩條平行直線間的距離【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.點(diǎn)到直線的距離：2.兩條平行間直線的距離：拓展：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱點(diǎn)的求法【典型例題】題型 一 利用點(diǎn)到直線距離求參數(shù)例 1 已知點(diǎn)到直線的距離為1，則a=（ ）. A B C D題型 二 利用點(diǎn)到直線距離求直線的方程例 2 求過(guò)直線和的交點(diǎn)并且與原點(diǎn)相距為1的直線l的方程.變式訓(xùn)練：直線l過(guò)點(diǎn)P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到的距離相等，則直線的方程是題型 三 利用平行直線間的距離求參數(shù)例 3若兩平行直線和之間的距離為，求的值.變式訓(xùn)練：兩平行直線間的距離是（ ）. A. B. C. D. 題型 四 利用平行直線間的距離求直線的方程例 4 與直線平行且與的距離2的直線方程是題型 五 點(diǎn)、直線間的距離的綜合運(yùn)用例 5 已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1