定積分及其應(yīng)用習(xí)習(xí)題詳解

1、第五章 定積分及其應(yīng)用習(xí) 題 5-11. 如何表述定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義推出下列積分的值：（1）, （2）, （3）, （4）.解：若在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時(shí)，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負(fù)值.（1）由下圖（1）所示，. A(2) -1 -1 1 1 AA (1) 1 -1 AAA2 (3) 11(4)（2）由上圖（2）所示，.（3）由上圖（3）所示，.（4）由上圖（4）所示，.2. 設(shè)物體以速度作直線運(yùn)動(dòng)，用定積分表示時(shí)間從0到5該物體移動(dòng)的路程S.解：3. 用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù).解：任取分點(diǎn),把分成個(gè)小區(qū)間

2、，小區(qū)間長度記為=-,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積的和式：,記, 則.4. 利用定積分定義計(jì)算.解：連續(xù)函數(shù)，故可積，因此為方便計(jì)算，我們可以對 等分，分點(diǎn)取相應(yīng)小區(qū)間的右端點(diǎn)，故 = = =當(dāng)（即），由定積分的定義得： =5. 利用定積分的估值公式，估計(jì)定積分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比較 的大小，知，由定積分的估值公式，得,即 .6. 利用定積分的性質(zhì)說明與，哪個(gè)積分值較大解：在區(qū)間內(nèi)： 由性質(zhì)定理知道： 7. 證明：。證明：考慮上的函數(shù)，則，令得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取最大值，且在處取最小值. 故，即。8. 求函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上的平均值.解：平均值9. 設(shè)在0，1上連續(xù)且單調(diào)

3、遞減，試證對任何有.證明： = = ，其中 又單調(diào)減，則，故原式得證.習(xí) 題 1. 計(jì)算下列定積分（1）; （2）; （3）; (4) .解：（1）（2）=+=4+.（3）=+=2+2=4.(4) =.2. 計(jì)算下列各題：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）, （6）, （7）,（8）,（9）, （10）, （11） 解：（1）=. （2）=.（3）. （4）=.（5）. （6）.（7）=. (8) =.(10) =.（10）=.3. 求下列極限（1） . （2）.解：（1）此極限是“”型未定型，由洛必達(dá)法則，得=（2） 4. 設(shè)，求y的極小值解： 當(dāng)，得駐點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，極小值5.

4、設(shè)，求。解：6. 設(shè)，求。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故7. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。解：令，則，從而即，8。解：原式9求由所決定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)。解：將兩邊對求導(dǎo)得， 習(xí) 題 1. 下面的計(jì)算是否正確，請對所給積分寫出正確結(jié)果：（1）=.（2）=2=2.答：（1）不正確，應(yīng)該為：=（2）不正確，應(yīng)該為： =2.2. 計(jì)算下列定積分:(1), (2). （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； (10)； (11) ；（12）。 解：（1）令=,則,當(dāng)= 0 時(shí)，= 0；當(dāng)= 4 時(shí)，于是=（2）=.(3)(4) (5)令，時(shí)；時(shí)，.于是(6) 令，則，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.原式

5、.(7) 令，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.原式(8) 因?yàn)?從而=.(9) 原式(10) 原式(11) 原式 （12）設(shè)，于是=3. 計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）； (5)； (6)； (7)； (8) ； （9）； （10）。解：（1）=.(2) = =1 (3) = =移項(xiàng)合并得.（4）（5）（6）（7）（8）（9）而 , 故 . （10）4. 利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分：（1）; (2) ； (3); （4）.解：(1) =(2) 原式(3) 為奇函數(shù)，（4） 利用定積分的線性性質(zhì)可得原式，而前兩個(gè)積分的被積函數(shù)都是奇數(shù)，故這兩個(gè)定積分值均為0， 原式5. 如果，且求解：

6、由已知條件得 ，即， 即得。6.若在區(qū)間上連續(xù),證明(1)=(2)= ,由此計(jì)算 證明：（1）設(shè).且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)故 （2）設(shè)， = 利用此公式可得：= = =.7. 設(shè)在上連續(xù)，證明 。證明 .令，則 故.8. 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：。證明 .令，則 (以為周期) 故9. 設(shè)在上連續(xù)，證明：證明 利用分部積分法，= 習(xí) 題 1. 下列解法是否正確為什么.答：不正確.因?yàn)樵?，上存在無窮間斷點(diǎn) ， 不能直接應(yīng)用公式計(jì)算，事實(shí)上，+不存在,故發(fā)散.2. 下列廣義積分是否收斂若收斂，則求出其值.（1） ； （2） ； （3）； （4） （5）； （6）； 解：（1）=,發(fā)散.（2）=（3）（4）

7、（5）=.（6），發(fā)散3.下列廣義積分是否收斂若收斂，則求出其值.（1） （2） （3） 解：（1） =+=(2) 令，于是(3) 。4.證明廣義積分 當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。證明：當(dāng)，發(fā)散；當(dāng)=。5.已知，求常數(shù)解：左端右端 ， 解之或。習(xí) 題 1、求由下列曲線圍成的平面圖形的面積：（1）及直線；解：如圖，解方程組，得交點(diǎn)，所求面積為.（2）與（兩部分均應(yīng)計(jì)算）；解：如圖，解方程組，得交點(diǎn)、，所求上半部分面積為.所求下半部分面積為（3）與直線；解：如圖，解方程組，得交點(diǎn)，所求面積為.（4）軸與直線.解：選為積分變量，如圖，所求面積為2.求二曲線與所圍公共部分的面積解： 當(dāng)?shù)扔?和時(shí)，兩曲線相交，

8、所圍公共部分的面積為.3、求由所圍成的圖形，繞軸及軸旋轉(zhuǎn)所得的兩個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：如圖，繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為.4、有一立體，以長半軸、短半軸的橢圓為底，而垂直于長軸的截面都是等邊三角形，求該立體的體積.解：解：取坐標(biāo)系如圖，底面橢圓方程為x垂直于軸的截面為等邊三角形，對應(yīng)于的截面的面積為于是所求立體體積為5、計(jì)算曲線相對應(yīng)于到的一段曲線弧長.解：由弧長的公式得:.6、計(jì)算相應(yīng)于自到的一段弧長.解：由弧長的極坐標(biāo)公式得:.7、求星形線的全長.解：由弧長的參數(shù)方程公式得:.8、設(shè)把一金屬桿的長度由拉長到時(shí)，所需的力等于，其中為常數(shù)，試求將該金屬桿由長度拉

9、長到所作的功.解：由于金屬桿拉長所需的力與拉長的長度成正比，且，其中為常數(shù)。選擇金屬桿拉長的長度為積分變量，其取值范圍為，對于任意，在拉長的長度區(qū)間上，功元素為，于是。 9.一個(gè)底半徑為，高為的圓柱形水桶裝滿了水，要把桶內(nèi)的水全部吸出，需要做多少功（水的密度為）解：建立如圖坐標(biāo)系. 取為積分變量, 任取子區(qū)間，相應(yīng)一薄層水被抽到桶外需做的功近似為 ,于是，把桶內(nèi)的水全部吸出，需做功.10、一矩形閘門垂直立于水中，寬為，高為，問閘門上邊界在水面下多少米時(shí)它所受的壓力等于上邊界與水面相齊時(shí)所受壓力的兩倍.解：設(shè)所求高度為，建立如圖坐標(biāo)系，任取小區(qū)間，小區(qū)間上壓力元素為 于是，由題意得： 從而。習(xí)題

10、（小時(shí)）本章復(fù)習(xí)題A1、求下列極限： （1）； （2）（3）； （4）1、解：（1） 。（2）原式。（3）。（4）。2、求的導(dǎo)函數(shù)。解：。3、求證下列各式： （1）； （2）。證明：（1）設(shè)，先求在上的最大、最小值。 由得內(nèi)駐點(diǎn)， 由知 在上積分得。（2）。4、求下列積分： （1）； 解：。（2）；解：。（3） ；解：。 （4）；解：=。（5）。解：5求連續(xù)函數(shù)，使它滿足.解 當(dāng)時(shí)，令，；，則，兩邊求導(dǎo)數(shù)：兩邊積分及得：6若，求解：令，則，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而7求無窮積分.（1）；解：（2）.解 8設(shè)，求.解：9設(shè)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)與是等價(jià)無窮小，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).試求.解：依題意有本章復(fù)習(xí)題B 一、選擇題1設(shè)上連續(xù)，則在上的平均值是（ ）ABCD2設(shè)函數(shù)，則（ ）A B C D3設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，則在對稱區(qū)間上的定積分（ ）AB C D4利用定積分的有關(guān)性質(zhì)可以得出定積分（ ）A BCD5已知函數(shù)，則（ ）AB CD6設(shè)，且，則（ ）ABC D7設(shè)在上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，則 （ ）ABCD8 若與是兩條光滑曲線（其中），則由這兩條曲線及直線，所圍的平面區(qū)域的面積為（ ）A B C D一、選擇題答案1D 2D 3B 4C 5B 6C 7B 8C二、填空題1 .