4-1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)ppt課件

1、上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回第四章 正態(tài)分布4.1 4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回正態(tài)分布是最常見因而也是最重要的分布正態(tài)分布是最常見因而也是最重要的分布: :1. 很多隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述或近似描述；2. 在一定條件下，某些概率分布可以利用正態(tài)分布近似計(jì)算；3. 在非常一般的充分條件下， 大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似地服從正態(tài)分布；4. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的某些常用分布是由正態(tài)分布推導(dǎo)得到的.4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回 定

2、義定義 若隨機(jī)變量X的概率密度為,e21)(222)(xxfx其中及0都是常數(shù)， 則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布分布( (或高斯分布或高斯分布).).記作：).,(2NX4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù) 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義2222012( )ee122.ttf x dxdtdtxt作積分變換：可得：上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回正態(tài)分布),(2N的概率密度22()21( )e,2xf xx 的圖形：分布曲線的特征：分布曲線的特征：1.關(guān)于直線x對(duì)稱；2.在x處達(dá)到最大值；3.在x處有拐點(diǎn)；4.x時(shí)曲線以x軸為漸近線.4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù) 正態(tài)分

3、布的概率密度與分布函數(shù)正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回5.固定,改動(dòng).則圖形沿x軸平移而不改變其形狀.6.固定改動(dòng),則當(dāng)很小時(shí)，曲線的形狀與一尖塔相似；當(dāng)值增大時(shí)，曲線將趨于平坦.4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回正態(tài)分布),(2N的分布函數(shù)為.,e21)(222)(xdxxFxx4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度：,e21)(22xx;x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)：.e21)(22dtxxt4.1 正態(tài)分布的概率密

4、度與分布函數(shù))(x的性質(zhì)：的性質(zhì)：; 5 . 0)0(; 1)().(1)(xx當(dāng), 01時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記為：).1 ,0( NX).,(2NX對(duì)于：上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回 例例11 設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, ) 1 ,0(N求);96. 1() 1 (XP).5 . 26 . 1()2(XP解：解：)96. 1(XP)96. 1 (;975. 0)5 . 26 . 1(XP)6 . 1()5 . 2()6 . 1 (1 )5 . 2()6 . 1 (1)5 . 2(9452. 019938. 0.9390. 04.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)) 1

5、 ()2(1221()( )( )P xXx x x22()( )P Xx x利用：利用：進(jìn)一步有：進(jìn)一步有：() 1( )P Xc c (|) 2 ( ) 1P Xc c上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回 定理定理 , ),(2NX設(shè))(21xXxP).()(12xx證：證：)(21xXxPdxxxx21222)(e21那么4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)dtxxt2122e21dtxt222e21dtxt122e21).()(12xxxt 正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布的概率計(jì)算上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回例2 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布, )2

6、 ,1 (2N求概率).4 . 26 . 1(XP解：解：)4 . 26 . 1(XP)216 . 1()214 . 2()3 . 1()7 . 0()3 . 1 (1 )7 . 0()9032. 01 (7580. 0. 2166. 04.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回 例例33 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布, ),(2N在區(qū)間),(kk內(nèi)的概率，這里.,3 ,2 ,1k解：解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)(1 )(kk, 1)(2k.,3 ,2 ,1k4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)求X落上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)

7、計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回查附表2得)(XP1) 1 (2,6826. 0)2(XP1)2(2,9544. 0)3(XP1)3(2.9973. 0闡明：假設(shè), ),(2NX那么)3(XP)3(1XP9973. 010027. 0.003. 04.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3， 根據(jù)小概率事件的實(shí)際不可能性原理， 通常把區(qū)間這一原理叫做“三倍標(biāo)準(zhǔn)差原理三倍標(biāo)準(zhǔn)差原理”).3(法則或4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)可能的取值)3,3(看作是隨機(jī)變量X的實(shí)際區(qū)間.上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（

8、第五版）目錄結(jié)束返回例4設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, ) 1 ,0(N機(jī)變量函數(shù)2XY 的概率密度.解：解：已知隨機(jī)變量 X的概率密度)(xfX,e2122x.x先求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)：)(yFY)(yYP).(2yXP當(dāng)0y時(shí)，;0)(yFY4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)求隨上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回當(dāng)0y時(shí)，)(yFY)(yXyPdxyyx22e21所以，Y的分布函數(shù)為 .0,0;0,e22022yydxyx)(yFY4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回.0,0;0,e21221yyyy)(yfY所

9、得的分布稱為自由度為1的2分布.4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)求導(dǎo)得到的概率密度Y上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回1.正態(tài)分布),(2N的概率密度：,e21)(222)(xxf.x2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) 1 ,0(N的概率密度與分布函數(shù)：)(x,e2122x.x4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)小小 結(jié)結(jié).e21)(22dtxxt上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)的性質(zhì)：).(1)(xx4.利用)(x求正態(tài)變量落在某區(qū)間內(nèi)的概率：則若),(2NX)(21xXxP).()(12xx4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)上一頁下一

10、頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 例1 測(cè)量到某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差)(mX具有概率密度,e2401)(3200)20(2xxfm30的概率.解：解：正態(tài)分布, )40,20(2N于是4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)求在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過按題意， 每次測(cè)量時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差)(mX服從上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回)30(XP)3030(XP)402030()402030()25. 1()25. 0()8944. 01 (5987. 0.4931. 0所以， 在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過m30的概率3

11、)4931. 01 (1p.8698. 04.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù))25. 1 (1 )25. 0(上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第五版）目錄結(jié)束返回例2已知某機(jī)械零件的直徑(mm)服從正態(tài)分布, )6 . 0 ,100(2N規(guī)定直徑在(mm)2 . 1100內(nèi)為合格品.求這種機(jī)械零件的不合格品率.解：解：設(shè)隨機(jī)變量X表示這種機(jī)械零件的直徑,(mm)那么, )6 . 0 ,100(2NX按題意， 不合格品率為4.1 正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù))2 . 1100(XP)2 . 1100(1XP)26 . 0100(1XP)26 . 01002(1XP)2()2(1)9772. 01 (9772. 010456. 0%.56. 4上一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)