第三章 連續(xù)轉(zhuǎn)動群 2014

1、第三章 連續(xù)轉(zhuǎn)動群第一節(jié)第一節(jié) 基本概念和定理基本概念和定理對稱操作：對稱操作： 使物質(zhì)體系所占空間位置不變的空間變換。使物質(zhì)體系所占空間位置不變的空間變換。對稱操作需滿足兩個基本條件：對稱操作需滿足兩個基本條件： 任意兩點(diǎn)間距離不變；任意兩點(diǎn)間距離不變； 任意兩向量間夾角不變。任意兩向量間夾角不變。（ 點(diǎn)可由點(diǎn)導(dǎo)出）點(diǎn)可由點(diǎn)導(dǎo)出）對稱操作群：對稱操作群： 對于一個物質(zhì)體系，由該體系的所有對稱操對于一個物質(zhì)體系，由該體系的所有對稱操作構(gòu)成的集合。作構(gòu)成的集合。 1 反演反演(inversion)：有定點(diǎn)：有定點(diǎn)O，使任一向量，使任一向量OP 變成變成OP 的操作，記作的操作，記作I . 點(diǎn)點(diǎn)O

2、 稱為反演中心。反演與稱為反演中心。反演與鏡面反射鏡面反射相互關(guān)聯(lián)相互關(guān)聯(lián)，其中一個是基本操作。，其中一個是基本操作。 （反演（反演 = 繞含反演中心的軸轉(zhuǎn)繞含反演中心的軸轉(zhuǎn) 角再角再做關(guān)于做關(guān)于 h 的鏡面反射，的鏡面反射， ）22hhIcc對稱操作類型：對稱操作類型： 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(rotation)：繞固定軸：繞固定軸( (有向直線有向直線 ) )轉(zhuǎn)某個轉(zhuǎn)某個 角度角度 0 2)，記作，記作Ck() .2 鏡面反射鏡面反射( (或鏡象、反映或鏡象、反映) ) (mirror reflection)： 鏡面記作鏡面記作 ，以，以 為法向量的平面，記作為法向量的平面，記作 . h , v 分別為

3、垂直和通過主軸的鏡面。分別為垂直和通過主軸的鏡面。kk 平移平移(translation)：體系中所有點(diǎn)沿相同方向移動：體系中所有點(diǎn)沿相同方向移動 相同距離的操作，用矢量相同距離的操作，用矢量 表示表示（指向表方向，長度（指向表方向，長度表距離）表距離）。ak 空間操作空間操作( (space operation) )： 由平移操作實現(xiàn)，體系中所有點(diǎn)發(fā)生同方向同距由平移操作實現(xiàn)，體系中所有點(diǎn)發(fā)生同方向同距 離的移動。離的移動。 點(diǎn)操作點(diǎn)操作( (point operation) )： 體系中至少有一點(diǎn)不動的對稱操作，稱為點(diǎn)對稱體系中至少有一點(diǎn)不動的對稱操作，稱為點(diǎn)對稱 操作，簡稱點(diǎn)操作。包括旋

4、轉(zhuǎn)和鏡面反射。操作，簡稱點(diǎn)操作。包括旋轉(zhuǎn)和鏡面反射。例：例： 1. C3v 群：僅含點(diǎn)操作。群：僅含點(diǎn)操作。342. 花瓶花瓶 所有所有Cz()操作構(gòu)成一個操作構(gòu)成一個Abel群，稱為群，稱為SO(2)群群或或 R(2)群群。 （二維旋轉(zhuǎn)對稱操作構(gòu)成的（二維旋轉(zhuǎn)對稱操作構(gòu)成的二維旋轉(zhuǎn)群二維旋轉(zhuǎn)群，也稱，也稱二維轉(zhuǎn)動群二維轉(zhuǎn)動群） 有旋轉(zhuǎn)對稱軸；有旋轉(zhuǎn)對稱軸； 旋轉(zhuǎn)任意角度不變，無限多個旋轉(zhuǎn)任意角度不變，無限多個 對稱操作；對稱操作； 角度角度旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)操作操作：Cz() zzzCCC 53. 圓球圓球 繞過球心的任意轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)任意角度，均是對稱繞過球心的任意轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)任意角度，均是對稱操作，全體

5、操作構(gòu)成操作，全體操作構(gòu)成 SO(3)群群或或 R(3)群群。 (三維旋轉(zhuǎn)群三維旋轉(zhuǎn)群) 過球心平面鏡面反射也是對稱操作，與過球心平面鏡面反射也是對稱操作，與R(3)群操作群操作聯(lián)合構(gòu)成聯(lián)合構(gòu)成O(3)群群。(三維全正交群，三維正交群，三維轉(zhuǎn)動反演群三維全正交群，三維正交群，三維轉(zhuǎn)動反演群) Ci = E, I I 與純旋轉(zhuǎn)操作對易，有與純旋轉(zhuǎn)操作對易，有 SO(3) Ci = O(3) 設(shè)不動點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)操作設(shè)不動點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)操作不改變不改變?nèi)我馊我鈨墒噶績墒噶?， 間的相對位間的相對位置（保長、保角變換）。置（保長、保角變換）。1r2r 點(diǎn)操作對應(yīng)一個算符點(diǎn)操作對應(yīng)一個算符 ：

6、 內(nèi)積內(nèi)積 滿足此關(guān)系的變換是保長、保角變換滿足此關(guān)系的變換是保長、保角變換1122.rArrAr；121212,r rr rArAr 6O1r2r1r 2r 由由 有有 變換算符變換算符 及對應(yīng)矩陣及對應(yīng)矩陣A是幺正的。是幺正的。1 =A AIAA（），12121212,r rr rAr ArA Ar r 點(diǎn)操作的特點(diǎn)點(diǎn)操作的特點(diǎn) 三維實空間三維實空間中，變換中，變換 不會將實矢量變成復(fù)矢量，不會將實矢量變成復(fù)矢量， 是實變換，結(jié)合幺正性，表明是實變換，結(jié)合幺正性，表明是正交算符，是正交算符， A為正交矩陣：為正交矩陣： ； .1AAA 由全體由全體3維正交變換維正交變換( (矩陣矩陣) )

7、構(gòu)成的群稱為構(gòu)成的群稱為三維全三維全正交群，正交群，O(3)群群。SO(3)群是群是Special orthogonal group . O(3) = SO(3) Ci , Ci = e, I .O(3)：三維旋轉(zhuǎn)反演群。：三維旋轉(zhuǎn)反演群。71AAA n維全正交群維全正交群 O(n)旋轉(zhuǎn)、反射在實空間中對應(yīng)著正交算符旋轉(zhuǎn)、反射在實空間中對應(yīng)著正交算符 ，以（以（1, 2, 3）為基，有：）為基，有： 0.ijjijAee AAA AAAI，矩陣滿足8 ， （正交矩陣性質(zhì)）（正交矩陣性質(zhì)）1detAAdetdet1AA AAdetdet2det1A1detA9引理引理 1. 三維實空間中，純旋轉(zhuǎn)

8、操作所對應(yīng)正交矩陣三維實空間中，純旋轉(zhuǎn)操作所對應(yīng)正交矩陣 A 的行列式等于的行列式等于 1 。證明：證明：Cz() A ，det A = () . 連續(xù)變化，則連續(xù)變化，則 A的矩陣元和行列式的矩陣元和行列式也應(yīng)連續(xù)變化。也應(yīng)連續(xù)變化。zOrr Cz(0) I0 ，(0) = 1 .反證法：設(shè)在某反證法：設(shè)在某 處，處，() = 1,則必有則必有m (0, ) ，使，使 (m) = 0 ,而這違反而這違反 det A = 1 . () = 1 .Cz()110()m ， . 由引理由引理1， ， . 100010001A I而 det1A I 2det1A cdet1hA 正當(dāng)操作正當(dāng)操作：

9、det A = 1；非正當(dāng)操作非正當(dāng)操作： det A = 1 .10反演：反演： ， 22hhIcA IAA c 2detdetdethA IAA c含奇數(shù)次反演或鏡面反射的操作對應(yīng)行列式為含奇數(shù)次反演或鏡面反射的操作對應(yīng)行列式為 1 .構(gòu)造三元一次方程組：構(gòu)造三元一次方程組： 000 xxxAyIyAIyzzz 11引理引理 2. det A = 1 的正交矩陣的正交矩陣A對應(yīng)一個定軸轉(zhuǎn)動。對應(yīng)一個定軸轉(zhuǎn)動。0det0AI0000000detdetdetdetdetdetdetdetdetAIAAAA IAAIAIAIAIAAI證明：證明： . det ( AII0 0 ) = 0 ，有非

10、零解。，有非零解。 0012301230000123000 , ,.xxAkA e e eye e eAyzzxe e eIykz可見，矢量可見，矢量 為旋轉(zhuǎn)操作為旋轉(zhuǎn)操作A的轉(zhuǎn)軸。的轉(zhuǎn)軸。k12設(shè)解為設(shè)解為 x0，y0 ，z0 ，并定義，并定義 ，0 10 20 3kx ey ez e 稱為稱為無窮小算符無窮小算符（并非無窮小量，起生成元作用）。（并非無窮小量，起生成元作用）。 （群元算符的導(dǎo)數(shù)仍是算符）（群元算符的導(dǎo)數(shù)仍是算符）13 0 時，時， 000zzzCCCI 為有限值時，為有限值時， ，n為正整數(shù)。為正整數(shù)。取取n ， . nzCIen nzzCCn SO(2) 群的群元：群的群

11、元：Cz()，是是表征群元的連續(xù)參數(shù)。表征群元的連續(xù)參數(shù)。第二節(jié)第二節(jié) 定軸轉(zhuǎn)動群定軸轉(zhuǎn)動群 SO(2)一、群元表達(dá)式一、群元表達(dá)式 不同線性空間中不同線性空間中 算符算符有不同的矩陣形式。有不同的矩陣形式。1. 三維實空間三維實空間： 0 時，時， zCrrr33.errerr14 是反厄米算符：是反厄米算符： = + 證：證：Cz()是是幺正算符，幺正算符， 0 時，可時，可忽略忽略 2 項，有項，有 = + . zzCCIIII 0定義定義 ，有，有 ， .LiLL i LzCerr由由 ，33rrerIer zCI3. e(三維實空間)010100 .000 該矩陣雖然奇異，但該矩陣雖

12、然奇異，但 SO(2) 群元群元 Cz() 的表示矩陣的表示矩陣 I0(3) + 不奇異。不奇異。15 的變換矩陣形式：的變換矩陣形式： ； ； .1312eeee2321eeee 3330eee 2. 算符的另一種形式算符的另一種形式一維函數(shù)空間一維函數(shù)空間( (基基 ) )： 0 時時, 1, ,1,.zzCff Crffff 16.yxxyyxxyxy cossinxy（，）rz軸 x ,frf=zzLii xyrpLyx ， .zi LzCeSO(2) 群是群是Abel群，不可約表示均群，不可約表示均1維，無窮多個。維，無窮多個。17二、二、不可約表示和特征標(biāo)不可約表示和特征標(biāo) 0 0

13、zzzzCyCCCy zzzCCC 00zzzCCC對對 求導(dǎo)：求導(dǎo)：18 方程的解為方程的解為 0zCzCAe 0 01 zCzzCCe，而而要求要求 2=zzCC 0 , ()zCimm整數(shù) ime imzCe不可約表示：不可約表示： 特征標(biāo)：特征標(biāo)：SO(2)群：群： 不同不同m值值對應(yīng)不同不可約表示，無窮多個；對應(yīng)不同不可約表示，無窮多個； 群元、群元算符形式：群元、群元算符形式： ； 不可約表示、特征標(biāo)：不可約表示、特征標(biāo)： ； 不能認(rèn)為不能認(rèn)為 （算符（算符 數(shù)）。數(shù)）。 zCe imzCeim 19若設(shè)若設(shè)() = g/2 ，則有，則有20 2 imimmmeed由， 2*0.m

14、mmmdg 特征標(biāo)正交性定理：特征標(biāo)正交性定理： 有限群：有限群：SO(2)群：群： 應(yīng)有應(yīng)有 ()為為 處處群元密度群元密度 ijijRRRg 20=mmmmdg = 0VVVdyxymxxmymyxxyxydt ( )xyyx可見可見 = 常數(shù)，即常數(shù)，即 是守恒量。是守恒量。zyxLxpypzL20（1）經(jīng)典力學(xué)中，物體處于二維勢場）經(jīng)典力學(xué)中，物體處于二維勢場 中，中， 如果如果 具有繞具有繞 z 軸旋轉(zhuǎn)對稱性，軸旋轉(zhuǎn)對稱性， ，即，即 V V,0V xyVmxFxVmyFy VV（2）量子力學(xué)中：）量子力學(xué)中： 算符在算符在 作用下不變，作用下不變， 為本征函數(shù)，為本征函數(shù)， 是矩陣，也是本征值。是矩陣，也是本征值。( )( )HTV rTVH( )zC,( )0zH C( )imzmmCe mime兩邊乘以兩邊乘以 ：H( )imzmmCHeH 可見，旋轉(zhuǎn)算符和哈密頓算符具有相同的本征函數(shù)?？梢?/p>