流體力學版7-3基本的平面有勢流動

1、7-6 7-6 基本的平面有勢流動基本的平面有勢流動1 1均勻直線流均勻直線流C - 任意復常數(shù) CzzW)(解析 對應平面勢流解)sini(cosVC設( )(cosisin )(i )W zVxy)sini(cosiVvudzdWcosuVsinvV把復勢的實部和虛部分開，分別得到 )sincos(yxV)sincos(xyV等勢線流線cossinConst.xycossinConst.yx( )(cosisin )(i )W zVxy等勢線流線對于 = 0，( )W zV z( )(cosisin )W zVz V xV yuV0vxyV2 2平面點源平面點源/ /點匯點匯zCzWln)

2、(解析 對應平面勢流解C - 任意實常數(shù) 2QC設( )ln2QW zz22lnln22QQrxyxyQQ1tg22i( )ln()(lni )22QQW zrer2rQvrr10vr平面點源流 ( Q 0 ) 平面點匯流 ( Q 0 ) 平面點匯流 ( Q 0 )，且在坐標原點處壓強為 p0，試求 (1) 上半平面的流動圖案； (2) 沿 y = 0 的速度與壓強。)2sini2(cos)(22i2arearzW2cos2 ,ar2sin2ar解解 令 z = rei，于是所以令 = 0，得到零流線02k(1, 2,)k 及它們是自原點出發(fā)的射線，把上半平面分成兩個夾角為的直角區(qū)域。對坐標原

3、點和 y = 0 上的任意一點( r , 0 )或者( r , )列出伯努利方程2202rapp流動速度為，2sin2arv2cos2 ,rvar在 y = 0 ( 即 = 0 及 = ) 上，0v2 ,rvar022)2(ppar于是得到 y = 0 上的壓強分布為7-7 7-7 有勢流動疊加有勢流動疊加1 1直線流與點源流的疊加直線流與點源流的疊加( )ln2QW zV zzcosln2QV rrsin2QV r直線流 點源流或者把速度勢函數(shù)或流函數(shù)疊加11cos2rQvV rrrsinvVr sin2QV r求出速度求通過駐點的流線：令 vr = 0，v = 0，得到過駐點的流線：sin

4、22QQV r2QyV或者 2QrV駐點1cos2rQvV rrsinvV sin2QV r2 2點渦流與點匯流的疊加點渦流與點匯流的疊加 - - 螺旋流螺旋流( )lnln22 iQW zzzln22Qrln22QrlnQrC等勢線方程為/1rQrC e流線方程為ln rQC/2QrC e 流線等勢線12vr2rQvrr22222224rQVvvr221222212118Qpprr 水輪機引水室中的旋轉水流、旋風燃燒室中的旋轉氣流等都可以被近似地看成是此類流動。ln22Qr zzzzW1)4ln() i 32() 1ln() i1 ()(22zzzzzzzzzzW12)2( ) i 2ln(

5、i2)6() i 2ln(i2)6( ) i 2ln(2)4() i 2ln(2)4( ) 1ln(i2)2() 1ln(i2)2( ) 1ln(2)2() 1ln(2)2()(例例 假設某一組合流場的復勢是分析它是由哪些奇點疊加而構成的。解解 把所給復勢整理如下點源點渦偶極子3 3均勻流繞圓柱無環(huán)量流動均勻流繞圓柱無環(huán)量流動( )2MW zV zz均勻直線流+偶極子22i( )(i )2MxyW zV xyxy222yxxMxV222yxyMyV流線( = C)222MyV yCxy尋找通過駐點的流線。222MxV x xy21cos2rMvVrr211sin2MvVrr1cos2MV rr

6、令0 ,rv 0 .v 221sin22MyMV yV rCrxy由流線方程 C = 00 , ,2MrV21cos2rMvVr21sin2MvVr 01222yxMVy通過駐點的流線：0 ,yVMyx222VMR2令222Ryx0 ,y速度為速度為 V 的均勻直線流的均勻直線流 + + 強度為強度為 2 V R2 的偶極子流的偶極子流 = 繞半徑繞半徑 R 圓柱體流動圓柱體流動222MyV yCxy把 M 用 R 代替就得到rrRVyxRxVcos1122222rrRVyxRyVsin1122222( )2MW zV zz22RVMzRzVzW2)(rRVrvrcos122rRVrvsin1

7、122速度：令 r = R ，得到圓表面的速度 0rvVvsin20 ,駐點：0sin12 0 222 0 drRrVrdv速度環(huán)量：2222vpVp壓強分布：沿柱表面( r = R ) ，vr = 0Vvsin2)sin41 (222Vpp無環(huán)量繞流無環(huán)量繞流221VppCp壓強系數(shù)：)sin41 (222VppCp2sin41壓強左右對稱，上下對稱圓柱無環(huán)量繞流圓柱無環(huán)量繞流無升力，無阻力無升力，無阻力。4 4均勻流繞圓柱有環(huán)量流動均勻流繞圓柱有環(huán)量流動均勻直線流均勻直線流+ +偶極子偶極子+ +點渦點渦rRVvrcos122速度：2 r221sinRvVriln2z2( )RWzVzz0

8、rv沿柱表面( r = R )駐點位置取決于點渦強度: RV40(a) 當0v令RV4sin0得到2sinvV2 R4 RV(c) 當4 RV(b) 當RV4sin0速度環(huán)量：有環(huán)量繞流有環(huán)量繞流柱表面壓強分布：2222vpVpRVv2sin222 2sin 2ppVV2 RddrRrVrdv2 0 2 0 222 0 2sin 1 2 0 2d2 r221sinRvVr0cos 2 0 dpRFDVdpRFL2 0 sin 阻力：升力：圓柱有環(huán)量繞流有升力，無阻力。例例. 圓柱體在水中的移動速度圓柱體在水中的移動速度V0=15m/s，半徑，半徑r0=1m，順時針方，順時針方向環(huán)量向環(huán)量 =9

9、4m2/s。求圓柱體上駐點的位置、流體作用在圓柱體。求圓柱體上駐點的位置、流體作用在圓柱體上力的大小和方向。上力的大小和方向。 (相對速度相對速度V = 15m/s)(4sin0Vr駐015 ,30 , 5 . 0sin駐駐VFLNFL61041. 194151000作用力的方向垂直向下作用力的方向垂直向下解解. 均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動sinrV例例. . 已知平面勢流的流函數(shù)，問繞流圖案特征已知平面勢流的流函數(shù)，問繞流圖案特征。rrrln50sin40sin10rln2sin2rM這是均勻流繞圓柱體的有環(huán)量流動，其中這是均勻流繞圓柱體的有環(huán)量流動，其中直線流直線流點

10、渦流點渦流偶極子流偶極子流V =10(m/s ) =100 (m2/s) 逆時針方向逆時針方向r0=2 (m) VMr220解解. 均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動/1 ,V R4/VR馬格努斯(Magnus)效應 旋轉的圓球形物體同樣也會產(chǎn)生馬格努斯效應，如： 旋轉的排球、足球、乒乓球等會在橫向力的作用下改變其飛行方向。 實驗表明，圓柱在運動流體中旋轉，當柱體表面上的流體在粘性作用下隨柱體一起旋轉，而且基本上不會發(fā)生分離現(xiàn)象。此時的流動也就相當于圓柱體的有環(huán)量繞流，其環(huán)量近似為 。所以，旋轉圓柱體向前運動時會受到垂直于運動方向的橫向力。 22R 不可壓縮流體平面無旋流動的復變

11、函數(shù)解法不可壓縮流體平面無旋流動的復變函數(shù)解法1 1流體繞物體流動時對物體所作用的升力流體繞物體流動時對物體所作用的升力 iidididxyFFFpxyp z d ,xFp y dyFp x +id +idxyFFFp yp x 222ppVV寫出壓強xiyFxFydsdy- dxdSpds- pdxpdy由伯努利方程2222pVpVdidWuvzdidWuvz 222ddiiddWWuvuvuvVzz222ppVV下面用復勢 W 表達速度 V。2dd2ddWWppVzz2ddiddidd22dd2ddWWWWFpVzzzzzz idFp z ddddddddddddddWWWWzzzWWzz

12、zzziddd2ddWWFzzz 在物面上 = C，dddWWddidWddid ,W2idd2dWFzz 布拉休斯公式 采用復勢作為未知函數(shù)求解勢流后，還可以就用復勢來直接計算流體對物體的作用力。 圓柱的無環(huán)量繞流，沒有阻力也沒有升力；圓柱的有環(huán)量繞流，沒有阻力但是有升力。由布拉休斯公式出發(fā)，計算任意形狀物體繞流的作用力。 1202ddWCCCzzz展開成羅朗級數(shù)： 還需要由已知條件確定系數(shù) C0 , C1 等。zddzWVzVC0ddddiddWzWz12012ddd2 idCCWzCz Czzzi21C由復變函數(shù)的留數(shù)定理 dQ d 22dd2iWCVzzz2222222222ididd

13、2d22i2i d2i4i 2 i=i2iCWFzVzzzzV V CVzz zzV V 0 ,xF VFy 在勢流中物體的阻力為零，升力等于流體密度、來流速度和環(huán)量三者的乘積，與物體的形狀無關。 2idd2dWFzz )ln(i20zzW點渦在 z0 點例例 y =0 是一無限長固壁，在 y = h 處有一強度為 的點渦。求固壁 y = 0 上的速度。解解hyx-ln(i )ln(i )2 i2 iWzhzh22111i2 iiidWhuvdzzhzhzh在 y = 0：221 ,huxh0v 11tgtg22y hy hxx2222lnln22xyhxyh1tg22yx22ln2ln2yx

14、r或者或者 ,uxvy ,uyvx yxz0=x0+iy0-0000220220ln()ln()ln()ln()2 i2 i2 i2 i ln2 iWzzzzzzzzzzzz例例Qyx例例Qyx例例QQQQ例例 設設 x 軸是一塊無限大平板，平板兩側都是靜止大氣，壓強軸是一塊無限大平板，平板兩側都是靜止大氣，壓強為為p pa。如果在點。如果在點( (a，b)處放置一個強度為處放置一個強度為Q Q 的點源，試求平板的點源，試求平板由于上下兩側壓差產(chǎn)生的合力。由于上下兩側壓差產(chǎn)生的合力。)(ln(2ibazQW平板上有法向速度，上式不是本問題的解！平板上有法向速度，上式不是本問題的解！xyo為消除

15、壁面法向速度，疊加一為消除壁面法向速度，疊加一個位于個位于( (a, b)的的 等強度點源等強度點源解解. . 試以位于點試以位于點( (a，b)，強度為強度為Q Q 的點源復勢為解的點源復勢為解Q(a,b)任何滿足拉普拉斯方程的函數(shù)都任何滿足拉普拉斯方程的函數(shù)都可能是不可壓縮無旋流的解，只可能是不可壓縮無旋流的解，只有同時滿足邊界條件的解才是適有同時滿足邊界條件的解才是適合特定問題的解。合特定問題的解。（鏡像法）（鏡像法）在在（a, b）和和（a, b）等強度點源疊加等強度點源疊加速度分布速度分布)(ln(2)(ln(2ibazQibazQW)(1)(12ibazibazQivudzdW平板

16、上平板上( ( y=0) =0) 法向速度為零，法向速度為零，滿足邊界條件！滿足邊界條件！22)()( 22bazazQ此復勢解適用于上半平面此復勢解適用于上半平面（a, b）+Q（a,b）+Q由上、下側壓差引起的平板的合力為由上、下側壓差引起的平板的合力為0)(2dxppFabQF42222)()( 2221baxaxQppa平板上側的壓強分布為平板上側的壓強分布為( p = pa )yxVz0=x0 +iy0R例例2200( )RRW zVzzzzz例例 用疊加法求解理想流體繞圖示二維物體的流動。yxV Lz y0 = f (x)11( ) tg2LyV yqdx1001( ) tg2Ly

17、V yqdx0)( dqL解解 采用直線均勻流與對稱線上 強度分布為q()的源(匯)疊加， 其流函數(shù)為100tg2yyQxx0令 ，得到零流線另外還需滿足需要由此確定 q() 。1tg2QyxyxV L y0 = f(x)q()10Niiiqqii01011 tg2NjjiiijiyV yqx(1, 2,1)jN用數(shù)值方法求解。把對稱線分為 N 小段，設每段上源(匯)是常數(shù) ( qi， ) ，在物面上設 N -1 個控制點( xj，y0j， ) ，要求在每個控制點上法向速度為零。1, 2 1,NjNi,2, 1,另外還有N 個線性代數(shù)方程的方程組，可以求解 N 個未知量( qi ) 。111

18、tg2NiiiiyV yqx ,uyvx 解出 qi 后，由下式就得到流函數(shù)求導后就可以得到流場中任意一點的速度分量。用 N 小段上常數(shù)變化的 qi 來取代連續(xù)變化的未知函數(shù) q()，只要段數(shù)取得足夠多，就可以得到足夠精確的解。 本題反映了 奇點分布法的主要思想。 例例 設一不可壓縮流體平面無旋流動的復勢為 f (z)， 現(xiàn)將一半徑為 R的圓柱放入流場，試證明新流場 的復勢為 2Rw zf zfz證證 需證明新流場的復勢在半徑為 R的圓周上虛部為常數(shù)。 2Rw zf zff zf zf zf zz實數(shù)2zzR2Rzz在圓周上 ，因此 ，于是虛部為零，是常數(shù)。得證。VR例例 證明均勻流繞圓柱流動

19、的復勢為 2RW zVzz fzV z 22RRW zf zfVzzz22RRfVzz證證 直線均勻流復勢為因此有于是得證R1/R-1QR1/RQ-Q1例例 證明圓周線的下列奇點鏡像：R1/R-101z0z 0ln2 if zzz00000111lnln2 i2 i1 lnlnln2 i2 i2 izfzzzzzzzzzz 0011lnlnln2 i2 i2 iW zf zfzzzzzz證證1 1：根據(jù)前例，半徑為1的圓周是流線。QR1/RQ-Q101z0z 0ln2Qf zzz00111lnlnln222QQQfzzzzzz 0011lnlnln222QQQW zf zfzzzzzz根據(jù)前例

20、，半徑為1的圓周是流線。證證2 2：7-8 不可壓縮流體基本軸對稱勢流及其疊加不可壓縮流體基本軸對稱勢流及其疊加一、基本的軸對稱勢流一、基本的軸對稱勢流(1) 均勻直線流均勻直線流積分得速度勢函數(shù)和流函數(shù)積分得速度勢函數(shù)和流函數(shù) 柱坐標柱坐標 ，z是軸對稱軸，各物理參數(shù)不隨是軸對稱軸，各物理參數(shù)不隨 變化變化),(zr0rv zvVrvrzvz1rvrz 1zvrr用柱坐標系用柱坐標系V z212V r(2) 空間點源空間點源(匯匯)流流224 ()RQv rz3/2222222sin4 ()4rRQrrQvvr rzrzrz3/2222222cos4 ()4zRQzzQvvz rzrzrz22014()Qrzz 2214Qrz 空間點源在空間點源在z0 ：空間點源