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1、隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).)(0),(xyyyxF 確定了一元隱函數(shù)確定了一元隱函數(shù)設(shè)設(shè)得得代入代入將將0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu則則兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)
2、,當(dāng)遇到求導(dǎo),當(dāng)遇到 y 的函數(shù)的函數(shù) f(y)時(shí)時(shí))(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 記記xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入0 dxdu得到關(guān)于得到關(guān)于dxdy的代數(shù)方程,的代數(shù)方程,即即為為所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù),與上同理至于隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù),與上同理求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再將再將),(yxgdxdy 例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程
3、程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.,)23,23(,333線線通通過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過(guò)過(guò)的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過(guò)原點(diǎn)顯然通過(guò)原點(diǎn).例例3 3.
4、)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代入代入得得4110 yxy.16110 yxy補(bǔ)證反函數(shù)的求導(dǎo)法則補(bǔ)證反函數(shù)的求導(dǎo)法則為其反函數(shù)為其反函數(shù)為直接函數(shù),為直接函數(shù),設(shè)設(shè))()(xfyyx 隱隱函函數(shù)數(shù)確確定定的的一一個(gè)個(gè)可可視視為為由由方方程程0)()( yxxfy 由隱函數(shù)的微分法則由隱函數(shù)的微分法則求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對(duì)兩邊對(duì)方程方程xyx)(
5、 dxdyy )(1 )(1ydxdy 例例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例例5 求證拋物線求證拋物線ayx 上任一點(diǎn)的切線上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a證證求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對(duì)兩邊對(duì)方程方程xayx 02121 dxdy
6、yxxydxdy 故曲線上任一點(diǎn)故曲線上任一點(diǎn)),(00yx處切線的斜率為處切線的斜率為0 xxdxdyk 00 xy 切線方程為切線方程為)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為)(0000yxayaxa a 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形,即雖然給出的是顯函數(shù)有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形,即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法
7、方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).目的是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化目的是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算。-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形開(kāi)方和冪指函數(shù)開(kāi)方和冪指函數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、xvxu例例6 6.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)解解等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx例
8、例7 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解這函數(shù)的定義域這函數(shù)的定義域 1, 32, 4 xxx4 x若若兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理同理32 x若若313121112 xxxxyy例例8dxd
9、yyxxy求求設(shè)設(shè) 解解兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得yxxylnln 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy 例例9dxdyaxaxaxynanaa求求設(shè)設(shè))()()(2121 解解兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例例1010.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解解等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1s
10、inln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去參數(shù)消去參數(shù)22)2(xty 42x xy21 問(wèn)題問(wèn)
11、題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy 參量函數(shù)參量函數(shù), 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()(
12、)()(322tttttdxyd 即即例例1111處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.方方程程解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例123222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設(shè)設(shè)證證dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例例13
13、設(shè)曲線設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程r=r()所確定,試求該所確定,試求該曲線上任一點(diǎn)的切線斜率,并寫(xiě)出過(guò)對(duì)數(shù)螺線曲線上任一點(diǎn)的切線斜率,并寫(xiě)出過(guò)對(duì)數(shù)螺線上點(diǎn)上點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程處的切線的直角坐標(biāo)方程 er )2,(2 e解解由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系知由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2 切線斜率為切線斜率為12 dxdyk), 0()2,(22 eeer所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為上
14、點(diǎn)上點(diǎn)而而 故切線的直角坐標(biāo)方程為故切線的直角坐標(biāo)方程為)0(2 xey 2 eyx 即即例例1414.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻求求其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計(jì)計(jì)空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv 解解.,)1(00可由切線的斜率來(lái)反映可由切線的斜率來(lái)反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .co
15、ssin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴的這樣兩個(gè)相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtd
16、ydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?例例1515?,20,120,4000,/803水面每小時(shí)上升幾米水面每小時(shí)上升幾米米時(shí)米時(shí)問(wèn)水深問(wèn)水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長(zhǎng)為形狀是長(zhǎng)為水庫(kù)水庫(kù)秒的體流量流入水庫(kù)中秒的體流量流入水庫(kù)中米米河水以河水以解解0604000m則則水水庫(kù)庫(kù)內(nèi)內(nèi)水水量量為為水水深深為為設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) tdtdhhdtdV 38000,/288003小時(shí)小時(shí)米米 dtdV,20米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng) h小時(shí)小時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求 導(dǎo)法則求導(dǎo)
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