平行四邊形的性質(zhì)知識點(diǎn)-例題-習(xí)題

1、第二十一講平行四邊形的性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作 YABCD，讀作平行四邊形ABCD .要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條知識點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角線互相平分；要點(diǎn)詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系(2)

2、由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇(3)利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān) 系來解決.知識點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)定理1 .兩條平行線間的距離：(1)定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注:距離是指垂線段的長度，是正值.2 .平行線性質(zhì)定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等.平行線性質(zhì)定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等.11第二十一講平行四邊形的性質(zhì)【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)例1、如圖所示，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，若 AF、BE分別為/ DAB、/ C

3、BA的平分線.求證:DF=EC.【答案與解析】證明：: 在Yabcd中,CD / AB ,/ DFA = / FAB .又 AF是/ DAB的平分線，/DAF=/FAB, /DAF=/DFA, AD = DF.同理可得EC=BC.在 YaBCD 中，AD = BC, DF = EC.【總結(jié)升華】 利用平行四邊形的性質(zhì)可以得到對角相等，對邊平行且相等，為證明線段相等提供了條件. 舉一反三：【變式】如圖，E、F是平行四邊形 ABCD的對角線AC上的點(diǎn)，CE=AF,請你猜想：線段 BE與線段DF 有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明.【答案】證明：彳#想：BE / DF且BE= DF.四邊形ABCD是

4、平行四邊形CB=AD , CB / AD ./ BCE=Z DAF 在 BCE和 DAF中CB ADBCE DAFCE AFABCEA DAFBE=DF, / BEC = Z DFABE / DF即 BE / DF 且 BE = DF.例2. （2016 永州）如圖，在 ？ABCD中，/ BAD的角平分線 AE交CD于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn) E.(1)求證：BE=CD ;ABCD的面積.(2)連接BF,若BF± AE, / BEA=60 , AB=4 ,求平行四邊形【思路點(diǎn)撥】(1)由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出/BAE=/BEA,即可證明；(2)證明4ABE為等邊三角形，由勾股

5、定理求出BF,由AAS證明aADF，ECF,得出AADF與 ECF的面積相等，平行四邊形ABCD的面積=4ABE的面積，即可得出結(jié)果.【答案與解析】(1)證明：二.在平行四邊形 ABCD 中，AD/BC, AB /CD , AB=CD ,/ AEB= / DAE ,又 AE是/ BAD的角平分線，/ BAE= / DAE , / AEB= / BAE , AB=BE , BE=CD .(2)解：AB=BE , / BEA=60. .ABE為等邊三角形， AE=AB=4 , BF± AE,AF=EF=2 ,BF= 2 技. AD / BC, ./ D= Z ECF, / DAF= ZE

6、, 在ADF和AECF中，D ECF DAF E , AF EFADFA ECF (AAS)ADF的面積=4ECF的面積，平行四邊形 ABCD的面積=4ABE的面積=1 AE BF - 4 2由 4J3 . 22【總結(jié)升華】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形 的性質(zhì)與判定、勾股定理；解答本題注意掌握平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì).例3.如圖，在？ABCD中，點(diǎn)E, F分別在邊DC, AB上，DE=BF ,把平行四邊形沿直線 EF折疊，使得 點(diǎn)B, C分別落在B', C'處，線段EC與線段AF交于點(diǎn)G,連接DG, B' G

7、.求證：(1) / 1 = /2;(2) DG=B G.ECr(1)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形得出DC/AB,推出/ 2=/FEC,由折疊得出/ 1 = /FEC=/2,即可得出答案;(2)求出 EG=B G ,推出/ DEG=/EGF,由折疊求出/ B' FG= EGF,求出 DE=B F,證DEGB' FG即可.【答案與解析】 證明：（1）二.在平行四邊形 ABCD中，DC/AB, ./ 2=Z FEC,由折疊得：/ 1 = /FEC,1 = / 2;(2) .一/ 1 = /2,EG=GF ,. AB / DC, ./ DEG= / EGF,由折疊得：EC / B'

8、; E.B' FG=z EGF, DE=BF=BF ,DE=B F ,.DEGAB，F(xiàn)G(SAS),DG=B G .【總結(jié)升華】 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主 要考查學(xué)生的推理能力.例4.如圖，已知？ ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn),連接DF并延長，交AB的延長線于點(diǎn) E.求證：AB=BE .【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC , AB /CD,推出/C=/FBE, / CDF= / E ,證 CDFABEF,推出 BE=DC 即可.【答案與解析】 證明：. F是BC邊的中點(diǎn),BF=CF , 四邊形ABCD是平行四邊形，AB=

9、DC , AB / CD ,/ C= / FBE, / CDF= ZE, 在 4CDF 和BEF 中C= FBECDF = E CF = BF.,.CDFA BEF (AAS ),BE=DC , AB=DC , AB=BE .【總結(jié)升華】 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出 CDFABEF.舉一反三：【變式】 如圖，已知在？ ABCD中，延長 AB ,使AB=BF ,連接DF,交BC于點(diǎn)E. 求證：E是BC的中點(diǎn).【答案】證明：在 ABCD 中，AB / CD ,且 AB=CD , ./ CDF= / F, / CBF= ZC, AB=FB ,DC

10、=FB ,DECA FEB,EC=EB ,即E為BC的中點(diǎn).類型二、平行線的性質(zhì)定理及其推論例5. (1)如圖1,已知 ABC,過點(diǎn)A畫一條平分三角形面積的直線；(2)如圖2,已知11/12,點(diǎn)E, F在11上，點(diǎn)G, H在12上，試說明AEGO與FHO面積相等;(3)如圖3,點(diǎn)M在4ABC的邊上，過點(diǎn) M畫一條平分三角形面積的直線.Ar E FWZx二二3 （OC * G g H 5<3> C【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的面積公式，只需過點(diǎn) A和BC的中點(diǎn)畫直線即可；（2）結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明；（3）結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論進(jìn)行求作.【答案與解析】解：

11、（1）取BC的中點(diǎn)D,過A、D畫直線，則直線 AD為所求；證明：.li / %，點(diǎn)E, F至IJ 12之間的距離都相等，設(shè)為 h.SEGH=1GH< h, Safgh=-GH< h,22Saegh=Safgh,Sa egh -S agoh =Sa fgh -Sa goh ,.EGO的面積等于 FHO的面積；（3）解：取BC的中點(diǎn)D,連接MD ,過點(diǎn)A作AN / MD交BC于點(diǎn)N,過M、N畫直線，則 直線MN為所求.;【總結(jié)升華】 此題主要是根據(jù)三角形的面積公式，知：三角形的中線把三角形的面積等分成了相等的兩部 分；同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等.舉一反三：【變式】有這樣的一個(gè)定理：

12、夾在兩條平行線間的平行線段相等.下面經(jīng)歷探索與應(yīng)用的過程.探索：已知：如圖 1, AD / BC , AB / CD,求證：AB=CD .應(yīng)用此定理進(jìn)行證明求解.（圖D（即）（邸）應(yīng)用二、已知：如圖 3, AD / BC, AC ± BD , AC=4 , BD=3 .求：AD與BC兩條線段的和. 【答案】探索：證明：如圖1, 連接AC,. AD / BC, .DAC= / BCA. AB / CD. .BAC= / DCA在ABC和CDA中， f ZBAC=ZDCAAC=AC ,I ZACB=ZDAC ABCA CDA (ASA), AB=CD ;應(yīng)用一：證明：如圖2,作DE /

13、AB交BC于點(diǎn)E,. AD / BC, AB=DE AB=CD , DE=CD , / DEC= / C DE / AB ,/ B= / DEC , . B=/C;應(yīng)用二、解：如圖3, 作DF / AC交BC的延長線于點(diǎn) F. AD/BC, ，AC=DF、 AD=CF , DF / AC ,/ BDF= / BEC ,AC ±BD, . BDF=/BEC=90 , 在RtBDF中，由勾股定理得： BF=5 , 故 BC+AD=BC+CF=BF=5 .（圖1）（卸）偎分【鞏固練習(xí)】選擇題則下列式子不正確的是（D. / BAD = / BCDA.AC ± BDB.AB = CD

14、C. BO = OD1.如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC, BD相交于點(diǎn)O,且ABw AD,0）、（4,0）、（2,4）,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）則下列說法正確的是（）10.如圖，在 4ABC中，AB=AC=5 , D是BC邊上的點(diǎn)，DE / AB交AC于點(diǎn)E,A . (4, 6) B.(4, 2) C, (6, 4) D, (8, 2)4.如圖，A、P是直線m上的任意兩個(gè)點(diǎn)，B、C是直線n上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線m /n；C. AC=BP D. ABC的周長等于 ABCP的周長5.平行四邊形的一邊長是10cm ,那么它的兩條對角線的長可以是（）9.在 YaBCD 中，CA XAB ,

15、 / BAD = 120 °,若 BC= 10cm ,貝U AC =2.已知平行四邊形ABCD 中，/ B=4 / A ,則 / C=()(0,A . AB / PC B. ABC的面積等于ABCP的面積A.4 cm 和 6 cmB.6 cm 和 8 cmC.8 cm 和 10 cmD.10cm 和 12 cm6.如圖，在Y ABCD中，BF平分/ ABC ,交AD于點(diǎn)F, CE平分/ BCD,交D. 14填空題8.已知 YaBCD,如圖所示，AB = 8 cm , BC = 10cm, /B = 30°, YaBCD 的面積AB =DF / AC交AB于點(diǎn)F,那么四邊形

16、AFDE的周長是11.如圖所示，平行四邊形 ABCD的周長是18cm,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,12.如圖所示，平行四邊形ABCD中，BEXAD , CE平分/ BCD, AB=10 ,BC=16 ,貝U AE=A. 18° B, 36° C. 72° D.1443.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為AD 于點(diǎn) E, AB=6 , EF=2,則 BC 長為(A . 8B. 10C. 127.如圖所示，在 YaBCD中，對角線相交于點(diǎn)O,已知 AB =24 cm , BC= 18 cm, AOB的周長為54 cm ,則4AOD

17、的周長為cm .若4AOD與4AOB的周長差是 5cm,則邊AB的長是cm.解答題13 .如圖所示，點(diǎn) E, F是平行四邊形 ABCD對角線BD上的點(diǎn)，BF=DE .求證：AE=CF .14 .如圖，ABCD是平行四邊形，P是CD上一點(diǎn)，且 AP和BP分別平分/ DAB和/ CBA . (1)求/ APB的度數(shù)；(2)如果 AD=5cm , AP=8cm ,求 4APB 的周長.ABCD 的邊 AD、DC 和 BC 上，DG=DC , CE=CF,點(diǎn) P 是射線15 .如圖，點(diǎn)G、E、F分別在平行四邊形GC上一點(diǎn)，連接FP, EP.求證：FP=EP.【答案與解析】.選擇題1 .【答案】A;2

18、.【答案】B;C=/ A, BC/:/ A+ /Z B=4/A,：/C=/ a=36 ,【解析】:四邊形ABC星平行四邊形,AD,B=18。， ：/A=36 , 故選B.3 .【答案】C;【解析】平行四邊形ABCD勺頂點(diǎn)AB、D的坐標(biāo)分別為（0,0）、（ 4,0）、（ 2,4）,DC=AB=4 DC/ AB,.C的橫坐標(biāo)是4+2=6,縱坐標(biāo)是4, 即C的坐標(biāo)是（6, 4）.故選C.4 .【答案】B;【解析】解：AB不一定平行于PC, A不正確；平行線間的距離處處相等， ABC的面積等于 BCP的面積，B正確;AC不一定等于 BP, C不正確； ABC的周長不一定等于 BCP的周長，D不正確,

19、故選：B.5 .【答案】D;【解析】設(shè)兩條對角線的長為2a, 2b.所以 a b 10,2a 2b 20,所以選 D.6 .【答案】B；【解析】因?yàn)? AFB= / FBG / ABF= / FBC 所以 AF= AB= 6;同理可證： D已 DC= 6; EF= AF+DE-AD =2,即 6+6-AD=2,解得 AD=10.二.填空題7 .【答案】48;【解析】因?yàn)樗倪呅?ABC比平行四邊形，所以 OD= OB AD= BC= 18cm,又因?yàn)橐褹OB勺周長為54cm , 所以。用 OB+ AB= 54 cm ,因?yàn)?AB= 24cm ,所以。用 OB= 54-24=30（ cm）,所以。

20、用 OD = 30（ cm）,所以 OL ON AD= 30+ 18= 48（ cm）,即 AOD勺周長為 48 cm.8 .【答案】40;【解析】過點(diǎn) A作AFU BC于H.在RHABH中，/ B=30° , AB= 8cm ,1AH= AB= 4( cm ). 225 v1 3 cm , 5 ； Syabcd BC . Al I 10 X 4 = 40( cm ).9.由題意，/ DAC= / BCA= 30° ,AB=BC=5 AC102 52 5.3 .210 .【答案】10;【解析】解：AB=AC=5B=Z C,由 DF/ AC 得 / FDB至 C=Z B,.FD=FB同理，得DE=EC，四邊形AFDE勺周長=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=5+5=10.故答案為10.11 .【答案】2;【解析】四邊形 ABC虛平行四邊形，OA=OC OB=OD AOD勺周長=OA+OD+ADA AOB勺周長=OA+OB+AB又AODW 4AOB的周長差是 5,AD=AB+5設(shè) AB=x, AD=5+x則 2 (x+5+x) =18,解得x=2,即 AB=2.故答案為2.12 .【答案】6;【解析】平行四邊形 ABCDAD/ BC, AD=BC=16 AB=CD=10/ DEC=/ ECB,