廣東省廣州市2020屆高三普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)理科數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2020年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）、選擇題（共12小題）1,若集合 A=x|y= v?F, B=x|x2-xW0,則 AAB=()A. 0, 1)B. 0, 1C. 0, 2)D. 0, 2? 一，一，,2,已知復(fù)數(shù) z= 1+bi (bCR), 是純虛數(shù)，則 b=()2+?A. - 2B. - 111C. -D. 1223 .若 a= log33, b= lnL c=0.6 0.2,則 a, b, c 的大小關(guān)系為()22A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c> b4 .首項(xiàng)為-21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起開始為正

2、數(shù)，則公差 d的取值范圍是（）A. d>3B. d< 7C. 3<d<-7D. 3vdwg5 .周髀算經(jīng)中提出了 “方屬地，圓屬天”，也就是人們常說(shuō)的“天圓地方”.我國(guó)古 代銅錢的鑄造也蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方” “天地合一”的哲學(xué)思想.現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r,正方形的邊長(zhǎng)為 a （0vavr）,若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn), 得到點(diǎn)取自陰影部分的概率是 p,則圓周率 兀的值為（）?A.；(1-?)?2B' (1+?)?2(1-?)?D- (1+?)?6 .在三棱柱 ABC - A1B1C1中，E是棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) F是側(cè)面 ACC1A1 （包括邊界）

3、上一點(diǎn)，若EF /平面BCC1B1,則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是（）B.圓弧A.線段C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分1 ,7 .函數(shù)f (x) =- 2x+正的圖象大致是( |?|8.如圖，在梯形 ABCD 中，AB/CD, ABXAD ,AB =2AD = 2DC,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是 AE 上點(diǎn)， ？= 2?貝1?妾 ()9.已知命題p： (x2- 1? n的展開式中，僅有第22021 +2D.322020 2A. -322020 +2B. 3,?11 .過(guò)雙曲線C: - r = 1（a>0, b>0）右焦點(diǎn)F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足 ?., . ff .一 一.為P,與雙曲線交

4、于點(diǎn) A,若？?=3?加?？則雙曲線C的漸近線方程為（）A . y= ± 1xB. y= ± x22C. y=±2xD, y=±-x512 .若關(guān)于x的不等式e2x- alnx >1a恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（）A. 0, 2eB.(一巴 2eC. 0, 2e2D. (-oo, 2e2二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分。13.已知角”的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與角a的終邊上，則Sin2 a=.x軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn) P （2, - 1）在14 .如表是某廠2020年14月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)月份x1234用水量y2

5、.5344.5其線性回歸方程是？?=由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較明顯的線性相關(guān)關(guān)系,?尹1.75,預(yù)測(cè)2020年6月份該廠的用水量為 百噸.15 .過(guò)拋物線y2= 4x焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于 A, B兩點(diǎn)，且|AB|=4,若原點(diǎn)O是4 ABC的垂心，則點(diǎn) C的坐標(biāo)為 .16 .正四棱錐P - ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2，？過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱 PC垂直的 平面a,則平面a被此正四棱錐所截的截面面積為 ,平面a將此正四棱錐分成的 兩部分體積的比值為.三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考

6、題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17 . AABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知a= 1 , B= ? AABC的面積為2. 34(1)求 ABC的周長(zhǎng)；(2)求 cos (B - C)的值.18 .如圖，在三棱柱 ABC - AiBiCi 中，側(cè)面 BBiCiC 為菱形，AC = ABi, BiCABCi=O.(1)求證：BiCXAB ；(2)若/CBBi = 60° , AC = BC,且點(diǎn)A在側(cè)面BBiCiC上的投影為點(diǎn) O,求二面角B-AAi-C的余弦值.19 .已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-"?0) ,( V?0),動(dòng)點(diǎn) M(x,

7、y)滿足直線 AM和BM的斜率之積為-3,記M的軌跡為曲線 E.(1)求曲線E的方程；(2)直線y=kx+m與曲線E相交于P,Q兩點(diǎn)，若曲線E上存在點(diǎn)R,使得四邊形 OPRQ 為平行四邊形(其中 。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求 m的取值范圍.20 .當(dāng)今世界科技迅猛發(fā)展，信息日新月異.為增強(qiáng)全民科技意識(shí)，提高公眾科學(xué)素養(yǎng)， 某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來(lái)”為主題的系列活動(dòng)，并對(duì)不同年齡借閱者 對(duì)科技類圖書的情況進(jìn)行了調(diào)查.該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機(jī)抽取100名，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表:借閱科技類圖書(人)借閱非科技類圖書(人)年齡不超過(guò)50歲2025年齡大于50歲1045(1)是否有99%的把

8、握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān)?(2)該圖書館為了鼓勵(lì)市民借閱科技類圖書，規(guī)定市民每借閱一本科技類圖書獎(jiǎng)勵(lì)積分2分，每借閱一本非科技類圖書獎(jiǎng)勵(lì)積分1分，積分累計(jì)一定數(shù)量可以用積分換購(gòu)自己喜愛的圖書.用表中的樣本頻率作為概率的估計(jì)值.(i)現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書，記此3人增加的積分總和為隨機(jī)變量已求E的分布列和數(shù)學(xué)期望;(ii)現(xiàn)從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人，則借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是多少?附：K2= ?(?-?),其中 n=a+b+c+d.(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821 .

9、已知函數(shù) f (x) = lnx sinx+ax ( a> 0).(1)若 a= 1,求證：當(dāng) x C (1, -)時(shí)，f (x) v 2x - 1; 2(2)若f (x)在(0, 2兀)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選彳4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為?= ?= ?+ ?為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線4C2的極坐標(biāo)萬(wàn)程為念1+3?(1)寫出曲線Ci和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲

10、線Ci的切線，切點(diǎn)為A,求|PA|的最大值. 選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)f (x) = |x+1|-|2x-2|的最大值為 M,正實(shí)數(shù)a, b滿足a+b=M.(1)求2a2+b2的最小值；(2)求證：aabb>ab.、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1,若集合 A=x|y=、？ ？, B= x|x2- x< 0,則 AnB=(A. 0, 1)B. 0, 1C. 0, 2)D. 0, 2【分析】求出集合 A, B,由此能求出 APB.解：,.集合 A = x|y= v?=x|xW2,B = x|x2 x w

11、 0 = x|0w x w 1,則 An B = x|0<x< 1=0,1,2.已知復(fù)數(shù) z= 1+bi (bCR),?一 - 一， 一是純虛數(shù)，則b=()2+?A. - 2B.D. 1【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則把? 、一 ,、. 一 .一2+?上成復(fù)數(shù)的一般形式，實(shí)部為零，虛部不等于零計(jì)算即可.?1+? (1+?)(2-?)解：因?yàn)?2+?2+?(2+?)(2-?)2+?+(2?-1)?,由于其是純虛數(shù),所以 2b 1W0 且 2+b= 0 貝U b= - 2.3.若 a = log3", b= ln-, c= 0.6 0.2,則 a,22b,c的大小關(guān)系為(A. c&g

12、t;b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a> c> b【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)直接求解.3. 一.解：0=log3lva=log3£ vlog33= 1,b= ln < ln1 = 0,2c= 0.6 0.2 >0.60= 1,c> a> b.故選：B.4.首項(xiàng)為-21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差 d的取值范圍是()A. d>3B. d< 2C. 3<d<-7D. 3vdwg【分析】從第8項(xiàng)起開始為正數(shù)，可得 a7<0, a8>0,解出即可得出.解：

13、an= - 21+ (n 1) d.從第8項(xiàng)起開始為正數(shù)， .a7= - 21+6d<0, a8= - 21+7d>0,解得3vdw7.2故選：D.5 .周髀算經(jīng)中提出了 “方屬地，圓屬天”，也就是人們常說(shuō)的“天圓地方”.我國(guó)古代銅錢的鑄造也蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方” “天地合一”的哲學(xué)思想.現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r,正方形的邊長(zhǎng)為 a (0vavr),若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn),得到點(diǎn)取自陰影部分的概率是p,則圓周率兀的值為(?A' (1-?)?2?B. 己(1+?)?C. (1-?)?D,(1+?)?p,則?？汕?【分析】計(jì)算圓形錢幣的面積和正方形的面積，求出對(duì)

14、應(yīng)面積比得解：圓形錢幣的半徑為 rcm,面積為S圓=兀？ r2;正方形邊長(zhǎng)為 acm,面積為S正方形= a2.在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是p_ ?柒?方形=1至則兀=?.（1-?）?2故選：A.6 .在三棱柱 ABC-A1B1C1中，E是棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F是側(cè)面ACC1A1 （包括邊界）上一點(diǎn)，若EF /平面BCC1B1,則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是（）A.線段B.圓弧C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分【分析】分別取 AC, A1C1, A1B1的中點(diǎn)N, F, M,連接ME , MF , NE , EF ,可得N,解：分別取AC, A1C1, A1B1的中點(diǎn)N,F, M,連接 ME ,

15、 MF , NE, EF ,因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，可得NE / BC且11NE= 2? FM / B1C1, MF = B 1C1,所以N, E, M, F共面，所以可得 ME/ BB 1, BE / BC,E, M, F共面，且可得使 EF /平面BCC1B1,所以F在線段FN上.而 NE AME = E, BCABBi=b,所以面NEMF /面 BC1,而 EF?面 MN ,所以 EF /面BC1,所以要使EF/平面BCC1B1,則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為線段FN .1 ,7.函數(shù)f (x) =- 2x+而的圖象大致是()|?|【分析】由函數(shù)解析式易知 XV0時(shí)，f (x) >0,且f (2)

16、<0,由此利用排除法得解.解：當(dāng)xv 0時(shí)，？?(?= -?+焉> ?故排除選項(xiàng)BD； |?|又？(?= -?+ 2= - 7 <?故排除選項(xiàng) A.故選：C.8.如圖，在梯形ABCD 中，AB / CD, AB±AD , AB=2AD = 2DC, E 是 BC 的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE上一點(diǎn),?=2?則?!A . 1 ? 1 ?B . 1 ? 1 ?23321111C.- 2?+ 3? D.- 3?【分析】直接利用向量的三角形法則以及基本定理即可求得結(jié)論.解：由梯形 ABCD 中，AB/CD, AB±AD, AB = 2AD = 2DC , E 是 BC 的中點(diǎn)

17、，F(xiàn) 是AE 上一點(diǎn),?= 2?,?則？2 ? ?= -?+ 3?= -?+ 3 x-(?- ?= -?+ 3(? ?+ ?=-? ?+ 1 (? ?+ ?+ 1? = - 1? ? 1? ? ? 3223故選：C.9.已知命題p： (x2- 1? n的展開式中，僅有第 7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為495;命題q：隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N (2, 2),且P ( y 4) = 0.7,則P (0< K 2) =0.3.現(xiàn)給出四個(gè)命題： pAq, pVq, pA (q),(p) V q, 其中真命題的是()A.B.C.D.【分析】由(x2- 1J n的展開式中，僅有第 7項(xiàng)

18、的二項(xiàng)式系數(shù)最大求得 n,寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求得r,得到常數(shù)項(xiàng)判斷 p；再由正態(tài)分布的對(duì)稱性求得P(0v % 2)判斷q,再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.解：在(x2- 1J n的展開式中，只有第 7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n=12,則？?+?干？?，? 1?= (-?) ?修?-?令 24 3r =0,得 r=8,，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為？?= 舄L？?做p為真命題;8!?4!隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N (2, b 2),則其對(duì)稱軸方程為x=2,又 P ( EV 4) = 0.7,則 P (0V y 2) = 2(?- ?X ?)= 0.2,故 q 為假命題.則pA q為假命題；pVq

19、為真命題；pA (q)為真命題；(p) V q為假命題.其中真命題的是故選：C.10.設(shè)數(shù)列an的前n 項(xiàng)和為 Sn,且 a = 2, an+an+1 = 2n(n6N*),貝U S2020=22020 2A. -322020 +2B.3【分析】本題根據(jù)遞推公式an+an+i = 2n (n CN* )的特點(diǎn)在求S2020時(shí)可采用分組求和法,然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可得到正確選項(xiàng).解：由題意，可知S2020 = ai+a2+a2020= (a+a2)+ (a3+a4)+ + (22019+22020) =21+23+-+2201921-2 2019?221-2 222021 -23故選：C

20、.?11.過(guò)雙曲線C: - - = 1 (a>0, b>0)右焦點(diǎn)F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為P,與雙曲線交于點(diǎn)A,若？?= 3?則雙曲線C的漸近線方程為(C. y=±2x【分析】由題意畫出圖形，不妨設(shè)一條漸近線方程為 ？?=?求得直線F2P： y= -?(?-?)與已知漸近線方程聯(lián)立求得P的坐標(biāo)，再由向量等式求得 A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理即可求得雙曲線 C的漸近線方程.解：如圖，不妨設(shè)一條漸近線方程為？?= ?則F2P所在直線的斜率為?直線F 2P： y= ?%?- ?) ?,?)?= ??；蚵?lián)立?,解得P (空y。)，由?= 3? ? = 3 (xo c,

21、 yo), 一？?= - ?(?- ?)?設(shè) A (xo,解得A (?+空，注?. 3?3?代入”-"=1,得e2?%2 -3?'9?0?9?整理得：?= 1.?2雙曲線C的漸近線方程為y= ±2?12 .若關(guān)于x的不等式e2x- alnx >2a恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A. 0, 2eB. (-8, 2e C. 0, 2e2D. (8, 2e2【分析】討論a<。時(shí)，f(x) = e2x- alnx無(wú)最小值，不符題意；檢3a=0時(shí)顯然成立;討論a>0時(shí)，求得f (x)的導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn) m、極值和最值，解不等式求得m的范圍,結(jié)合a=2me2m

22、,可得所求范圍.解：當(dāng)a<0時(shí)，f (x) =e2x-alnx為(0, +oo)的增函數(shù)，f (x)無(wú)最小值，不符合題 意；當(dāng)a=0時(shí)，e2x-alnx >2a即為e2x> 0顯然成立；當(dāng) a>0 時(shí)，f(x) = e2x- alnx 的導(dǎo)數(shù)為 f' (x) = 2e2x- ?由于 y=2e2x- ?£ (0, +8)遞增，設(shè)1( x) = 0 的根為 m,即有 a=2me2m,當(dāng) 0vxv m 時(shí)，f' ( x) v 0, f (x)遞減；當(dāng) x> m 時(shí)，f' ( x) > 0, f ( x)遞增，可得x=m處f (x)

23、取得極小值，且為最小值e2m- alnm ,由題意可得 e2m - alnm >-a, gp ? - alnm >-a,2 '2?2 '化為 m+2mlnm w 1,設(shè) g (m) = m+2mlnm , g ' ( m) = 1+2 (1 + lnm ),當(dāng) m=1 時(shí)，g (1) =1, m>1 時(shí)，g' (m) >0, g(m)遞增，可得 m+2mlnm < 1的解為0vmW1,則 a=2me2me (0, 2e2,綜上可得a0, 2e2,故選：C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13 .已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)

24、原點(diǎn)重合，始邊與 x軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn) P (2, - 1)在角a的終邊上，則 sin2 a=【分析】由已知結(jié)合三角形函數(shù)的定義可求Sin a, COS a,然后結(jié)合二倍角的正弦公式即可求解.12解：由題息可得，Sin?= =, cos?二百:,所以 sin2 a= 2sin acos 后45-故答案為：-4514 .如表是某廠2020年14月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)月份x1234用水量y2.5344.5其線性回歸方程是？?=由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較明顯的線性相關(guān)關(guān)系,?+1.75,預(yù)測(cè)2020年6月份該廠的用水量為5.95 百呻.【分析】求出樣本中心的坐標(biāo)，代入回歸

25、直線方程，求出 ?然后彳弋入 x=6,推出結(jié)合即可.解：由題意可知 ?= 1+2+3+4=23,?=2.5+3+4+4.54=3.5 ;線性回歸方程是?= ?+1.75,經(jīng)過(guò)樣本中心，所以3.5 =?+1.75,解得：？?=0.7,所以?=0.7x+1.75,x=6 時(shí),?= 0.7X6+1.75= 5.95 （百噸）預(yù)測(cè)2020年6月份該廠的用水量為 5.95百噸.故答案為：5.95.15 .過(guò)拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于 A, B兩點(diǎn)，且|AB|=4,若原點(diǎn)O是4 ABC的垂心，則點(diǎn) C的坐標(biāo)為(-3, 0).【分析】由題意設(shè)直線 AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和，由拋物線

26、的性質(zhì)可得 弦長(zhǎng)|AB|的表達(dá)式，再由題意可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線的方程，代入拋物線的方程 求出A, B的坐標(biāo)，由 O為三角形 ABC的垂心可得 C在x軸上，設(shè) C的坐標(biāo)，由 OA XBC,可得數(shù)量積為 0,求出C點(diǎn)的坐標(biāo).解：顯然直線AB的斜率不為0,由題意設(shè)直線 AB的方程為：x=my+1,設(shè)A (xi, yi),B (x2, y2),聯(lián)立直線AB與拋物線的方程y2 - 4my -4=0, yi+y2=4m,所以?= ?+ ?必.？?？:整理可得xi+x2= 4m2+2,由拋物線的性質(zhì)可得|AB |= xi+x2+2 = 4m2+4,由題意可得4m2+4=4,所以m = 0,即直線 AB

27、垂直于x軸,所以可得 A (i, 2) , B (i, - 2),._. . » ,一. 一 一一、 一一、. 、一 . 一 ,一 因?yàn)樵c(diǎn)O是4ABC的垂心，所以C在x軸上，設(shè)C(a,0),可得AOLBC,即？?？?20即(i, 2) ? (i - a, - 2) = 0,整理可得：i - a - 4= 0,解得 a= - 3,所以C的坐標(biāo)為：(-3, 0),故答案為：(-3, 0).16 .正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2J?過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱 PC垂直的 平面”，則平面“被此正四棱錐所截白截面面積為 _43平面a將此正四棱錐分成 3 1的兩部分體積的比值為-（或2

28、）.-2【分析】由已知得 PAC為正三角形，取 PC的中點(diǎn)G,得AG ± PC,且AG="？然 后證明AG ± EF ,且求得AG與EF的長(zhǎng)度，可得截面四邊形的面積；再求出四棱錐 P -AEGF的體積與原正四棱錐的體積，則平面a將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值可求.解：如圖，在正四棱錐P - ABCD中，由底面邊長(zhǎng)為 2,側(cè)棱長(zhǎng)為？?/?可得 PAC為正三角形，取 PC的中點(diǎn)G,得AGXPC,且AG="?設(shè)過(guò)AG與PC垂直的平面交 PB于E ,交PD于F ,連接 EF ,則 EGPC, FGXPC,可得 RtAPGERtAPGF,得 GE=GF, PE

29、=PF,在 PAE與 PAF中，由PA=PA, PE = PF, / APE = /APF ,得 AE = AF .AGXEF .在等腰三角形PBC中，由8+8-43PB = PC=2v? BC=2,倚 cos/ BPC= 2 x 2&X2/ =4'則在Rt PGE中，得PE?v24 上? / =?= 33'4同理 PF= 422,則 EF / DB,得到 EF= 422 33. 114 4 槎 4a一？的邊形?=? 2 X ? ?= 2 X v?X 3 = -3，則？3?-?無(wú) 1x47 XV?=挈 339-V _1_ _ 二 4V6乂 ?-? o x ?x ?x v

30、?= o，33，平面a將此正四棱錐分成的上下兩部分體積的比為4v6-9-4V6 4V6"3O"故答案為：42勺；1 (或2). 32三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。. .? -, 3a/317 . AABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知a= 1 , B= ? AABC的面積為 上 34(1)求 ABC的周長(zhǎng);(2)求 cos (B - C)的值.【分析】(1)由已知結(jié)合三角形的面積公式可求c,然后結(jié)合余弦定理

31、可求b,進(jìn)而可求；(2)由已知結(jié)合余弦定理及同角平方關(guān)系可分別求解cosC, sinC,然后結(jié)合差角余弦公式可求.解：（1）因?yàn)?a= 1, B= £ ABC 的面積 S= 1?= 33,3244c= 3,，人te=t/口 ?i 一由余弦 7E 理可得，b2= ?1?+ ?夕-?= ?+ ? ?X ?X ?X - =7,32.b= v?故 ABC的周長(zhǎng)4+ v?2?(2)由余弦定理可得，cosC= ?+?落?2故sinC=艾空, i4cos（B-C） =cosBcosC+siBsiC=2x（- 4 + 要毛?18 .如圖，在三棱柱 ABC-AiBiCi 中，側(cè)面 BBiCiC 為菱形

32、，AC = ABi, BiCABCi=O.(1)求證：BiCXAB ；(2)若/CBBi = 60° , AC = BC,且點(diǎn)A在側(cè)面BBiCiC上的投影為點(diǎn) O,求二面角B-AAi-C的余弦值.【分析】(i)由側(cè)面BBiCiC為菱形，得BiCBO,再由AC=ABi,。為BiC的中點(diǎn)， 得BiCAO,利用直線與平面垂直的判定可得BiC,平面ABO,從而得到BiCXAB；(2)點(diǎn)A在側(cè)面BBiCiC上的投影為點(diǎn) O,即AOL平面BBiCiC,由(i)知OBOBi, 以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B, OBi, OA所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 分 別求出平面 BAAi的一個(gè)

33、法向量與平面 ACAi的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦 值可得二面角B-AAi-C的余弦值.【解答】(1)證明：二,側(cè)面 BBiCiC為菱形，BiCXBO ,又 AC = ABi,。為 BiC 的中點(diǎn)，BiC± AO,而 AO A BO=O, . BiC,平面 ABO,得 BiC± AB；(2)解：二點(diǎn)A在側(cè)面BBiCiC上的投影為點(diǎn) O,即AOL平面BBiCiC,又由(i)知 OBOBi,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B, OBi, OA所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系.CBBi = 60° , AC = BC,設(shè) BC = 2a,貝U B(v?0,

34、0) ,Ai(-"a,a,為?,A(0,0,衣?？，C(0,-a, 0),-> -> ->?= (- V? ? V?) ?= (- V? ? ?) ?= (? ? Az?) V,) V ，? V , / , , V!設(shè)平面BAAi的一個(gè)法向量為？= (?加？?2 ?,？ ?= - V?+ v?= ? w/日-由-_ - ，取 zi = i,得？ = (?, V? ?)? ?= - V?+ ?= ?設(shè)平面ACAi的一個(gè)法向量為？?= (?'？?2 ?因,山,？?？?= - V?+ ?= ?前” 一曰-V?= ?= ?+/. cos< ? ?> =由

35、-_，取？?= V? 4#?= (?, V>?33= 51?1?1 x3 5由圖可知，二面角B-AAi-C為銳角,53 一面角B - AAi - C的余弦值為一.19.已知點(diǎn) A, B的坐標(biāo)分別是（-6? 0）,（而? 0）,動(dòng)點(diǎn) M （x, y）滿足直線 AM和BM的斜率之積為-3,記M的軌跡為曲線 E.（1）求曲線E的方程;（2）直線y=kx+m與曲線E相交于P,Q兩點(diǎn)，若曲線E上存在點(diǎn)R,使得四邊形 OPRQ為平行四邊形（其中 。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求 m的取值范圍.【分析】（1）根據(jù)題意得kAM? kBM= + 后? N = ? = - 3, （ yw0）,化簡(jiǎn)可 ?+ 2 ?-v2?

36、，-2得曲線E的方程.（2）設(shè)P（X1, yi） , Q（X2, y2）,聯(lián)立直線與曲線 E的方程，得關(guān)于x的一元二次 方程，結(jié)合韋達(dá)定理得 xi+x2, yi+y2, 4。，根據(jù)題意得PQ的中點(diǎn)也是OR的中點(diǎn)， 得R點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線E的方程，得2m2= k2+3，將代入得m的取值范圍.解:(1) kAM? kBM =? _?4V2,?-v2 = ?-2-3, (yw0)化簡(jiǎn)得曲線E的方程:?-一+ = ? "0)(2)設(shè) P (x1, y1)，Q (x2, y2)?= ?+? ?聯(lián)立?2 ?,得(3+k2) x2+2kmx+m26= 0,T+¥= ?x1+x2=2?3

37、+?2'y1+y2=k (x1+x2)6?+2m=3,3+?2 = (2km) 2-4X (3+k2) ( m2 - 6) =- 12m2+24k2+72 > 0,即-m2+2k2+6>0,若四邊形OPRQ為平行四邊形，則 PQ的中點(diǎn)也是 OR的中點(diǎn),一 .,2?6?所以R點(diǎn)的坐標(biāo)為(-J? ),3+?2 3+?2/ 2?2/ 6?、2又點(diǎn)R在曲線E上得，(- 3+?2) + (3+?2) = ?*簡(jiǎn)得2m2= k2+326將代入得，m2>0,所以mw0,由得2m2>3,所以m或m< -二 所以m的取值范圍為-半u 亙 +°°).20.

38、當(dāng)今世界科技迅猛發(fā)展，信息日新月異.為增強(qiáng)全民科技意識(shí)，提高公眾科學(xué)素養(yǎng)， 某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來(lái)”為主題的系列活動(dòng)，并對(duì)不同年齡借閱者 對(duì)科技類圖書的情況進(jìn)行了調(diào)查.該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機(jī)抽取100名，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：借閱科技類圖書(人)借閱非科技類圖書(人)年齡不超過(guò)50歲2025年齡大于50歲1045(1)是否有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān)?(2)該圖書館為了鼓勵(lì)市民借閱科技類圖書，規(guī)定市民每借閱一本科技類圖書獎(jiǎng)勵(lì)積分2分，每借閱一本非科技類圖書獎(jiǎng)勵(lì)積分1分，積分累計(jì)一定數(shù)量可以用積分換購(gòu)自己喜愛的圖書.用表中的樣本頻率作為概率的估計(jì)值.(i)

39、現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書，記此3人增加的積分總和為隨機(jī)變量已求E的分布列和數(shù)學(xué)期望;(ii)現(xiàn)從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人，則借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是多少?附：的?(?-?), 其中 n=a+b+c+d.(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(1)根據(jù)K的表達(dá)式帶入計(jì)算即可判斷；(2) (i)由題知借閱科技類圖書的概率P= 3,若這3人增加的積分總和為隨機(jī)變量E,10分別計(jì)算出P ( 4 3) , P (白4) , P ( E= 5) , P (白6),即可得到分布列及期望； 3

40、(ii)根據(jù)題意得隨機(jī)變量 X滿足XB (16, )的二項(xiàng)分布，列出不等式組，解出即10可解：(1) K2= 100(20 X 45-10。25 = 16900_8.129>6.635, 307045552079所以有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān)；(2) ( i)因?yàn)橛帽碇械臉颖绢l率作為概率的估計(jì)值，所以借閱科技類圖書的概率P=303=- 10010'因?yàn)?名借閱者每人借閱一本圖書，這 3人增加的積分總和為隨機(jī)變量巳所以隨機(jī)變量E的可能取值為3, 4, 5, 6,p (4 3) = ?*?= 1340-P(44)= ?*?= 1440P (右 5) = ?*?= 10

41、00P( E=6)= ?軟卷)?170)?= 127r從而E的分布列為:3456343100044110001891000271000所以 E (9 =3X也+ 4xa+ 5x理+ 6X = 3.9; 1000100010001000'(ii)記16人中借閱科技類圖書的人數(shù)為 X,則隨機(jī)變量X滿足二項(xiàng)分布,3、XB (16, )10設(shè)借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)時(shí)k (k = 0, 1, 2,，16)?(?= ?)> ?(?= ?2 ?)、?(?= ?)>?(?= ?+ ?)而?嬲扁)?(170)?桂?軟130)?-?需)?-?了?痛命?舄嚴(yán)?桂?+-?13)?+?/ ?-

42、?解得 4.1<k<5.1,故 k= 5,所以16人借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是21.已知函數(shù) f (x) = lnx sinx+ax ( a> 0).?.(1)若 a=1,求證：當(dāng) xC (1,-)時(shí),2f (x) v 2x T ;(2)若f (x)在(0, 2天)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.?【分析】(1)構(gòu)造函數(shù)g (x) = f (x) - (2xT),對(duì)其求導(dǎo)研允其在xC(?, 2)單調(diào)性，即可證明結(jié)論;(2)先f(wàn) (x)求導(dǎo)，然后把f (x)在(0, 2兀)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f' (x)胃？?？?勺零點(diǎn)問(wèn)題，利用 y= ?聲？?(a&g

43、t;0)與函數(shù)y=cosx, x? 一 (0, 一)的圖象2只有一個(gè)交點(diǎn)求出 a的取值范圍即可.解：(1)證明：當(dāng) a= 1 時(shí)，f (x) = lnx - sinx+x，令 g (x) = f (x) ( 2x 1) = lnx?-sinx - x+1, x C (?, 2),則 g' (x) =1- cosx - 1= 1?- ? g (x)在(1,-)上單調(diào)遞減, ?2所以 f (x) v 2x - 1;故 g (x) <g (1) = sin1<0,(2)解：由題知f1 (x) = ?令 f' ( x) = 0? - + ?= ? ?f (x)在(0, 2兀)上有且僅有函數(shù)y= ?+ ?(a>0)與函數(shù)y = cosx, x £?(0,)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),2+ 2rK ?即 a< 1- L2?2?所以a的取值范圍為(。，1- 2?、選擇題?= ?22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為?= ?+ ?為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線4C2的極坐標(biāo)萬(wàn)程為41+3赤痂(1)寫出曲線Ci和C2的直角坐標(biāo)方程;