年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)直線的方程

1、年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)直線的方程TTA StandardiZatiOn OffiCe TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C第七章 直線和圓的方程網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標(biāo)定位(1) 理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式掌握直線方程的點 斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程(2) 掌握兩條直線平行與垂直的條件、兩條直線所成的角和點到直線的距離公 式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的關(guān)系(3) 了解二元一次不等式表示平面區(qū)域(4) 了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.(5) 了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.(6) 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，

2、理解圓的參數(shù)方程.復(fù)習(xí)方略指南1 本章在高考中主要考查兩類問題：基本概念題和求在不同條件下的直線方程基本概念重點考查：(1)與直線方程 特征值(主要指斜率、截距)有關(guān)的問題；(2)直線的平行和垂直的條件；(3)與 距離有關(guān)的問題等此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，每年必 考中心對稱與軸對稱問題雖然在考試大綱中沒有提及，但也是高考的重點，復(fù)習(xí) 時也應(yīng)很好地掌握.2. 直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合性試題的難度較大，一般以解答題形式 出現(xiàn)(此類問題下一章重點復(fù)習(xí))3. 由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù) 問題往往借助直線方程進(jìn)行解決，考查學(xué)生

3、的綜合能力及創(chuàng)新能力.在復(fù)習(xí)本章時要注意如下幾點:1要能分辨線段的有向與無向概念上的混淆，有向線段的數(shù)量與有向線段長度的 混淆，能否分清這兩點是學(xué)好有向線段的關(guān)鍵.2.在解答有關(guān)直線的問題時，要注意（1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要 注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；（2）在利用直線的截距式解題時，要注 意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；（3）在利用直線的點斜式、斜截式解題 時，要注意檢驗斜率不存在的情況，防止丟解；（4）要靈活運(yùn)用定比分點公式、中點 坐標(biāo)公式，在解決有關(guān)分割問題、對稱問題時可以簡化運(yùn)算；（5）學(xué)握對稱問題的四 種基本類型的解法；（6）在由兩直線的位置關(guān)系確定有

4、關(guān)參數(shù)的值或其范圍時，要充 分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗等基本的數(shù)學(xué)思想方法.直線的方程知識梳理1直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量（1）直線的傾斜角在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與X軸相交的直線，如果把X軸繞著交點按逆時 針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角當(dāng)直線和X軸平行或重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0。.可見，直線傾斜角的取值范圍是0° Mav 180° .（2）直線的斜率傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表 示，即 k=tana （790o ）.傾斜角是90。的直線沒有斜率；傾斜角不是9

5、0。的直線都有斜率，其取值范圍 是（一00, +）（3）直線的方向向量 設(shè)Fl (xi9 y)、F2 (Xly y)是直線上不同的兩點，則向量斤可=(Xx, y y)稱為直線的方向向量向量一1喬7= (1, 亠21)=(1, k)也是該直線的方X2 -XIX2 - X向向量，k是直線的斜率(4) 求直線斜率的方法 定義法：已知直線的傾斜角為,且90c ,則斜率A=tan 公式法：已知直線過兩點PI Ui,屮)、Pl(X2, >'2),且-iX2,則斜率 方向向量法：若“二(Inf H)為直線的方向向量，則直線的斜率k=-.In平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直

6、線都有斜率斜率的圖象如下圖.對于直線上任意兩點Pl(XI,兒)、Pl(X2, y2),當(dāng)A-I=A-2 W,直線斜率k不存 在，傾斜角a=90。；當(dāng)x1x2時，直線斜率存在，是一實數(shù)，并且時，Cl =arctanZ;, RVo 時，<7=+arctanZ;.2.直線方程的五種形式(1) 斜截式：)=d+b(2) 點斜式：y-yo=k (xxo).(3) 兩點式：亠二>*2 - >'1 兀2 - “(4) 截距式：- + = l.a b(5) 一般式：A+Bv+C=0.點擊雙基1 直線lan y +v=0的傾斜角是答案：D2過兩點（一1,1）和（3, 9）的直線在X軸上

7、的截距是322A. -B.-C.-235解析：求出過（一1,1）、（3, 9）兩點的直線方程，令.v=0即得.答案：A3直線-cos（7+ 3y + 2 = 0的傾斜角范圍是A JT 兀 I I /兀= 兀 1A" I） U（T1B. 0, 1 U 孚，）OO'6 ' SrC. 0,算解析：設(shè)直線的傾斜角為0,答案：B4. 直線）=1與直線y=3x+3的夾角為解法一：A： ）=1與/2： y=3x+3的斜率分別為Ari=O, 2=3.兩直線的夾角公式 得tan* I客工I =3,所以兩直線的夾角為60° .1 + 12解法二：/1與/2表示的圖象為（如下圖所

8、示）=1與X軸平行，尸Ly+3與X軸傾 斜角為60° ,所以）=1與y=3x+3的夾角為60°答案：60°5下列四個命題：經(jīng)過定點PO (xo, yo)的直線都可以用方程yyo=k (X-A-O)表示；經(jīng)過任意兩個不同的點Pl Ui, N)、Pl (X2, y)的直線都可以用方程(X1-Xi) (-x1) = (y2-') (y-y)表示；不經(jīng)過原點的直線都可以用方程- + =1a b表示；經(jīng)過定點A (0, b)的直線都可以用方程.v=6+b表示其中真命題的個數(shù)是解析：對命題，方程不能表示傾斜角是90°的直線，對命題，當(dāng)直線平行 于一條坐標(biāo)軸時

9、，則直線在該坐標(biāo)軸上截距不存在，故不能用截距式表示直線只有 正確.答案：B典例剖析【例1】已知ZXABC的三個頂點是A (3, 4)、B (0, 3)、C (-6, 0),求 它的三條邊所在的直線方程剖析：一條直線的方程可寫成點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式等多種 形式使用時，應(yīng)根據(jù)題目所給的條件怡當(dāng)選擇某種形式，使得解法簡便由頂點B與C 的坐標(biāo)可知點B在)，軸上，點C在-軸上，于是BC邊所在的直線方程用截距式表 示，AB所在的直線方程用斜截式的形式表示，AC所在的直線方程利用兩點式或點斜 式表示均可，最后為統(tǒng)一形式，均化為直線方程的一般式解：如下圖，因AABC的頂點B與C的坐標(biāo)分別為(

10、0, 3)和(一6, 0),故B 點在J軸上，C點在X軸上，即直線BC在X軸上的截距為一6,在y軸上的截距為3, 利用截距式，直線3C的方程為+ = 1,一 63化為一般式為X2y+6=0.由于B點的坐標(biāo)為(0, 3),故直線在y軸上的截距為3,利用斜截式，得直線AB的方程為尸也+3.又由頂點A (3, -4)在其上，所以4=3k+3.故k=-L于是直線AB的方程為)=l+3,化為一般式為7x+3y-9=0.由 A (3, 一4)、C (-6, 0),得直線AC的斜率kAC=三蘭?二一專利用點斜式得直線AC的方程為4,-=- (x+6),化為一般式為4x+9y+24=0.也可用兩點式，得直線A

11、C的方程為y_0 _x_(-6)-4-03-(-6),再化簡即可.評述：本題考查了求直線方程的基本方法.【例2】已知兩直線6A+y+l=0和呼+九屮二0的交點為P (2, 3),求過兩點Ql (a,仞)、Ql (a29 bi) (aa2)的直線方程.剖析：利用點斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答.解:TP (2, 3)在已知直線上，2。2+3 方 2+1=0.2 (CIlH2) +3 (bZ?2) =0> 即所求直線方程為y-=- (X-«1).2x+3y- (2a+3b) =0,即 2x+3y+1 =0.評述：此解法運(yùn)用了整體代入的思想，方法巧妙.思考討論.彼.斎離二置薩磁葆殳看

12、.滿蘇罰提示：由廠 2+3+l=O,22÷3½+1=0j知 0、0在直線 2x+3y+l=0±.【例3】一條直線經(jīng)過點P （3, 2）,并且分別滿足下列條件，求直線方程：（1）傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍；（2）與八y軸的正半軸交于. B兩點，且MOB的面積最?。∣為坐標(biāo)原剖析：（2）將面積看作截距小b的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.解：（1）設(shè)所求直線傾斜角為&已知直線的傾斜角為4則O=Ia,且tan=從而方程為8x-15y+6=O.設(shè)直線方程為尹侶1, COM>0,代入P（3, 2） , W + = l方程為 2x+3y- 12=0評述

13、：此題（2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于"或b的一元函數(shù)后再求其最小值.深化拓展若求I加 IPB及IoAl+IOB啲最小值，又該怎么解呢?提示：可類似第（2）問求解闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1直線x-2y+2k=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積不大于1,那么斤的范圍是-I1C.-lk 1 且心0-l 或 k>解析：令r=0,得）7;令）=0,得x=-2k.:.三角形面積S=* I ）' I =k2.又 Sl,即 Ql,. 1 k 1 又TSO時不合題意，故選C答案：C2. （2004年湖南，2）設(shè)直線ax+by+c=O的傾斜角為,且Sina+cos<=0,則°、b滿足+b= 1

14、-b=+h=0 b=0解析：0° a< 180c ,又 Sina+cos<7=0, *135° , .a-b=O.答案:D3（2004年春季北京）直線X- 3 w=0 （Cl為實常數(shù)）的傾斜角的大小是解析:即tan生過.二 <7=303答案：30o4. （2005年北京東城區(qū)目標(biāo)檢測）已知直線h: x-2y+3=0,那么直線h的方向向 量S為 （注：只需寫出一個正確答案即可）；b過點（1,1）,并且/2的方向向量"2與“I滿足a «2=0,則/2的方程為解析：由方向向量定義即得4為（2, 1）或（1, 1）.a «2=0,即

15、a 丄“2.也就是h丄即, k=- 1.再由點斜式可得/2的方程為2x+y-3=0.答案：（2, 1）或（1, 1）2x+y-3=05已知直線/的斜率為6,且被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長為J喬，求直線/的方程. 解法一：設(shè)所求直線/的方程為）=+b.k=6, .方程為 y=6x+b令,=0, .）=b,與y軸的交點為（0, /）;令）=0, .=與X軸的交點為（一?，0） 6 6根據(jù)勾股定理得（一 ?）2 + 72 = 37,O°b = ±6.因此直線/的方程為v=6a ±6.解法二：設(shè)所求直線為- = l,則與X軸、軸的交點分別為儀,0）、（0,/?） 由勾股定理知

16、cr+ h2 = 37.又 k=-=6fa2 + b2 = 37tT,"=1,h= 6 h = 6.因此所求直線/的方程為X+- = 1或一.v+y = l,即x-y±6 = 0.一 6O6在ZXABC中，已知點A (5, 2)、B (7, 3),且邊AC的中點M在y軸上， 邊3C的中點N在軸上.(1) 求點C的坐標(biāo)；(2) 求直線MN的方程.解：設(shè)點C (Xf y),由題意得=0, 斗=O,得心一5,尸一3故所求 點C的坐標(biāo)是(一5, -3).(2)點M的坐標(biāo)是(O, -|),點N的坐標(biāo)是(1, 0),直線MN的方程是 y_0 _x_lZTT 丙，2即 5x-2y-5=0

17、培養(yǎng)能力7某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE (如下圖)上劃出一塊長方形地面(不改變方 位)建造一幢八層的公寓樓，問如何設(shè)計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.(精確到1 m2)解：如下圖，在線段ABAL任取一點P,分別向CD. DE作垂線劃得一塊長方形土地，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則 AB的方程為話命=1.設(shè)P (Xf 20-),則長方形面積S= (IOO-X) 80- (202-x) (0x30)3化簡得 S=-+-x+6000 (0x30).33配方，易得仁5,)=弓時，S最大，其最大值為6017 m2.J& (文)已知點P (1, -1),直線/的方程為2x-2y+l=0.

18、經(jīng)過點P,且傾斜角為直線/的傾斜角一半的直線方程.a解：設(shè)直線/的傾斜角為,則所求直線的傾斜角為亍，由已知直線/的斜率為tan&2 tan*寧及公式tan<7=,得21-Ian2-2aatan2y +22 tay 1=0.aa解得 tany = 3 - 41 或 tany = - 3 - 2 &/7aa由于 tan<7= J 而 0<<l J 故 0<c- J 0<y < .因此 tan>0.2248a L于是所求直線的斜率為=tan y = 3 2 .故所求的直線方程為y ( 1) = (3-2)(A-I),即(Vi "

19、;) X y (y3 yl+) =O (理)設(shè)直線/的方程是2x+By-l=0,傾斜角為(1) 試將表示為B的函數(shù)；若：V v M ,試求B的取值范圍；63(3) 若3 (-, -2) U (1, +),求的取值范圍.解：(1)若3=0,則直線/的方程是2x-l=0, An=；71若BHO,則方程即為y=-+-,D D.當(dāng) BVO 時，-2 一 2->0, earctan (),BB而當(dāng)3>0時，-22-<0, <=+arctan ( ) J BB日m (r arctan (BVO) J By(B=O),2 arctan (B>0)若=-,貝IJ tan<

20、Vi 或 tan> ,23即一Zv 5 (>0)或一2 = > 竺(BVo),BB 3-2、庁 <B<00<B<- 3 3綜上，知一23 <B<3.(3) 若BV2,則-4<1,D.0<tan< 1, 0<< ;42若 則"A-2,D.0>tan<7> 2, arctan2< a<.綜上，知-arctan2< V或 OV a< .4探究創(chuàng)新9某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府決定修一條環(huán)城路，分別在通往正西和東北方

21、向的公路上選取A. B兩 點，使環(huán)城公路在A、B間為線段，要求AB環(huán)城路段與中心O的距離為10 km,且使A、B間的距離SBI最小，請你確定4、B兩點的最佳位置（不要求作近似計算）解：以O(shè)為原點，正東方向為X軸的正半軸，正北方向為$軸的正半軸，建立如 下圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)A (-a9 0, B (b, b)(其中 a>09 b>0), 則AB的方程為尸!二戶b_0 b+a即 bx (a+b) y+ab=OVlO=abyb2 +( + b)2.2=100 (a2+2b2+2ab)100 (2<2 272 +2ab)=200 (l+2 ) ah.Wb>09200 (2+1)

22、當(dāng)且僅當(dāng)ua2=2b2"時等號成立,WHBl=+ a)2+b2 = ,AIA51 20 (+1)a2=2b29ab= 10 2b2 + Cr + 2ab ,= 102(2 + 2),7=102 + 2Rd-Id RWI此時IOAl*lj2(2 + ),IOBl=IO 2(2 + 2),久B兩點的最佳位置是離市中心O均為102(2 + 2) km處思悟小結(jié)直線的傾斜角斜率及直線在坐標(biāo)軸上的截距是刻畫直線位置狀態(tài)的基本量，應(yīng) 正確理解；直線方程有五種形式，其中點斜式要熟練學(xué)握，這五種形式的方程表示的 直線各有適用范圍，解題時應(yīng)注意不要丟解；含參數(shù)的直線方程問題用數(shù)形結(jié)合法常 常簡捷些.教師下載中心教學(xué)點睛1. 注意斜率和傾斜角的區(qū)別，讓學(xué)生了解