高數(shù)第一章復習資料

1、精選第一章 預備學問一、 定義域1. 已知 的定義域為 ，求 的定義域。答案：2. 求 的連續(xù)區(qū)間。提示：任何初等函數(shù)在定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。答案： 二、 推斷兩個函數(shù)是否相同？1. ， 是否表示同一函數(shù)？答案：否2. 下列各題中， 和 是否相同？答案：都不相同 三、 奇偶性1. 推斷 的奇偶性。答案：奇函數(shù)四、 有界性 ，使 ，則 在 上有界。有界函數(shù)既有上界，又有下界。1. 在 內(nèi)是否有界？答案：無界2. 是否有界？答案：有界，由于 五、 周期性1. 下列哪個不是周期函數(shù)（C）。A B C D 留意： 是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期。六、 復合函數(shù)1. 已知 ，求例：已知 ，求 解1：解

2、2：令 ， ， ，2. 設 ，求 提示： 3. 設 ，求 提示：先求出 4. 設 ，求 提示：七、 函數(shù)圖形熟記 的函數(shù)圖形。其次章 極限與連續(xù)八、 重要概念1. 收斂數(shù)列必有界。2. 有界數(shù)列不肯定收斂。3. 無界數(shù)列必發(fā)散。4. 單調(diào)有界數(shù)列極限肯定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。九、 無窮小的比較1. 時，下列哪個與 是等價無窮?。ˋ）。A B C D 十、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， ， ， ， 2. 自變量趨于無窮大，分子、分母為多項式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 消滅根號，首先想到有理化 補充練習：（1） （2）

3、（3） （4） （5） 4. 消滅三角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個重要極限例： 作業(yè)：P497 （1）（3）5. 消滅指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)，首先想到其次個重要極限例： 作業(yè)：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必達法則作業(yè)：P995 （1）（8）7. 分子或分母消滅變上限函數(shù)提示：洛必達法則+變上限函數(shù)的導數(shù)等于被積函數(shù)例： 補充練習：（1） （2） （3） （4） 十一、 連續(xù)與間斷任何初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點是區(qū)間的分界點。若 ，則 在 處連續(xù)，否則間斷。第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點，進一步還可細分為可去間斷

4、點和跳動間斷點。其次類間斷點：不屬于第一類的間斷點，進一步還可細分為無窮間斷點和振蕩間斷點。1. 設在 處連續(xù)，求 解： 在 處連續(xù)， 2. 作業(yè)：P494、10P5011、123. 補充練習：（1）爭辯函數(shù)的連續(xù)性： ， （2）確定常數(shù) ，使下列函數(shù)連續(xù)： ， ， （3）求下列函數(shù)的間斷點并確定其所屬類型： 十二、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點定理： 在 上連續(xù)，且 ，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使得 1. 補充練習：（1）證明方程 至少有一個不超過3的正實根。（2）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根。（3）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根。（4）證明方程 至少有一個小于1的正根。第三章 導數(shù)與微分十三

5、、 重要概念1. 可導必連續(xù)，但連續(xù)不肯定可導。2. 可導必可微，可微必可導。3. 函數(shù)在 處可導的充要條件是左、右導數(shù)存在并且相等。十四、 導數(shù)的定義作業(yè)：P75 2十五、 對于分段函數(shù)，爭辯分界點是否可導？例： 在 處，連續(xù)但不行導1. 作業(yè)：P754、52. 爭辯下列函數(shù)在區(qū)間分界點的連續(xù)性與可導數(shù) 答案：在 處連續(xù)、不行導 答案：在 處連續(xù)、不行導 答案：在 處不連續(xù)、不行導3. 設 ，為使 在 處連續(xù)且可導， 應取什么值？答案： 十六、 求導數(shù)1. 求函數(shù)的導數(shù)，特殊是復合函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P756、102. 利用對數(shù)求導法求導數(shù)作業(yè)：P76133. 求隱函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P76124.

6、 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P76145. 求高階導數(shù)作業(yè)：P75116. 求切線方程、法線方程利用導數(shù)求出切線的斜率 ，則法線的斜率為 例：求曲線 在 處的切線方程。解： 切線斜率 ，切線經(jīng)過點 切線方程： 作業(yè)：P7537. 求變上限函數(shù)的導數(shù)作業(yè)：P1564十七、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作業(yè)：P7615十八、 利用微分進行近似計算公式： 作業(yè)：P7616第四章 中值定理與導數(shù)的應用十九、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使得 證明步驟：（1）依據(jù)待證的不等式設函數(shù) （2）敘述函數(shù) 滿足定理條件 （3）依據(jù)定理證

7、明出不等式。1. 作業(yè)：P9942. 補充練習：證明下列不等式：（1）當 時， （2） （3）當 時， 二十、 單調(diào)性與極值1. 單調(diào)性：（1）確定單調(diào)區(qū)間可能的分界點（駐點與導數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表爭辯 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間作業(yè)：P9962. 極值：（1）確定可能的極值點（駐點與導數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表爭辯 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)性與極值例：確定 的單調(diào)區(qū)間及極值點作業(yè)：P1009二十一、 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟：（1）求出全部可能的極值點 （2）計算各可能極值點的函數(shù)值以及區(qū)間端點的函數(shù)值

8、（3）上述各值中最大的為max，最小的為min作業(yè)：P10010 （1）二十二、 最值的應用問題步驟：（1）寫出目標函數(shù) （2）求出可能的極值點 （應用問題只有一個可能的極值點） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。假如是最大值問題，則寫出 ，并且最大值 ；假如是最小值問題，則寫出 ，并且最小值作業(yè)：P10013補充作業(yè)：從斜邊長 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分二十三、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例： 解1（第一類換元）：解2（其次類換元）：作業(yè)：P1256P12672. 分部積分法例： 作業(yè)：P1268第六章 定積分及其應用二十四、 利用P132推論3估量積分值：作業(yè)：P1562二十五、 證明題（1）設 ，證明： （2）設 ，證明：證（1）：證