小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)：幾何問題之立體幾何

1、數(shù)學(xué)培優(yōu)立體幾何【學(xué)習(xí)內(nèi)容及預(yù)期目標(biāo)】掌握長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積和表面積計(jì)算 公式；學(xué)會(huì)計(jì)算由基本立體圖形通過切割、拼接而構(gòu)成的復(fù)雜立體圖形的體積和 表面積；掌握平面圖形通過折疊、旋轉(zhuǎn)所得立體圖形的計(jì)算。長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積和表面積計(jì)算公式C長方體的表面積S=2ab+2ac+2bc;長方體的體積V=abc.正方體的表面積S=6a2;正方體的體積V=a3圓柱的表面積S=22+2h;圓柱的體積V= 2h.圓錐的表面積S= 2+ l ；1圓錐的體積V=-32h.2附：扇形的面積S=n360-Ir2例題解析：1、一個(gè)長方體的長、寬、高分別為 3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱長總和

2、等 于另一個(gè)正方體的棱長總和，則長方體和正方體的表面積之比是多少？長方體體 積比正方體體積少多少立方厘米？解析：長方體的棱包含4條長、4條寬、4條高，所以棱長總和=(3+2+1) ×=24 厘米，由此可求出正方體的棱長 =24*12=2厘米.所以長方體的表面積=(3 >2+3×1+2×1) ×=22平方厘米；正方體的表面積 =2&0=24平方厘米.因此長方體和正方體的表面積之比是 22:24=11:12.而長方體的體積=長×寬 >高=3×2×1=6立方厘米；正方體的體積=棱長3 =23=8立方厘米.因此長

3、方體的體積比正方體的體積少 2立方厘米.2、將長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為 2厘米的正方 形，然后沿虛線折疊成長方體容器.這個(gè)容器的體積是多少立方厘米？如果四角 去掉邊長為3厘米的正方形呢？ 解析：(1)將長方體的長、寬、高標(biāo)在展開圖中，不難發(fā)現(xiàn)，折疊成的長方體容 器的長是13-2- 2=9厘米，寬是9- 2- 2=5厘米，高2厘米，因此容器的體積就是9×5×2=90立方厘米.(2)同理，折疊成的長方體容器的長是13-3- 3=7厘米，寬是 9-3-3=3厘米，高3厘米，因此容器的體積就是 7×3×3=63立方厘米.2、用棱長是

4、1厘米的小立方體拼成 如圖所示的立體圖形，這個(gè)圖形的 表面積是多少平方厘米？ 解析：如圖，從立體圖形上方和下方看去，看到的都是 9 塊小正方形，面積是 9 平方厘米 .從四個(gè)側(cè)面看去，看到的是圖 2 形式的 7塊小正方形，面積是 7 平方 厘米.故立體圖形的表面積是 9X2+7×4=46平方厘米.4、 (1)將一個(gè)棱長為 6的正方體從某個(gè)角切掉一個(gè)長、寬、高分別為4、3、5的 長方體，剩余部分的表面積是多少？解析：從上、下、左、右、前、后這 6個(gè)方向去觀察條件所給的圖形，從各個(gè)方 向看過去，都是6× 6的正方形.所以切割后立體圖形的表面積為：62× 6=216.

5、(2)將一個(gè)棱長為 5的正方體，從左上方切去一個(gè)長、寬、高分別為5、4、3 的長方體，它的表面積減少了百分之幾？解析： 同樣地，從 6 個(gè)方向去觀察條件所給的圖形 .切割前立方體的棱長是 5， 表面積為： 52× 6=150.切割后，減少的面積是圖中前后面的虛線部分，減少的 總面積為2× (3×4)=24.所以，表面積減少了 24÷ 150=16%.5、 有一個(gè)棱長為 2 厘米的正方體 .從正方體的上面正中向下挖一個(gè)棱長為1 厘米 的正方體小洞；接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)棱長為 0.5厘米的小洞；第 三個(gè)小洞的挖法與前面兩個(gè)相同，棱長為 0.25厘

6、米.最后得到的立體圖形的表面 積是多少平方厘米？解析：這個(gè)圖形是由一個(gè)正方體挖掉三個(gè)正方體后得到的， 因此我們可以來計(jì)算 每挖一個(gè)正方體后表面積的變化 .在挖第一個(gè)洞后，上表面除了減少了一個(gè)邊長 為1厘米的正方形， 還多出來了 5個(gè)邊長為 1厘米的正方形， 因此表面積增加了 4平方厘米；挖第二個(gè)洞，多出來了 4個(gè)0.5× 0.5的面，表面積增加了 0.5× 0.5 × 4=1平方厘米；挖第三個(gè)洞，多出來了 4個(gè)0.25× 0.25的面，表面積增加了 0.25 × 0.25× 4=0.25平方厘米；原立方體的表面積是 2× 2

7、× 6=24平方厘米.最后，總的表面積是 24+4+1+0.25=29.25平方厘米.6、 有大、中、小三個(gè)立方體水池，它們的內(nèi)部棱長分別是6米、3米和 2米.三 個(gè)池子都裝了半池水 .現(xiàn)將兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的 水面分別升高了 6 厘米和 4 厘米.如果將這堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水 池的水面會(huì)升高多少厘米？ (結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位 )解析： 先求投在中水池中的碎石體積：中水池底面正方形邊長 3米，水面升高 6 厘米，這堆碎石的體積=300×300×3=540000立方厘米.再求投在小水池中的碎石體積：小水池底面正方形邊長 2米，

8、水面升高 4厘米， 這堆碎石的體積=200× 200× 4=160000立方厘米.所以兩堆碎石的體積一共為： 540000+160000=700000立方厘米.把它們投進(jìn)大水 池，水池升高部分的體積就是 700000立方厘米.由于大水池底面正方形邊長為 6 米，所以大水池上升的高度為 700000÷ (600× 600)=3518 1.94厘米.7、有一個(gè)高 24厘米，底面半徑為 10厘米的圓柱形容器，里面裝了一半水 .現(xiàn)有 一根長 30 厘米，底面半徑為 2 厘米的圓柱體木棒 . 將木棒豎直放入容器中，使棒 的底面與容器的底面接觸 .這時(shí)水面升高了多少

9、厘米？解析：木棒浸入水之前，容器里水是底面半徑為10厘米，高為24÷ 2=12厘米的圓柱體.所以水的體積為102×× 12=1200立方厘米.木棒浸入水之后，水是從半徑為10厘米的大圓柱體挖掉半徑為2厘米的小圓柱 體后余下的部分，體積為兩個(gè)圓柱體之差由于兩個(gè)圓柱體的高相同，所以這部 分水的體積就等于底面積乘以公共的咼.水的底面是一個(gè)環(huán)形，即兩個(gè)圓的差，其中大圓半徑是 10厘米，小圓半徑是2 厘米，則底面面積是102× -22× =96 平方厘米.因此木棒浸入水中后，水的新高度是1200÷ 96 =12.5厘米，比原來升高了 12.5-

10、12=0.5厘米.鞏固練習(xí)：一、填空：1、(1)將4塊棱長為1的正方體木塊排成一排,拼成一個(gè)長方體.那么拼合后這個(gè)長方體的表面積，比原來4個(gè)正方體的表面積之和少了 (2) 一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長為1，如圖所示， 將其切成兩個(gè)長方體.這兩部分的表面積總和是;如果在此基礎(chǔ)上再切4刀，將其切成大大小小共18塊 長方體.這18塊長方體表面積總和是.2、有一個(gè)圓柱，底面直徑和高均為 8厘米；有一個(gè)圓錐，底面直徑和高均為 4厘米.請(qǐng)問：圓錐體積與圓柱體積的比是 I3、如圖所示一塊二層蛋糕，由二個(gè)咼都為 1分米，底面半徑分別為1.5分米、1分米和0.5分米的圓柱體組成.請(qǐng)問：(1) 這個(gè)蛋糕的表面積是 平方分米.(取3.14)(2) 如果沿經(jīng)過中軸線AB的平面切一刀，將該蛋糕分成完全相同的兩部分，那表面積之和是、解答題:1、 有一個(gè)長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3 厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米. 求這個(gè)長方體的表面積.2、有一塊長、寬、高