小學(xué)奧數(shù)講義4年級-8-直線形面積初步-難版

1、第8講直線形面積初步知識梳理圖形的周長與面積的計算是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的內(nèi)容之一。周長和面積這兩個概念是不同的，它們使用的單位、計算公式也是不同的。周長是指圍成平面圖形一周的線段的總和；而面積是指圍成的平面圖形的大小。所以周長通常采用的長度單位有：米、分米、厘米；面積通常采用的單位有：平方米、平方分米、平方厘米。1 .三角形從三角形的一個角的頂點向它的對邊畫一條垂線，頂點到垂足間的線段叫做三角形的高。注意：銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部，直角三角形的兩條直角邊是它的高，鈍角三角形的其中兩個高在三角形的外部。三角形的高所在的邊叫做三角形的底。1 積公式=底*高+2或用字母表本為：S=ah+2

2、.2 .平行四邊形從平行四邊形一條邊上的一點向?qū)呉粭l垂線，這點到垂足間的線段叫做平行四邊形的高，這條邊叫做平行四邊形的底。面積公式=底*高或用字母表示為：S=aho長方形與正方形是特殊的平行四邊形。長方形面積=長*寬，周長=（長+寬）x2。正方形的面積山長x邊長，周長=邊長x4。3 .梯形在梯形里，互相平行的一組對邊分別叫做梯形的上底和下底，不平行的一組對邊叫做梯形的腰；以上底向下底引一條垂線，這點到垂足間的線段叫做梯形的高。梯形兩腰中點的連線叫做梯形的中位線。中位線的長度=（上底+下底）+2面積公式二（上底+下底）X高+2或：中位線X高用字母表示為：S=（a+b）xh+2或：mKh典型例

3、題【例1】已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米?【解析】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了?！拘≡嚺５丁坑幸粔K長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求小路的面積。【解析】156【例2】（19801981年美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克第四次試題）一個長方形的周長

4、是22厘米，如果它的長和寬均為整數(shù)厘米，這個長方形的面積有多少種可能值？（面積最大為多少？面積最小是多少？）【解析】22+2=11（厘米），11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,長（寬）共5種可能，面積也有5種可能。面積最大：5X6=30（平方厘米），面積最?。?X10=10（平方厘米）答：面積有5種可能?！纠?】（第三屆“華杯賽”決賽口試試題）一條白色的正方形手帕，它的邊長是18厘米，手帕上橫豎各有二道紅條，如圖所示，紅條寬都是2厘米。問：這條手帕白色部分的面積是多少?【解析】把陰影部分平移到兩邊，空白部分就成為邊長為14的正方形，所以空白部分面積這：（182X2）X（182X2）

5、=196（平方厘米）【例4】一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形,其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。614E35【解析】因為AEXCE=6,DE<EB=3q把兩個式子相乘AEXCE<DE<EB=35X6,而CB<EB=14,所以AEXDE=35X6+14=15。【小試牛刀】下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。NMECFD【解析】40【例5】把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正方形20Ai的面積相差40平方分米，大正方

6、形的面積是多少平方分米?2040平方分【解析】我們可以把小正方形移至大正方形里面進(jìn)行分析。兩個正方形的面積差米就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正方形的上面，不難看出,正好組成一個長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是40+20=2（分米），即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）+2=11（分米），面積是11X11=121（平方分米）【小試牛刀】如圖7所示，一個正方形的水池的周圍，環(huán)繞著一條寬5米的小路，小路的面積為300平方米，那么正方形水池的面積是多少？【解析】欲求正方形水池的面積，須知圖中的小正方形的邊長，或者大正方形的面積

7、（或邊長）。如圖8,將環(huán)形小路進(jìn)行分割，得四個面積相等的長方形，由于小路的面積已知，那么每塊長方形的面積為300+4=75（平方米），長方形白長為75+5=15（米），那么小正方形的邊長可知為75+5=10（米），面積易求。將環(huán)形小路分成四塊面積相等的長方形，每個長方形的面積：300+4=75（平方米），長為:75+5=15（米）水池的邊長為：15-5=10（米）面積為：10X10=100（平方米）【例6】有一個正方形ABC以口下圖，請把這個正方形的面積擴大1倍，并畫出來。【解析】由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關(guān)系進(jìn)行分

8、析。以正方形的四條邊為準(zhǔn)，分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍。【例7】如圖，ABFE和CDE嘟是長方形，AB的長是4厘米，BC的長是3厘米。那么圖中陰影部分面積是多少平方厘米?【解析】4X3+2=6。【小試牛刀】如圖，ABFE和CDEF都是長方形，AB的長是8厘米，BC的長是6厘米。那么圖中陰影部分面積是多少平方厘米？【解析】8X6+2=24【例8】（2003年廣東省小學(xué)數(shù)學(xué)“育苗杯”通訊賽）有一個長方形花圃，中間有一條一條寬2米的人行路（形如右下圖）。花圃長50米，寬30米。那么，花的面積是多少平方米？【解析】通過平移，花圃里種花的

9、兩部分正好拼成一個長（50-2）米，寬（302）米的長方形，所以種花的面積為50X30（60+96）=1344（平方米）?！纠?人民路小學(xué)操場長90米，寬45米，改造后，長增加10米，寬增加5米?，F(xiàn)在操場面積比原來增加多少平方米？【解析】用操場現(xiàn)在的面積減去操場原來的面積，就得到增加的面積，操場現(xiàn)在的面積是：（90+10）X（45+5）=5000（平方米），操場原來的面積是：90X45=4050（平方米）。所以現(xiàn)在比原來增加5000-4050=950平方米。（90+10）X（45+5）-（90X45）=950（平方米）【小試牛刀】一個長方形，如果寬不變，長增加6米，那么它的面積增加54平方米，

10、如果長不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米，這個長方形原來的面積是多少平方米？【解析】由：“寬不變，長增加6米，那么它的面積增加54平方米”可知它的寬是54+6=9（米）；又由“長不變，寬減少3米，那么它的面積減少了36平方米”，可知它的長為:36+3=12（米），所以，這個長方形的面積是12X9=108（平方米）。（36+3）9)=108(平方米)求占地【例10】下圖是一個養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段長16米的籬笆圍成的一個長方形養(yǎng)雞場,面積有多大?！窘馕觥扛鶕?jù)題意，因為一面利用墻，所以兩條長加上一條寬等于16米，而寬是4米，那么長是（16-4）+2=6（米）。因此，占地面積是6X4=24（平方

11、米）(16-4)+2X4=24(平方米)【例11】（貴陽市第二屆小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）如圖是由5個相同的小長方形拼成的求大長方形的面積。=44+212=10（厘米）。大長方形的面積為大長方形的長=3X4=12（厘米）。大長方形的寬12X(4+6)=120(平方厘米)【小試牛刀】（第四屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽第2試）如圖，用標(biāo)號為1,2,3,4,5的五種大小不同的正方形拼成一個大長方形,大長方形的長和寬分別是18,14,可知1號的邊長比3號的邊長多18=2號的邊長+1號的邊長，14=2號的邊長+3號的邊長,4。再由圖知，2的邊長比3的邊長多5的邊長，1的邊長比2的邊長也多5的邊長，所以1的邊

12、長比3的邊長多2個5的邊長。所以5的邊長為4+2=2,面積為4.4.10所示的矩形，長【例12】（第一屆華杯賽試題）用同樣大小的長方形拼成如圖方形的寬時12厘米，求矩形的面積?！窘馕觥繌牡谝慌排c第二排看，五個小紙片的長等于三個小紙片的長加三個小紙片的寬，也就是二個小紙片的長等于三個小紙片的寬.已知小紙片的寬是12厘米，于是小紙片的長是12X3+2=18厘米，陰影部分是三個正方形，邊長正好是小紙片的長與寬的差18-12=6.于是，陰影部分的面積是6X6X3=108平方厘米.【例13】求出圖14中陰影部分的面積（單位：厘米）15圖14【解析】陰影部分的面積是兩部分三角形面積的和，兩個三角形的高為8

13、,它們底的和為15-5=10,那么陰影面積：10X8+2=40（平方厘米）【小試牛刀】求出圖15中陰影部分的面積（單位：厘米）。32圖15【解析】將陰影部分看成是由兩個三角形組合而成的。其中一個三角形底為3厘米，高為3厘米；另一個三角形的底為2厘米，高為3厘米。則陰影面積：3X3+2+2X3+2=7.5（平方厘米）【例14】如圖16所示，長方形的長、寬分別是8厘米、4厘米，陰影部分的總面積為11平方厘米，求四邊形ABCM面積。S16【解析】長方形面積：8X4=32（平方厘米）S施FG=8X4+2=16（平方厘米）AFGS.Abe.S.adh=S長方形一S.afg-S陰影=3216-11=5（平

14、方厘米）S農(nóng)CH=8v4+4=8（平方厘米）ECH四邊形ABCDU積-SEGH-（SABE,SADH）=8-5=3（平方厘米）【例15】（第四屆“華杯賽”復(fù)試題）長方形ABCW長為16米，在它的每條邊上各畫一個以該邊為邊長的正方形，（如圖）已知這四個正方形的面積的和是68平方米，求ABCDff同的長方形（如圖）。形成一個正方形EGID的邊長為8米。又由已知，正方形EFBA和BHIC的面積之和為68+2=34（平方米）。這樣就可求出長方形ABC而面積了。長方形ABCD勺面積是15平方米。失、課后作業(yè)1 .下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的

15、面積。15A124524B【解析】8,361試）長方形被分成了4個小長方形，圖中2 .（第一屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽第的數(shù)字是它們每個的面積，陰影部分的面積是195746【解析】19X46+57=4633 .（北京市第三屆“迎春杯”小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽賽試題）如圖，有兩個正方形，大小兩個正方形對應(yīng)邊的距離均為1厘米。如果兩個正方形之間部分的面積是20平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米?【解析】如圖，陰影部分的面積是20+4=5（平方厘米），寬為1厘米，所以長為5+1=5（厘米）。從而小正方形的邊長是51=4（厘米），小正方形的面積是：4X4=16（平方厘米）2厘米，或長增加4 .（19

16、92年長春市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽四年級試題）一個長方形，如果寬增加3厘米，它們的面積都增加120平方厘米，原來長方形的面積是多少?12平方厘米120平方厘米【解析】原長方形的長是120+2=60（厘米）寬是120+3=40（厘米）面積是60X40=2400（平方厘米）綜合算式：（120+2）X（120+3）=2400（平方厘米）5 .（1991年中南地區(qū)小學(xué)五年級數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）有兩張同樣大小的長方形紙片，長10厘米,寬3厘米，把它們按如圖所示的方法疊合貼在一起，貼好后所成的“十”字圖形，它的面積是多少平方厘米？【解析】3X10X23X3=51（平方厘米）6 .一個長方形，若長增加2厘米，面積就增加8平

17、方厘米，若寬減少1厘米，面積就減少7平方厘米。這個長方形的面積是多少平方厘米？【解析】寬為8+2=4（厘米），長為7+1=7（厘米），（8+2）X（7+1）=28（平方厘米）7 .把長方形的長去掉8厘米后，余下的是一個面積49平方厘米的正方形，原來長方形的面積是多少？【解析】49=7X7,（7+8）X7=105（平方厘米）8 .第一個正方形的邊長比第二個正方形的邊長長3厘米，第一個正方形的面積比第二個正方形的面積大57平方厘米。求每個正方形的面積?！窘馕觥繄D中兩個陰影部分的面積和為57-3X3=48（平方厘米），一個為48+2=24（平方厘米）。小正方形邊長為24+3=8（厘米），大正方形邊長

18、為8+3=11（厘米），小正方形面積為64平方厘米，大正方形面積為121平方厘米。/兒9 .一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長方形，又截去寬8分米的長方形（如下圖）面積比原來的正方形減少181平方分米，原正方形的邊長是多少？【解析】把陰影的部分剪下來，并把剪下的兩個小正方形拼合起來（如下圖），再補上長，長和寬分別是8分米、5分米的小長方形，這個拼合成的長方形的面積是：181+8X5=221（平方分米），長是原來正方形的邊長，寬是：8+5=13（分米）。所以，原正方形的邊長是221+13=17（分米）10 .如圖17,梯形ABCDW面積是36平方厘米。點E在BC上，且ADE的面積是ABE面積的3倍，EC的長度是BE長度的2倍。求DEC的面積?！窘馕觥緿EC!ABE的高相等，而DEC的底CE是ABE的底