完整版空間內(nèi)插方法比較

1、一、空間數(shù)據(jù)的插值用各種方法采集的空間數(shù)據(jù)往往是按用戶自己的要求獲取的采樣觀測值，亦既數(shù)據(jù)集合是由感興趣的區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點或規(guī)則網(wǎng)點上的觀測值組成的。但有時用戶卻需要獲取未觀測點上的數(shù)據(jù)，而已觀測點上的數(shù)據(jù)的空間分布使我們有可能從已知點的數(shù)據(jù)推算出未知點的數(shù)據(jù)值。在已觀測點的區(qū)域內(nèi)估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程稱為內(nèi)插；在已觀測點的區(qū)域外估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程稱為外推?？臻g數(shù)據(jù)的內(nèi)插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情況下，空間位置越靠近的點越有可能獲得與實際值相似的數(shù)據(jù)，而空間位置越遠(yuǎn)的點則獲得與實際值相似的數(shù)據(jù)的可能性越小。下面介紹一些常用的內(nèi)插方法。1、邊界內(nèi)插使用邊界內(nèi)插法時，首先要假定任何

2、重要的變化都發(fā)生在區(qū)域的邊界上，邊界內(nèi)的變化則是均勻的、同質(zhì)的。邊界內(nèi)插的方法之一是泰森多邊形法。泰森多邊形法的基本原理是，未知點的最佳值由最鄰近的觀測值產(chǎn)生。如圖4-6-1所示。泰森多邊形的生成算法見5.7o2、趨勢面分析趨勢面分析是一種多項式回歸分析技術(shù)。多項式回歸的基本思想是用多項式表示線或面，按最小二乘法原理對數(shù)據(jù)點進(jìn)行擬合，擬合時假定數(shù)據(jù)點的空間坐標(biāo)X、丫為獨立變量，而表示特征值的Z坐標(biāo)為因變量。當(dāng)數(shù)據(jù)為一維時，可用回歸線近似表示為：一r一其中，2、ai為多項式的系數(shù)。當(dāng)n個采樣點方差和為最小時，則認(rèn)為線性回歸方程與被擬合曲線達(dá)（Zt-min到了最佳配準(zhǔn)，如圖4-6-2左圖所示，即：

3、士-1當(dāng)數(shù)據(jù)以更為復(fù)雜的方式變化時，如圖4-6-2右圖所示。在這種情況下，需要用到二次或高次多項式:（二次曲線）Z二口0+axX+aiX在GIS中，數(shù)據(jù)往往是二維的，在這種情況下，需要用到二元二次或高次多項式:Z（二次曲面）多項式的次數(shù)并非越高越好，超過3次的多元多項式往往會導(dǎo)致奇異解，因此，通常使用二次多項式。趨勢面是一種平滑函數(shù)，難以正好通過原始數(shù)據(jù)點，除非數(shù)據(jù)點數(shù)和多項式的系數(shù)的個數(shù)正好相同這就是說，多重回歸中的殘差屬正常分布的獨立誤差，而且趨勢面擬合產(chǎn)生的偏差幾乎都具有一定程度的空間非相關(guān)性。3、局部內(nèi)插在GIS中，實際的連續(xù)空間表面很難用一種數(shù)學(xué)多項式來描述，因此，往往使用局部內(nèi)插技

4、術(shù)，即利用局部范圍內(nèi)的已知采樣點的數(shù)據(jù)內(nèi)插出未知點的數(shù)據(jù)。常用的有線性內(nèi)插、雙線性多項式內(nèi)插、雙三次多項式（樣條函數(shù)）內(nèi)插。（1）、線性內(nèi)插線性內(nèi)插的多項式函數(shù)為：,一L1J18后，空間相關(guān)消失。 指數(shù)模型空間相關(guān)隨距離的增長以指數(shù)形式衰減，相關(guān)性消失于無窮遠(yuǎn)。9表示距離，在此距離上95%的變量的可變性趨于穩(wěn)定。 高斯模型空間相關(guān)隨距離的增長而衰減，相關(guān)性消失于無窮遠(yuǎn)。曲線起始一段的形狀是拋物線，表示變量的空間變化非常平滑。阻尼正弦模型阻尼正弦模型適宜于周期性變化的空間變量，但其變化強(qiáng)度隨距離的增長而衰減。9表示周期。 線性模型空間可變性隨距離的增長而呈線性地增長，不會在某一距離穩(wěn)定下來。變異

5、函數(shù)的形式是內(nèi)插質(zhì)量的關(guān)鍵。需要注意的是，由于不同的區(qū)域有不同的空間模式，因而也就有不同的變異函數(shù)。而空間內(nèi)插都有一個隱含的假定，即空間是連續(xù)的，因此，在選擇變異函數(shù)模型之前，檢查數(shù)據(jù)以確定空間連續(xù)性是十分必要的。2.3.2Cokriging內(nèi)插Cokriging(共協(xié)kriging)內(nèi)插的基本原理與Kriging相同，但它通過考慮一個以上變量而優(yōu)化估計；內(nèi)插由于考慮了變量之間的關(guān)系而得到改善。例如，在估計溫度、降水等氣候變量時，海拔高度是附加的重要變量。Cokriging內(nèi)插包括以下過程：確定多個觀測值之間空間相關(guān)的特征；借助于變異函數(shù)和交叉變異函數(shù)(crossvariogram),對相關(guān)建

6、模；利用這些函數(shù)估計內(nèi)插值。除公式(7)、(8)外，Cokriging引入一個新的假定，即兩個變量之間差值的方差最小。VarZ(x)-Zk(x)=2丫k(h)(10)式中，Zk(x)是與估計值Z(x)相關(guān)的第k個變量。Cokriging中引入交叉變異函數(shù)，它是兩個不同變量之間的相關(guān)隨距離變化的函數(shù)。它與簡單變異函數(shù)不同，前者的形式是方差，因此總為正或零；而后者的形式為協(xié)方差，因此可以為正、負(fù)或零。如果兩個變量向相反的方向變化，交叉變異函數(shù)為負(fù)；如果兩個變量的變化相獨立，交叉變異函數(shù)為零。交叉變異函數(shù)的形式為：(11)Cokriging內(nèi)插的關(guān)鍵是估計交叉變異函數(shù)，以分析變量自身以及變量之間的空

7、間相關(guān)。Cokriging的其它過程都是與Kriging一致的。2.4 函數(shù)方法是使用函數(shù)逼近曲面的一種方法。函數(shù)方法在空間內(nèi)插領(lǐng)域大多用于一些特殊場合，如利用高密度的高程數(shù)據(jù)產(chǎn)生等高線、為提高格網(wǎng)數(shù)據(jù)的空間分辨率而內(nèi)插數(shù)據(jù)等。對于利用有限的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行缺值預(yù)測和內(nèi)插格網(wǎng)，函數(shù)方法多不適合，因為它難以滿足內(nèi)插的精度，也難以估計誤差。函數(shù)方法的特點是不需要對空間結(jié)構(gòu)的預(yù)先估計、不需要做統(tǒng)計假設(shè)。缺點是難以對誤差進(jìn)行估計，點稀時效果不好。常用的函數(shù)方法有：傅里葉級數(shù)、樣條函數(shù)、雙線性內(nèi)插、立方卷積法等。2.4.1 傅里葉級數(shù)對于周期性的數(shù)據(jù)序列，如海浪，可以利用傅里葉級數(shù)將它們分解為正弦波和余弦波

8、。2.4.2 樣條函數(shù)方法樣條函數(shù)是使用函數(shù)逼近曲面的一種方法。樣條函數(shù)易操作，計算量不大，它與空間統(tǒng)計方法相比具有以下特點，不需要對空間方差的結(jié)構(gòu)做預(yù)先估計；不需要做統(tǒng)計假設(shè)，而這些假設(shè)往往是難以估計和驗證的；同時，當(dāng)表面很平滑時，也不犧牲精度。樣條函數(shù)適合于非常平滑的表面，一般要求有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)；它適合于根據(jù)很密的點內(nèi)插等值線，特別是從不規(guī)則三角網(wǎng)(TIN)內(nèi)插等值線。樣條函數(shù)的缺點是難以對誤差進(jìn)行估計，點稀時效果不好。樣條函數(shù)的種類很多，最常用的有B樣條、張力樣條和薄盤樣條等。2.4.3 雙線性內(nèi)插雙線性內(nèi)插和立方卷積法都主要用于網(wǎng)格數(shù)據(jù)的內(nèi)插（重采樣），一般很少用于根據(jù)離散數(shù)據(jù)

9、內(nèi)插空間分布。它使用與待估計網(wǎng)格距離最近的4個網(wǎng)格值，線性內(nèi)插獲得新的網(wǎng)格值。雙線性內(nèi)插方法的優(yōu)點是數(shù)據(jù)重采樣后的結(jié)果較為平滑，沒有階躍效應(yīng)，同時具有較高的精度。缺點是網(wǎng)格被平均化，具有低頻濾波的效果；邊緣被平滑，有些極值丟失了。2.4.4 立方卷積法是最常使用的網(wǎng)格數(shù)據(jù)內(nèi)插方法之一。它使用與待估計網(wǎng)格距離最近的16個網(wǎng)格值，根據(jù)立方卷積公式計算輸出。立方卷積公式有幾個不同版本，有的產(chǎn)生低通濾波的效果，有的產(chǎn)生高通濾波的效果，較好的方法應(yīng)該在高頻信息和低頻信息的取舍間取得平衡。立方卷積法的優(yōu)點是采樣結(jié)果的統(tǒng)計信息（均值和方差）與原數(shù)據(jù)的相似程度比其他采樣方法高。缺點是數(shù)據(jù)值被改變，因此不能用于

10、類型數(shù)據(jù)（專題圖）的內(nèi)插。立方卷積法特別適宜于顯著改變了網(wǎng)格尺寸，但要保持原數(shù)據(jù)統(tǒng)計特性的數(shù)據(jù)內(nèi)插，如數(shù)字高程數(shù)據(jù)的重采樣。2.5 隨機(jī)模擬方法其基本假設(shè)與空間統(tǒng)計方法不同，隨機(jī)模擬認(rèn)為地理空間具有非平穩(wěn)性，是空間異質(zhì)的。它通過空間分布現(xiàn)象的可選的、等概率的、數(shù)值表達(dá)（地圖）來對空間不確定性建模。對應(yīng)不確定性，可以接受可選的多個答案。與空間統(tǒng)計方法不同，隨機(jī)模擬方法不是產(chǎn)生唯一的估計結(jié)果，它產(chǎn)生一系列可選的結(jié)果，它們都與實際數(shù)據(jù)一致，而且相關(guān)模型將它們聯(lián)系起來。隨機(jī)模擬方法的最大優(yōu)點是定義了各種隨機(jī)變量之間的空間相關(guān)，這類相關(guān)可以根據(jù)相鄰數(shù)據(jù)把高度不確定性的先驗分布更新為低不確定性的后驗分布。

11、缺點是建模困難，計算量大。常用的隨機(jī)模擬方法有高斯過程、馬爾科夫過程、蒙特卡羅方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等。2.6 確定性模擬其基本假設(shè)是變量的空間分布受物理定律控制，因此，可以使用物理模型或半經(jīng)驗、半物理的模型模擬空間分布。對于這一類內(nèi)插，常常是使用有限的觀測值獲得一些必須的經(jīng)驗參數(shù)，再把這些參數(shù)代入到物理模型之中。典型的例子是，GC娓一個純物理模型，但它的參數(shù)化使用了經(jīng)驗方法。在山區(qū)氣候變量的內(nèi)插過程中，也大量使用這種方法。確定性模擬的最大優(yōu)點即它的確定性，它不依賴或很少依賴觀測樣本。但空間現(xiàn)象是否可以被確定性地預(yù)測以及我們是否可以持這一樂觀的信念十分值得懷疑。2.7 綜合方法是以上幾種方法的

12、綜合。對于空間變量，一般能夠用不同的方法分別對結(jié)構(gòu)化變量、隨機(jī)變量和觀測誤差（殘差）建模。王勁峰把空間變量分解為：空間變量=趨勢+周期+隨機(jī)+噪聲（12）并分別用統(tǒng)計方法、譜函數(shù)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)過程建模描述相應(yīng)的成分。綜合方法還適宜于能夠得到輔助性數(shù)據(jù)，如遙感數(shù)據(jù)的場合。通過從輔助性數(shù)據(jù)中提取空間模式，在合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如四叉樹的支持下，劃分空間同質(zhì)的區(qū)域，從而逼近最佳的預(yù)測值。3結(jié)論與建議3.1 結(jié)論（1）空間內(nèi)插可依據(jù)其基本假設(shè)和數(shù)學(xué)本質(zhì)分類為：幾何方法、統(tǒng)計方法、空間統(tǒng)計方法、函數(shù)方法、隨機(jī)模擬方法、物理模型模擬方法和綜合方法。（2）空間內(nèi)插是極為重要的GIS空間分析方法。對于觀測臺

13、站稀少，而測點分布又極不合理的地區(qū)，空間內(nèi)插是研究這些區(qū)域空間變量空間分布的基本方法，是建立空間模型的前提之一。（3）空間數(shù)據(jù)探索分析是分析地理數(shù)據(jù)的重要工具，它的一個重要目標(biāo)是估計空間變量的變異函數(shù)。變異函數(shù)反映空間相關(guān)隨距離變化的特征，可以用幾個基本變異函數(shù)模型描述。根據(jù)變異函數(shù)，可以判斷數(shù)據(jù)是否具有平穩(wěn)性，是否符合空間統(tǒng)計的本征假設(shè)。（4）本文比較了主要的空間內(nèi)插方法，分析了各種方法的假設(shè)、適用范圍、算法和優(yōu)缺點，并且重點介紹了空間統(tǒng)計方法。必須指出，對于眾多的空間內(nèi)插方法而言，沒有絕對最優(yōu)的空間內(nèi)插方法，只有特定條件下的最優(yōu)方法。因此，必須依據(jù)數(shù)據(jù)的內(nèi)在特征，依據(jù)對數(shù)據(jù)的空間探索分析，

14、經(jīng)過反復(fù)實驗，選擇最優(yōu)的空間內(nèi)插方法。同時，應(yīng)對內(nèi)插結(jié)果做嚴(yán)格的檢驗。3.2 對空間內(nèi)插研究的建議(1)開發(fā)通用空間內(nèi)插軟件?？臻g內(nèi)插是地理學(xué)的基本問題，也是GIS重要的空間分析方法。但現(xiàn)有的GIS軟件中包括的空間內(nèi)插方法都很少，如ARC/INFO中只有趨勢面、Kriging和一些特定用途的函數(shù)方法，而且它們的界面不友好，難以使用。因此，應(yīng)開發(fā)具有以下特點的通用空間內(nèi)插軟件：包括盡可能多的空間內(nèi)插例程；智能化的人機(jī)界面，提供友好的人機(jī)界面，通過一系列有關(guān)用戶意圖、目標(biāo)和數(shù)據(jù)特性的問題，引導(dǎo)用戶，使用戶選擇最適宜的方法；良好的數(shù)據(jù)庫接口，與GIS的兼容性。利用ODBC(開放數(shù)據(jù)庫互聯(lián))等技術(shù)手段

15、從各種關(guān)系數(shù)據(jù)庫中析取所需數(shù)據(jù)，生成與GIS兼容的空間數(shù)據(jù)和屬性(表)數(shù)據(jù)。(2)智能化。智能化的一個目標(biāo)是減少內(nèi)插中的主觀性。例如，變異函數(shù)模型的選擇具有很大的經(jīng)驗成分，變異函數(shù)的擬合往往是依據(jù)經(jīng)驗，反復(fù)實驗的結(jié)果。應(yīng)通過人機(jī)交互減少這種主觀性。智能化的另一個目標(biāo)是通過人為干預(yù)，在內(nèi)插中考慮非地帶性因素的影響。如地下水等埋深線是與河流平行的，地質(zhì)現(xiàn)象的內(nèi)插必須考慮斷層，人為干預(yù)可以對這些非區(qū)域化的因子建模。(3)加強(qiáng)基礎(chǔ)研究?？臻g內(nèi)插方法都建立在一定的假設(shè)基礎(chǔ)上，這些假設(shè)都有一定的局限性。在這些假設(shè)中，我們往往回避的是空間不連續(xù)性和空間異質(zhì)兩個問題，如何將地理空間分解為不同區(qū)域？分區(qū)后是否存在界面處的不連續(xù)現(xiàn)象？如何對空間異質(zhì)的區(qū)域建模都是亟需回答的重要問題。4.6空間數(shù)據(jù)的插值方法在已觀測點的區(qū)域內(nèi)估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程稱為內(nèi)插；在已觀測點的區(qū)域外估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程稱為外推?？臻g數(shù)據(jù)的內(nèi)插和外推在GIS中使用十分普遍。數(shù)字高程模型(DEM),也稱數(shù)字地形模型(DTM),是一種對空間起伏變化的連續(xù)表示方法。一、空間數(shù)據(jù)的插值在已觀測點的區(qū)域內(nèi)估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程稱為內(nèi)插；在已觀測點的區(qū)域外估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程稱為外推?？臻g數(shù)據(jù)的內(nèi)插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情況下，空間位置越靠近的點越有可能獲得