第九章-數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第九章 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)§1 預(yù)備知識(shí)：上極限和下極限對(duì)于一個(gè)有界數(shù)列，去掉他的最初項(xiàng)以后，剩下來(lái)的依舊是一個(gè)有界數(shù)列，記顯然，數(shù)列是單調(diào)減少的，是單調(diào)增加的，所以這兩個(gè)數(shù)列的極限存在。稱(chēng)的極限是的上極限，設(shè)它為。稱(chēng)的極限是的下極限，設(shè)它為。記為顯然：。定理1 設(shè)則（i）當(dāng)為有限時(shí)，對(duì)于的任何鄰域，在數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)屬于這個(gè)鄰域，而在只有有限多個(gè)項(xiàng)。（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)任何數(shù)，在中波有無(wú)窮多項(xiàng)大于。（iii）當(dāng)時(shí)，數(shù)列以為極限。定理2 設(shè)則（i）當(dāng)為有限時(shí)，對(duì)于的任何鄰域，在數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)屬于這個(gè)鄰域，而在只有有限多個(gè)項(xiàng)。（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)任何數(shù)，在中波有無(wú)窮

2、多項(xiàng)小于。（iii）當(dāng)時(shí)，數(shù)列以為極限。定理3 設(shè)為的上極限，那么，必是中所有收斂子列的極限中的最大值。設(shè)為的下極限，那么，必是中所有收斂子列的極限中的最小值。推論1 的充分必要條件為。例：設(shè)，求它的上下極限。例：設(shè)，求它的上下極限。§2 級(jí)數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)一 級(jí)數(shù)概念在初等數(shù)學(xué)中，我們知道：任意有限個(gè)實(shí)數(shù)相加，其結(jié)果仍是一個(gè)實(shí)數(shù)，在本章將討論無(wú)限多個(gè)實(shí)數(shù)相加級(jí)數(shù)所可能出現(xiàn)的情形及特征。如 從直觀上可知，其和為1。又如， 。 其和無(wú)意義；若將其改寫(xiě)為： 則其和為：0；若寫(xiě)為： 則和為：1。（其結(jié)果完全不同）。問(wèn)題：無(wú)限多個(gè)實(shí)數(shù)相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。定義1 給定

3、一個(gè)數(shù)列，將它的各項(xiàng)依次用加號(hào)“+”連接起來(lái)的表達(dá)式 （1）稱(chēng)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)），其中稱(chēng)為級(jí)數(shù)（1）的通項(xiàng)。級(jí)數(shù)記為：。二 級(jí)數(shù)的收斂性記 ，稱(chēng)之為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和，簡(jiǎn)稱(chēng)部分和。定義2 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱(chēng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ，記作 =。若部分和數(shù)列發(fā)散，則稱(chēng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，又稱(chēng)為級(jí)數(shù)的余和。注：無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是部分和數(shù)列的收斂問(wèn)題。例: 試討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)） ，的收斂性。例:討論級(jí)數(shù) 的收斂性。三 收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 若級(jí)數(shù)都有收斂，則對(duì)任意常數(shù)，級(jí)數(shù)也收斂，且 。性質(zhì)2 若級(jí)數(shù)與都有收斂，則級(jí)數(shù)也收斂，且。即對(duì)于收斂級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，交換

4、律和結(jié)合律成立。性質(zhì)3 在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，既不改變級(jí)數(shù)的收斂性，也不改變它的和。注意：從級(jí)數(shù)加括號(hào)后的收斂，不能推斷加括號(hào)前的級(jí)數(shù)也收斂（即去括號(hào)法則不成立）。如：收斂，而級(jí)數(shù) 是發(fā)散的。性質(zhì)4 （收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收斂，則。注：只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，不是充分條件。例：級(jí)數(shù)發(fā)散，但。斂散性是由它的部分和數(shù)列來(lái)確定的，因而也可以認(rèn)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是數(shù)列的另一表現(xiàn)形式。反之，對(duì)于任意的數(shù)列，總可視其為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，此時(shí)數(shù)列與級(jí)數(shù)有相同的斂散性，因此，有定理1（Cauchy收斂原理） 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：任給正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)以及對(duì)任意的正整數(shù)，都有 。注：級(jí)數(shù)發(fā)散的充要

5、條件是：存在某個(gè)，對(duì)任何正整數(shù)N，總存在正整數(shù)，有 。 例：利用收斂原理來(lái)判斷級(jí)數(shù)的收斂性。例：利用收斂原理來(lái)判斷調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性。§3 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)一 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則若級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)都相同，則稱(chēng)為同號(hào)級(jí)數(shù)。而對(duì)于同號(hào)級(jí)數(shù)，只須研究各項(xiàng)都由非負(fù)項(xiàng)數(shù)組成的級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。因負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)同正項(xiàng)級(jí)數(shù)僅相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而這并不影響其收斂性?；径ɡ?正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和數(shù)列有上界。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法定理1設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某個(gè)正數(shù)N，使得對(duì)都有 ，那么（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂； （2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。例: 考察的收斂性。推論（比較判別法的極限形式） 設(shè)和是兩個(gè)

6、正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 ，則 （1） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)、同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； （2）當(dāng)且級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂； （3）當(dāng)且發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散。例: 討論級(jí)數(shù) 的收斂性。例: 討論級(jí)數(shù)的收斂性?？挛髋袆e法定理2 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù)及正常數(shù)，（1）若對(duì)，有，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若對(duì)，有，則級(jí)數(shù)發(fā)散。推論（柯西判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 ，則 （1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)（可為）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。如：，。例：討論級(jí)數(shù) 的斂散性。達(dá)朗貝爾判別法定理3設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù)及常數(shù)：（1） 若對(duì)，有 ，則級(jí)數(shù)收斂 ；（2） 若對(duì)，有 ，則級(jí)數(shù)發(fā)散。推論 設(shè)為

7、正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 ，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2） 當(dāng)（可為）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。如：，。例：討論級(jí)數(shù)的收斂性。例：討論級(jí)數(shù)的收斂性。說(shuō)明：因 ，這就說(shuō)明凡能用達(dá)朗貝爾判別法判定收斂性的級(jí)數(shù)，也能用柯西判別法來(lái)判斷，即柯西判別法較之達(dá)朗貝爾判別法更有效。但反之不能。柯西積分判別法定理4 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。例: 討論下列級(jí)數(shù)（1） ，（2）， 的斂散性。§4 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)定義1 若級(jí)數(shù)各項(xiàng)絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若級(jí)數(shù)收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂。定理1 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂

8、。但反之不然。注：例如.說(shuō)明：對(duì)于級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂，可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各判別法進(jìn)行判別。例：對(duì)任何實(shí)數(shù)，級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的。若級(jí)數(shù)收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂。例：是條件收斂的；和是絕對(duì)收斂的。全體收斂的級(jí)數(shù)可分為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)兩大類(lèi)。二 交錯(cuò)級(jí)數(shù)定義2 若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間，即 ，稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理2（萊布尼茨判別法） 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下述兩個(gè)條件： （1） 數(shù)列單調(diào)遞減； （2）。則級(jí)數(shù)收斂。且此時(shí)有。推論 若級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，則其余和估計(jì)式為 。例：判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）。三 阿貝耳判別法和狄立克萊判別法 定理3（阿貝爾判別法）若為單調(diào)有

9、界數(shù)列，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù) 收斂。例：根據(jù)阿貝爾判別法法可知，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù) ， 收斂。定理4（狄立克萊判別法）若為單調(diào)遞減數(shù)列，且，又級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級(jí)數(shù) 收斂。例：若數(shù)列為單調(diào)遞減，且，則級(jí)數(shù) ， 對(duì)任何都收斂。§5 絕對(duì)收斂技術(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理1 對(duì)于級(jí)數(shù)，令那么：（i）若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)和都收斂。（ii）若級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)和都發(fā)散。定義1 對(duì)于一個(gè)級(jí)數(shù)，他的更序級(jí)數(shù)就是把它的項(xiàng)重新排列后所得到的級(jí)數(shù)。定理2 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)仍為絕對(duì)收斂，且其和相同，= 。定理3 若級(jí)數(shù)條件收斂，那么，總可以適當(dāng)?shù)馗鼡Q原來(lái)級(jí)數(shù)的次序而組成一個(gè)級(jí)數(shù)，使它收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)（包括的情形）。注：（1）由條件收斂的級(jí)數(shù)重排后所得到的級(jí)數(shù)，不一定收斂；即使收斂，也不一定收斂于原來(lái)的和數(shù)。 如：設(shè) ， 則 ， 而 ，它正是第1個(gè)級(jí)數(shù)的重排。級(jí)數(shù)的乘積設(shè)有收斂級(jí)數(shù) ， （1） 。 （2）它們每一項(xiàng)所有可能的乘積為： （3） 定理4（柯西定理） 若級(jí)數(shù)（1）、（2）都絕對(duì)收斂，則對(duì)（3）中所有乘積按任意