高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章334生活中的優(yōu)化問題舉例ppt課件

1、一、如何判別函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)為減函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個區(qū)間某個區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的普通步驟求函數(shù)極值的普通步驟1確定定義域確定定義域2求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x)3求求f(x)=0的根的根 4列表列表 5判別判別求求f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；內(nèi)極值；(2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b比較比較,從而確定函數(shù)的最值。從而確定函數(shù)的最值。 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些

2、問題通常稱為優(yōu)化問題.經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大小值的有力工具，本節(jié)我們運用導(dǎo)數(shù)，處理一些生活中的優(yōu)化問題.例例1 1：海報版面尺寸的設(shè)計：海報版面尺寸的設(shè)計 學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需求學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需求張貼海報進(jìn)展宣傳?，F(xiàn)讓他設(shè)計一張如張貼海報進(jìn)展宣傳?，F(xiàn)讓他設(shè)計一張如圖圖3.4-13.4-1所示的豎向張貼的海報，要求所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為版心面積為128dm2128dm2，上、下兩邊各空，上、下兩邊各空2dm2dm，左、右兩邊各空，左、右兩邊各空1dm1dm，如何設(shè)計，如何設(shè)計海報的尺寸，才干使周圍空白面積最??？海報的尺寸，才干使周圍空白面積最小？

3、x圖圖3.4-1 分析：知版心的面積，他能否設(shè)出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報周圍的面積來？ S因此因此, =16是函數(shù) 的極小值點，也是最小值點的極小值點，也是最小值點.所以當(dāng)所以當(dāng)版心高為版心高為16dm，寬為時，寬為時8dm，能使周圍空白面積最小。，能使周圍空白面積最小。 128( )(4)(2) 128S51228,. 0 =2512( )20,16S解得16( 舍去)令128于是寬為 16128=8 解解: :設(shè)版心的高為設(shè)版心的高為 m,m,那么版心的寬為那么版心的寬為 m m，此時周圍空白面積為，此時周圍空白面積為 xx128 .0,16016,0 xsxxsx時，；當(dāng)時，

4、當(dāng)他還有其他解法他還有其他解法嗎？例如用根本嗎？例如用根本不等式行不？不等式行不？規(guī)格（規(guī)格（L）21.250.6價格（元）價格（元）5.14.52.5例例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價錢如下表所示，那么的價錢如下表所示，那么1對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？2對制造商而言，哪一種的利潤更大？對制造商而言，哪一種的利潤更大？ 某制造商制造并出賣球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造某制造商制造并出賣球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是

5、本錢是0.8pr2分，其中分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，知每出是瓶子的半徑，單位是厘米，知每出售售1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？，那么每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) -1.07p解：解：每個瓶的容積為每個瓶的容積為:每瓶飲料的利潤：每瓶飲料的利潤：324( )0.20.83yf rrr32= 0.8 (-)3

6、rr)60( r解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是ryo)3(8 . 0)(23rrrf231、當(dāng)半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)0,2、當(dāng)半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，他還能看出什么嗎？例3下文請看課本P111解：存儲量解：存儲量=磁道數(shù)磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)每磁道的比特數(shù) 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲人行信息，所以磁道最多可達(dá) 又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必需裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可到達(dá) 所以，磁道總存儲量,mrR.2nr .22rRrmnrnrmrRrf1它是一個關(guān)

7、于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判別，不是r越小，磁盤的存儲量越大.(2)為求 的最大值，計算 xf , 0rf ,2rRmnrf令 0rf解得2Rr , 02; 02rfRrrfRr時，當(dāng)時，當(dāng)因此，當(dāng) 時，磁道具有最大的存儲量，最大存儲量為2Rr .22mnR 由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，處理優(yōu)化問題的根本思緒是：優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處理數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)處理數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案上述處理優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程。1:在邊長為在邊長為60cm的正的正 方形鐵皮方形鐵皮的四角切去相等的正方形的四角切去相等的正方形,再把再把它

8、的邊沿虛線折起它的邊沿虛線折起(如圖如圖),做成一做成一個無蓋的方底箱子個無蓋的方底箱子,箱底邊長為箱底邊長為多少時多少時,箱子的容積最大箱子的容積最大?最大容積是多少最大容積是多少?解解:設(shè)箱底邊長為設(shè)箱底邊長為x,那么箱高那么箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由題意可知由題意可知,當(dāng)當(dāng)x過小過小(接近接近0)或過大或過大(接近接近60)時時,箱子箱子的容積很小的容積很小,因此因此,16000是最大值是最大值. 答答:當(dāng)當(dāng)x=

9、40cm時時,箱子容積最大箱子容積最大,最大容積最大容積16000cm3.2:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時圓柱形金屬飲料罐的容積一定時,它的高與底半徑它的高與底半徑 應(yīng)應(yīng)怎樣選取怎樣選取,才干使所用的資料最省才干使所用的資料最省?解解:設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h,底半徑為底半徑為r,那么外表積那么外表積S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,那么那么2rVh .2222)(222rrVrrVrrS 令令 ,解得解得 ,從而從而 ,即即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2( VVrVh 33224 VV 由于由于S(r)只需一個極值只需一個極值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:當(dāng)罐的高與底直徑相等時當(dāng)罐的高與底直徑相等時,所用的資料最省所用的資料最省.rhxy練習(xí)練習(xí)3 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個內(nèi)接圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形矩形ABCD,求這求這 個矩形的個矩形的最大面積最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 那么那么 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( xf而而0 x1時時, ,所以所以x=