概率統(tǒng)計第四章

1、淮陰工學(xué)院本科生課程淮陰工學(xué)院本科生課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.只有在相同只有在相同的條件下進(jìn)行的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)大量重復(fù)試驗(yàn)時時, 隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性才會呈現(xiàn)出來現(xiàn)象的規(guī)律性才會呈現(xiàn)出來.也就是也就是說說,要從隨機(jī)現(xiàn)象中尋求必然的法則要從隨機(jī)現(xiàn)象中尋求必然的法則, 應(yīng)該研究應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象大量隨機(jī)現(xiàn)象.研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象, 極限工具無疑是最有效的極限工具無疑是最有效的方法方法.這導(dǎo)致了對極限定理的研究這導(dǎo)致了對極限定理的研究.極限定理包含的內(nèi)容很廣泛極限定理包含的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩其

2、中最重要的有兩類類: 大數(shù)定律大數(shù)定律 與與 中心極限定理中心極限定理大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率 字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)中的廢品率生產(chǎn)中的廢品率n 次重復(fù)測量的結(jié)果的平均值次重復(fù)測量的結(jié)果的平均值n 越大越大, 對真值對真值 a 的偏差就越小的偏差就越小 . niinXnX11X大量隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性：大量隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性：由于大量由于大量的隨機(jī)現(xiàn)象中的隨機(jī)現(xiàn)象中, 個別隨機(jī)現(xiàn)象所引起的偏差會相互個別隨機(jī)現(xiàn)象所引起的偏差會相互抵消和補(bǔ)償?shù)窒脱a(bǔ)償,致使大量隨機(jī)現(xiàn)象的共同作用的致使大量隨機(jī)現(xiàn)象的共同作用的總平總平均結(jié)果趨于穩(wěn)定均結(jié)果趨于穩(wěn)定大數(shù)定律

3、的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景 設(shè)設(shè) X1,X2, 是一隨機(jī)變量序列是一隨機(jī)變量序列,若存在常數(shù)若存在常數(shù) C,對于任意給定的對于任意給定的 0，總有總有則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xn 依概率收斂于依概率收斂于 C ,記作記作,1)| (lim CXPnn,CXPn設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 有期望和方差，則有期望和方差，則 0,或或 .1)| (2 DXXEXP,)| (2 DXXEXP在未知分布的情形下在未知分布的情形下估計估計 P(|(|X- -EX| | ) )由切比雪夫不等式可看出：由切比雪夫不等式可看出：DX 越小越小,則事件則事件|X-EX| 的概率越的概率越大大,即隨機(jī)變量即

4、隨機(jī)變量X 集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度 111. 09)3| (22 EXXP 當(dāng)方差已知時當(dāng)方差已知時, ,切比雪夫不等式給出了隨機(jī)變量切比雪夫不等式給出了隨機(jī)變量X與它的期望的偏差不小于與它的期望的偏差不小于 的概率的估計式的概率的估計式 .2)| ( DXEXXP切比雪夫不等式切比雪夫不等式 可見，可見，對任給的分布對任給的分布，只要，只要期望和方差期望和方差 2 存在，則隨機(jī)變量存在，則隨機(jī)變量X 取值偏離取值偏離 EX 超過超過 3 的概率的概率

5、小于小于 0.111 . 設(shè)設(shè) ,2 DX,3 并取并取在未知分布的情形下估計在未知分布的情形下估計 P(|(|X- -EX| |0,有有1111|lim)1(|.nnkknkkXPnnm m 特別地特別地, 改方差的限定條件為改方差的限定條件為: 設(shè)設(shè)Xn 獨(dú)立且有相同的獨(dú)立且有相同的期望期望 m m 和方差和方差 2 ,則則 0, 有有.1)|1| (lim1 niinXnP m m 在獨(dú)立和同期望、方差的條件下在獨(dú)立和同期望、方差的條件下, n 個隨機(jī)變量的算術(shù)平均值個隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)當(dāng) n 時時, 以概率收斂于它的期望以概率收斂于它的期望 m m . (Bernoulli大數(shù)定律

6、大數(shù)定律 )：設(shè)設(shè)nA是是n 重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)數(shù), p 是事件是事件A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則則 0, 有有l(wèi)im(|)1AnnpPn Bernoulli大數(shù)定律表明大數(shù)定律表明, 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n 充分充分大時大時,事件事件 A 發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率 nA /n 與事件與事件 A 的的概率概率 p 有有較較大偏差的概率大偏差的概率 很小很小.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 時時, 事件事件 A 的的頻頻率依概率收斂于率依概率收斂于事件事件 A 的的概率概率. Bernoulli大數(shù)定律提大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定

7、事件概率方法的理論依據(jù)供了通過試驗(yàn)來確定事件概率方法的理論依據(jù),即用即用頻率估計概率是合理的頻率估計概率是合理的. 第一個嚴(yán)格說明第一個嚴(yán)格說明頻率穩(wěn)定性的定律頻率穩(wěn)定性的定律 (Khinchine大數(shù)定律大數(shù)定律 )：設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1, X2, 獨(dú)立且同分布獨(dú)立且同分布,具有有限的數(shù)學(xué)期望具有有限的數(shù)學(xué)期望 EXi =m m, i =1,2, ，則對則對 0, 11lim)(|1.niniPXnm m 辛辛 欽欽辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值, 提供了一提供了一條實(shí)際可行的途徑條實(shí)際可行的途徑:若視若視 Xi 為重復(fù)試驗(yàn)中對隨機(jī)變量為重復(fù)

8、試驗(yàn)中對隨機(jī)變量 X 的第的第 i 次觀察次觀察,則當(dāng)則當(dāng) n 時時, 對對X 的的 n 次觀察結(jié)果的算次觀察結(jié)果的算術(shù)平均值術(shù)平均值 依概率收斂于依概率收斂于 X 的期望值的期望值 EX = m m .這為在不這為在不知分布的情形下知分布的情形下, 取多次重復(fù)觀測的取多次重復(fù)觀測的算術(shù)平均值算術(shù)平均值 作為作為 EX 的較為精確的估計的較為精確的估計提供了理論保證提供了理論保證. XX伯努利大數(shù)律是辛欽大數(shù)律的特例伯努利大數(shù)律是辛欽大數(shù)律的特例自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后, 人們?nèi)藗儼l(fā)現(xiàn)正態(tài)分布在自然界中極為常見發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布在自然界中極為常見.觀察

9、表明觀察表明, 如果一如果一個量是由大量個量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成,而而每一個別因素在總影響中所起的作用不大每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量則這種量一般都一般都服從或近似服從正態(tài)分布服從或近似服從正態(tài)分布.我們就來研究獨(dú)立我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和隨機(jī)變量之和的規(guī)律性問題的規(guī)律性問題:在一般情況下在一般情況下, 我們很難求出我們很難求出 X1 + X2 + + Xn 分布的確切形式分布的確切形式,但當(dāng)?shù)?dāng) n 很大時很大時, 可以求出這個和的近可以求出這個和的近似分布似分布.研究研究 n 個隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量個隨機(jī)變量之

10、和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限.nkknknkkknXDXEXZ111)()( (LevyLindberg中心極限定理中心極限定理)：設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1, X2, 獨(dú)立且同分布獨(dú)立且同分布,且且 EXi =m m , DXi= 2 0, i =1,2, ，則對，則對 任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)x，標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)隨機(jī)變量變量Zn的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x)滿足滿足xttde222 1( )x 1liml)m(i( )niinnnxFnXPxnm m n 個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量, 不論原來服從什么分不論原來服從什么分布布, 當(dāng)當(dāng) n 充分大時充分

11、大時, 其其和的標(biāo)準(zhǔn)化和的標(biāo)準(zhǔn)化 Zn 總可近似地認(rèn)為總可近似地認(rèn)為是服從是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正是大量隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的理論解釋正是大量隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的理論解釋 用機(jī)器把口服液裝瓶用機(jī)器把口服液裝瓶. 由于機(jī)器會有誤差由于機(jī)器會有誤差,所以每所以每瓶的口服液凈重為隨機(jī)變量瓶的口服液凈重為隨機(jī)變量,期望值為期望值為 100g , 標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 10g .一箱內(nèi)裝一箱內(nèi)裝 200 瓶瓶,求一箱口服液凈重大于求一箱口服液凈重大于 20500g 的概率的概率. 解解 設(shè)一箱口服液凈重為設(shè)一箱口服液凈重為 X 克克,箱中第箱中第 i 瓶凈重為瓶凈重為 X i ( i = 1,

12、200 ),顯然諸顯然諸 Xi 獨(dú)立且同分布，且獨(dú)立且同分布，且 EX i = 100, DX i = 10 2 (i = 1, , 200).記記 則所求概率為則所求概率為 P( X 20500 ),2001iiXX由獨(dú)立同分布中心極限定理知由獨(dú)立同分布中心極限定理知1()( )niinXnPxxm m )20500(1)20500(XPXP20500200001()100 2XP 200002010)2001500(1 = 0. 0002 . (De MoivreLaplace中心極限定理中心極限定理)：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布, 則對則對任

13、意任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x，有，有xttde222 1( )x lim()(1)nXnpPxnpp 定理說明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布定理說明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。若若 Xb(n, p),當(dāng)當(dāng)n 很大時，很大時，X 近似服從正態(tài)分近似服從正態(tài)分布布 N(np, np(1-p).()aPX b ()()(1)(1)bnpanpnppnpp首先我們先來看一個著名的實(shí)首先我們先來看一個著名的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)高爾頓釘板試驗(yàn)高爾頓釘板試驗(yàn)高爾頓板是在一塊豎起的木板上釘上高爾頓板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的鐵釘一排排互相平行、水平間隔相等的鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一（如圖

14、），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子下好對準(zhǔn)上面排多一個，一排中各個釘子下好對準(zhǔn)上面一排兩上相鄰鐵釘?shù)恼醒?。從入口處放一排兩上相鄰鐵釘?shù)恼醒?。從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩釘?shù)拈g隙，或向右落下，接著小球再通過兩釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘。如此繼續(xù)下去，小球又碰到下一排鐵釘。如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)。最后落入下方條狀的格子內(nèi)。 (De

15、MoivreLaplace中心極限定理中心極限定理)：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布, 則對則對任意任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x，有，有xttde222 1( )x lim()(1)nXnpPxnpp 定理說明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布定理說明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。若若 Xb(n, p),當(dāng)當(dāng)n 很大時，很大時，X 近似服從正態(tài)分近似服從正態(tài)分布布 N(np, np(1-p).()aPX b ()()(1)(1)bnpanpnppnpp 一供電網(wǎng)共有一供電網(wǎng)共有 10000 盞功率相同的燈盞功率相同的燈,夜晚每盞夜晚每盞燈開著的概率為燈開著的概率為0.

16、7 ,假設(shè)各盞燈開、關(guān)彼此獨(dú)立假設(shè)各盞燈開、關(guān)彼此獨(dú)立,求求夜晚同時開著的燈數(shù)在夜晚同時開著的燈數(shù)在 6800 到到 7200 之間的概率之間的概率. 解解 設(shè)設(shè) X 為夜晚同時開著的燈數(shù)為夜晚同時開著的燈數(shù),則則 X B(n,p)(n = 10000, p = 0.7).以題意知所求概率為以題意知所求概率為 P(6800 X 7200), 由由DL中心極限定理中心極限定理可知可知 )3 . 07 . 010007 . 0100006800(3 . 07 . 010007 . 0100007200()72006800( ）XP1)36. 4(2 9999. 0)36. 4()36. 4( 應(yīng)用

17、中的概率解釋：該電網(wǎng)只需提供應(yīng)用中的概率解釋：該電網(wǎng)只需提供 7200 盞盞燈所需的電力就能以燈所需的電力就能以 99.99 % 的概率保證需求的概率保證需求. 某保險公司有某保險公司有 10000 同齡且同階層的人參加同一同齡且同階層的人參加同一種保險種保險,已知該類人在一年內(nèi)出險的概率為已知該類人在一年內(nèi)出險的概率為 0.006，每，每個參保人在年初交個參保人在年初交12元保費(fèi)元保費(fèi),被保人出險時被保人出險時, 其可從公其可從公司獲賠司獲賠 1000 元元,問在該活動中問在該活動中(1)保險公司虧本的概率是多少？保險公司虧本的概率是多少？(2)保險公司獲得利潤保險公司獲得利潤(不計管理費(fèi)不

18、計管理費(fèi))不少于不少于40000元的元的概率是多少概率是多少?解解 設(shè)設(shè) X 為一年內(nèi)出險的總?cè)藬?shù)，則為一年內(nèi)出險的總?cè)藬?shù)，則 X B(n, p)(n = 10000, p = 0.006),該活動中保險公司每年總收入該活動中保險公司每年總收入為為 10000 12 = 120000, (1) 只有出險人數(shù)只有出險人數(shù)多于多于120人時人時, 公司才會賠本公司才會賠本.= 1 - - P( (X 120) )499. 006. 01000006. 010000120499. 006. 01000006. 010000(1XP)120(XP)7694. 7(1 = 0 ; 由由DL中心中心極限定

19、理極限定理 某保險公司有某保險公司有 10000 同齡且同階層的人參加同一同齡且同階層的人參加同一種保險種保險,已知該類人在一年內(nèi)出險的概率為已知該類人在一年內(nèi)出險的概率為 0.006，每，每個參保人在年初交個參保人在年初交12元保費(fèi)元保費(fèi),被保人出險時被保人出險時, 其可從公其可從公司獲賠司獲賠 1000 元元,問在該活動中問在該活動中(1)保險公司虧本的概率是多少？保險公司虧本的概率是多少？(2)保險公司獲得利潤保險公司獲得利潤(不計管理費(fèi)不計管理費(fèi))不少于不少于40000元的元的概率是多少概率是多少?(2) 僅當(dāng)每年出險人數(shù)不超過僅當(dāng)每年出險人數(shù)不超過 80 人時人時, 公司獲利不少公司獲利不少于于40000元元.)80(XP)64.59608064.5960(XP.9960.0)5886.2( 某單位由某單位由200部電話部電話,每部電話約有每部電話約有5%的時間是的時間是使用外線使用外線,設(shè)每部電話是否使用外線是獨(dú)立的設(shè)每部電話是否使用外線是