第四章剛體的定軸轉動

1、第第4章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動一、剛體的基本運動一、剛體的基本運動平動：平動：剛體：剛體：說明：說明：剛體的平動：用質點的運動處理。剛體的平動：用質點的運動處理。定軸定軸 轉動：轉動：轉動：轉動：一般剛體的運動：一般剛體的運動：二、剛體轉動的角速度、角加速度二、剛體轉動的角速度、角加速度rv線速度與角速度之間的關系：線速度與角速度之間的關系：rv由右手螺旋法則確定：由右手螺旋法則確定：右手彎曲的四指沿轉動方向，伸直的大拇指右手彎曲的四指沿轉動方向，伸直的大拇指即為角速度即為角速度 的方向。的方向。 注意：注意：在剛體作勻加速轉動在剛體作勻加速轉動時，相應公

2、式如下：時，相應公式如下：2 212020200ttt剛體運動學中所用剛體運動學中所用的角量關系及角量的角量關系及角量和線量的關系如左和線量的關系如左222 rararvdtddtddtdnt角加速度矢量：角加速度矢量：dtd圖為以角速度圖為以角速度 繞定軸繞定軸ozoz轉轉動的一根均勻細棒。動的一根均勻細棒。當細棒以當細棒以 轉動時，第轉動時，第i i個質點繞軸的半徑為個質點繞軸的半徑為ir它相對于它相對于o o點的位矢為點的位矢為iRziRLimiLizLOir一、一、 剛體的角動量剛體的角動量5-25-2剛體的角動量剛體的角動量 轉動動能轉動動能 轉動慣量轉動慣量把細棒分成許多質點，其中

3、把細棒分成許多質點，其中第第i i個質點的質量為個質點的質量為 im把細棒分成許多質點，其中把細棒分成許多質點，其中第第i i個質點的質量為個質點的質量為 imiiiivmRL因因iiRv，所以，所以 的大小為的大小為iLiiiivRmL方向如圖所示。方向如圖所示。則則 對對o o點的角動量為：點的角動量為：imziRLimiLizLOir從圖中可以看出：從圖中可以看出：cosiizLL因此因此2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL 而這個分量而這個分量L Lz z實際上就是各質點的角動量沿實際上就是各質點的角動量沿OZOZ軸的分軸的分量量LLiz iz之和。之和。對于定軸轉動

4、，我們感興趣的只是對于定軸轉動，我們感興趣的只是L L對沿對沿OZOZ軸的分量軸的分量L LZ Z，叫，叫做剛體繞定軸轉動的角動量。做剛體繞定軸轉動的角動量。剛體對剛體對OO點的角動量，等于各個質點角動量的矢量和。點的角動量，等于各個質點角動量的矢量和。ziRLimiLizLOir剛體轉動慣量：剛體轉動慣量：2iirmJ剛體繞定軸的角動量表達式：剛體繞定軸的角動量表達式：JLz 式中式中 叫做剛體對叫做剛體對 軸的轉動慣量，用軸的轉動慣量，用J J表示。表示。2iirmOz2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL221iikivmE 則該質點的動能為：則該質點的動能為： 剛體的轉

5、動動能應該是組成剛體的各個質點的動能之和。剛體的轉動動能應該是組成剛體的各個質點的動能之和。設剛體中第設剛體中第i i個質點的質量為個質點的質量為 , ,速度為速度為imiv 剛體做定軸轉動時，各質點的角速度剛體做定軸轉動時，各質點的角速度 相同。相同。設質點設質點 離軸的垂直距離為離軸的垂直距離為 ，則它的線速度，則它的線速度imir二、二、 剛體的轉動動能剛體的轉動動能iirv221 JEk 上式中的動能是剛體因轉動而具有的動能，因此叫剛體的上式中的動能是剛體因轉動而具有的動能，因此叫剛體的轉動動能。轉動動能。 式中式中 是剛體對轉軸的轉動慣量是剛體對轉軸的轉動慣量 ，所以上式寫為，所以上

6、式寫為2iirmJ因此整個剛體的動能因此整個剛體的動能 2222121 iiiikikrmvmEEiirvmrJd2dm質元的質量質元的質量r質元到轉軸的距離質元到轉軸的距離 剛體的質量可認為是連續(xù)分布的，所以上式可剛體的質量可認為是連續(xù)分布的，所以上式可 寫成積分形式寫成積分形式按轉動慣量的定義有按轉動慣量的定義有iimrJ2三、三、 轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量是轉動中慣性大小的量度。轉動慣量是轉動中慣性大小的量度。質量是平動中慣性大小的量度。質量是平動中慣性大小的量度。區(qū)別：區(qū)別：平動：平動： 平動動能平動動能 221mv線動量線動量mv轉動：轉動： 轉動動能轉動動能 221J角

7、動量角動量J例題例題 求質量為求質量為mm、長為、長為 l l 的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：慣量：（1 1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；（2 2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直）轉軸通過棒的一端并和棒垂直；（3 3）轉軸通過棒上距中心為轉軸通過棒上距中心為h h的一點并和棒垂直。的一點并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABhllOxdxlOxdxAlxdxAABh解解 如圖所示，在棒上離軸如圖所示，在棒上離軸x x 處，取一長度元處，取一長度元d dx x，如棒的質量，如棒的質量線密度為線密度為 ，這長度元的質量為，這

8、長度元的質量為d dmm= d dx x。 （1 1）當轉軸通過中心并和棒垂直時，我們有）當轉軸通過中心并和棒垂直時，我們有1232/2/220lxxmrJlldd20121mlJ 因因 l=ml=m，代入得，代入得（2 2）當轉軸通過棒的一端）當轉軸通過棒的一端A A并和棒垂直時，我們有并和棒垂直時，我們有332302mlldxxJlAlxdxA（3 3）當轉軸通過棒上距中心為）當轉軸通過棒上距中心為h h 的的B B點并和棒垂直時，有點并和棒垂直時，有222/2/212mhmldxxJhlhlB這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉軸，轉動慣量并這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉軸，轉動慣

9、量并不相同。不相同。lOxdxABh例題例題 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。設圓盤的半徑為設圓盤的半徑為R R，質量為，質量為mm，密度均勻。，密度均勻。rRdr解解 設圓盤的質量面密度為設圓盤的質量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為，在圓盤上取一半徑為r r、寬度為、寬度為drdr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 2 rdrrdr，環(huán)的質量，環(huán)的質量dm= dm= 2 2 rdr rdr 。可得：可得：240322122mRRdrrdmrJR 四、平行軸定理四、平行軸定理以質心以質心drrMNdOr rOdm

10、CxyzmdmrJ2mdmdr2)(mmmdmdrdmddmr222mCdmrdmdJ22mmdmj yi xmdmrm)(1102mdJJC-平行軸定理平行軸定理jydmmixdmmmm11MNdOr rOdmCxyz平行軸定理平行軸定理JmCJdC2mdJJC 例：例：如圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？如何計算？( (棒長為棒長為l l、圓半徑為、圓半徑為R R）2lllm31J1 2ooRm21J 200ldmJJ2 2o2o2lR)(lmRm21lm31J 例：例：再以繞長為再以繞長為 l l、質量為、質量為 m m

11、的勻質細桿，繞細桿一端軸轉的勻質細桿，繞細桿一端軸轉動為例，利用平行軸定理計算轉動慣量動為例，利用平行軸定理計算轉動慣量 I I 。解：解：2121mlJC 222lmml121J 2ml31 一、力矩一、力矩1) 1) 力對固定點的矩力對固定點的矩FrM 這種情況相當于質點繞固定點這種情況相當于質點繞固定點OO轉動的情形。轉動的情形。2) 2) 力對固定軸的矩力對固定軸的矩（1 1）力垂直于轉軸）力垂直于轉軸OPdrrFM5-3 5-3 力矩力矩 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律（2 2）力與轉軸不垂直）力與轉軸不垂直FF轉軸轉軸o rzF轉動平面轉動平面 可以把力分解為平行于轉軸可以把力分

12、解為平行于轉軸的分量和垂直于轉軸的分量。的分量和垂直于轉軸的分量。 平行轉軸的力不產(chǎn)生轉動效果，平行轉軸的力不產(chǎn)生轉動效果，該力對轉軸的力矩為零。該力對轉軸的力矩為零。 FrM大?。捍笮。簊inrFMa)a)力的作用線與轉軸相交或平行時力對該轉軸的矩為力的作用線與轉軸相交或平行時力對該轉軸的矩為0 0；b)b)同一個力對不同的轉軸的矩不一樣；同一個力對不同的轉軸的矩不一樣；c) c)當所給的力在轉動平面內，力對轉軸的矩與力對交點當所給的力在轉動平面內，力對轉軸的矩與力對交點OO的矩等值。但不能說完全相同。的矩等值。但不能說完全相同。d)d)在定軸轉動中，如果有幾個外力同時作用在剛體上，它在定軸

13、轉動中，如果有幾個外力同時作用在剛體上，它們的作用可以與某一個力矩相當們的作用可以與某一個力矩相當, ,這個力矩叫做這幾個力的這個力矩叫做這幾個力的合力矩合力矩。合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。在研究力對軸的矩時，可用正負號來表示力矩的方向。在研究力對軸的矩時，可用正負號來表示力矩的方向。說明：說明：二、定軸轉動的轉動定律二、定軸轉動的轉動定律imiFiFirFififoz),(取剛體內任一質元取剛體內任一質元i i，它所受合外力為，它所受合外力為 ， 內力為內力為 。iFif 只考慮合外力與內力均在轉動平面內的情形。只考慮合外力與內力均在轉動平

14、面內的情形。iiiiamfF 對對 mmi i用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iniininamfF : :法法向向 法向力作用線通過轉軸，力矩為零。法向力作用線通過轉軸，力矩為零。 iiiiamfF : :切切向向兩邊乘以兩邊乘以r ri i , ,有：有：iiiiiiiramrfrF 2iiiiiiiiirmramrfrF對所有質元的同樣的式子求和，有：對所有質元的同樣的式子求和，有： iira 合外力矩 內力矩之和 J 剛體所受的對于某一固定轉動軸的合外力矩等于剛體對剛體所受的對于某一固定轉動軸的合外力矩等于剛體對此轉軸的轉動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加此轉軸的轉動慣量與剛體

15、在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。速度的乘積。用用MM表示表示FFit it r ri i （合外力矩），有：（合外力矩），有： JM注意幾點注意幾點: :1. 1. 是矢量式（在定軸轉動中力矩只有兩個方向）。是矢量式（在定軸轉動中力矩只有兩個方向）。2. M2. M、J J、 是對同一軸而言的。是對同一軸而言的。4. 4. 轉動慣量轉動慣量J J是剛體轉動慣性大小的量度。是剛體轉動慣性大小的量度。5.5.剛體轉動定律的地位與牛頓第二定律相當剛體轉動定律的地位與牛頓第二定律相當。3. 3. 具有瞬時性，是力矩的瞬時效應。具有瞬時性，是力矩的瞬時效應。例例 一個質量為、半徑為的定滑輪（當

16、一個質量為、半徑為的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為的物定在滑輪邊上，另一端掛一質量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角速止下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。度。mg解解：R Ra a m ma aT Tm mg g : :對對m m2 2M MR R2 21 1J J T TR RJ JM M對對M M：g g2 2M Mm mm m解解方方程程得得：a aM M2 2m m4 4m mg gh hR R1 1R Rv v M M2 2m m

17、4 4m mg gh h2 2a ah hv v 例例 兩個勻質圓盤，同軸地粘結在一起，構成一個組合輪。兩個勻質圓盤，同軸地粘結在一起，構成一個組合輪。小圓盤的半徑為小圓盤的半徑為r r，質量為，質量為mm；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2rr=2r，質量，質量m = 2mm = 2m。組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光。組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸滑水平固定軸o o轉動，對轉動，對o o軸的轉動慣量軸的轉動慣量J=9mrJ=9mr2 2/2 /2 。兩圓。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質細繩，細繩下端各懸掛質量為盤邊緣上分別繞有輕質細繩，細繩下端各懸掛質量為mm的的物體物體

18、A A和和B B，這一系統(tǒng)從靜止開始運動，這一系統(tǒng)從靜止開始運動, ,繩與盤無相對滑動繩與盤無相對滑動且長度不變。已知且長度不變。已知r =10cm r =10cm 。 求：求：（1 1）組合輪的角加速度；）組合輪的角加速度； （2 2）當物體上升）當物體上升h=0.4mh=0.4m時，組合輪的角速度。時，組合輪的角速度。 ra 23 .10)19(2 sradrg : :解解得得rh : :則則為為組組合合輪輪轉轉過過的的角角度度, ,設設( (2 2) )121208. 9)2(2 sradrh 解解: : (1)(1)aTTTTa mgmgrm,rm,ABo29)2(2 mrTrrT )

19、2( ra amTmgmamgT例例 如圖所示，一均勻細棒，可繞通過其端點并與棒垂直的如圖所示，一均勻細棒，可繞通過其端點并與棒垂直的水平軸轉動。已知棒長為水平軸轉動。已知棒長為l l，質量為，質量為mm，開始時棒處于水平位，開始時棒處于水平位置。令棒由靜止下擺，置。令棒由靜止下擺，求：求：（1 1）棒在任意位置時的角加速度；）棒在任意位置時的角加速度； （2 2） 角為角為30300 0，90900 0時的角速度。時的角速度。doccmgN矩矩棒在任意位置時的重力棒在任意位置時的重力(1)(1): :解解 cos23312lgmlJM dtdmlmg231cos21)2( 003cos2dl

20、dg分分離離變變量量積積分分lg)sin3(lglg3,9023,3000cos2lmgM ddmldtdddml223131一、力矩的功一、力矩的功根據(jù)功的定義根據(jù)功的定義對一有限過程對一有限過程21dMArFAdcosdd rFdrFdMOrFrdd.P r說明說明1) 1) 合力矩的功合力矩的功 iiiiiiAMMMA212121d)d(d5-4 5-4 轉動中的功和能轉動中的功和能二、轉動動能定理二、轉動動能定理kEJd)21d(2ddMAd)ddd(JtJ2121)21d(d2JAA21222121JJkE剛體上所有外力矩作功之和等于繞定軸轉動剛體在此過剛體上所有外力矩作功之和等于繞

21、定軸轉動剛體在此過程中動能的增量，這就是程中動能的增量，這就是繞定軸轉動剛體動能定理繞定軸轉動剛體動能定理2) 2) 力矩的功本質上就是力的功力矩的功本質上就是力的功3) 3) 內力矩作功之和為零內力矩作功之和為零例例 一根長為一根長為 l , l ,質量為質量為 m m 的均勻細直棒的均勻細直棒, ,可繞軸可繞軸 O O 在豎直平在豎直平面內轉動面內轉動, ,初始時它在水平位置，求它由此下擺初始時它在水平位置，求它由此下擺 角時的角時的 解解00dcos2dmglMA0212JEksin21mglOM,lCxgmlgsin322/1)sin3(lgkEA 三、剛體的重力勢能三、剛體的重力勢能

22、hhihcxOmCm一個質元：一個質元：整個剛體：整個剛體： 一個不太大的剛體的重力勢能相當于它的全部質一個不太大的剛體的重力勢能相當于它的全部質量都集中在質心時所具有的勢能。量都集中在質心時所具有的勢能。 對于含有剛體的系統(tǒng)對于含有剛體的系統(tǒng), ,如果在運動過程中只有保守如果在運動過程中只有保守內力作功內力作功, ,則此系統(tǒng)的機械能守恒。則此系統(tǒng)的機械能守恒。常量 cmghJE221 iiiPhgmE重ciiimghhmg)(iiPighmE一一、剛體的角動量定理、剛體的角動量定理沖量矩（角沖量）：沖量矩（角沖量）： 表示合外力矩在表示合外力矩在t t0 0t t 時間內的累積作用。時間內的

23、累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的增量。角動量定理：角動量定理：單位：單位： 牛頓牛頓米米秒秒LddtM 轉動定律轉動定律dtdJJM dtLddtJdM )( 00 JJLddtMLL tt0 5-5 5-5 對定軸的角動量守恒定律對定軸的角動量守恒定律J J改變時改變時00JJL二、角動量守恒定律二、角動量守恒定律)(0, 0CJLLMdtLdM .即常常量量則則中中，若若在在 當物體所受的合外力矩為零時，物體的角動量保持不變。當物體所受的合外力矩為零時，物體的角動量保持不變。 在定軸轉動中還有在定軸轉動中還有M0M0，但它與軸平行，即，但

24、它與軸平行，即Mz=0, Mz=0, 對對定軸轉動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。定軸轉動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。M=0M=0的原因：的原因： 可能可能F F0 0；r=0; r=0; Fr.Fr.應用角動量守恒定律的兩種情況：應用角動量守恒定律的兩種情況：1 1、轉動慣量保持不變的單個剛體。、轉動慣量保持不變的單個剛體。000 則時，當,JJM2 2、轉動慣量可變的物體。、轉動慣量可變的物體。保持不變就增大，從而減小時，當就減?。辉龃髸r，當 JJJ例例 如圖所示如圖所示, ,一質量為一質量為mm的子彈以水平速度射入一靜止懸于的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端

25、頂端長棒的下端, ,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4,3/4,求子彈穿出后棒的角速求子彈穿出后棒的角速度度 。已知棒長為。已知棒長為l, l,質量為質量為M.M.解解: :以以f f代表棒對子彈的阻力代表棒對子彈的阻力, ,對子彈有對子彈有0043mvvvmfdt )(子彈對棒的反作用力對棒的沖量子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為矩為 Jdtflldtfv0vmM0043)(mvvvmfdt Jdtflldtf因因, , 由兩式得由兩式得ffv0vmM200314943MlJMlmvJlmv 這里 請問請問: :子彈和棒的總動量守恒嗎子彈和棒的總動量守恒嗎? ? 為什么為什么? ? 總角動量守

26、恒嗎總角動量守恒嗎? ? 若守恒若守恒, ,其方程應如何寫其方程應如何寫? ?200314943MlJMlmvJlmv這里例例 一長為一長為 l =0.40m 的均勻木棒，質量的均勻木棒，質量 M =1.00kg，可繞水平軸可繞水平軸 0在豎直平面內轉動，開始時棒自然地豎直懸在豎直平面內轉動，開始時棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)有質量垂?，F(xiàn)有質量m = 8g 的子彈以的子彈以 v =200ms的速率從的速率從A點點射入棒中假定射入棒中假定A點與點與0點的距離為點的距離為 3l/4，如圖。，如圖。求：求： （1 1）棒開始運動時的角速度；）棒開始運動時的角速度； （2 2）棒的最大偏轉角。）棒的最大偏轉角

27、。AOmvl4 3l0.054MJml231+=()43l2vJm=()43lvJm=()43l=0.008200()430.40.054=8.87 rad/s解：解：子彈射入后系統(tǒng)的轉動慣量為：子彈射入后系統(tǒng)的轉動慣量為：(1)系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒AOmvl4 3l(2)系統(tǒng)機械能守恒，設最大偏角為系統(tǒng)機械能守恒，設最大偏角為AOmvl4 3lPkEE 由)cos1(43)cos1(2212 lmglMgJ078. 02323cos2 lmgMglJlmgMgl 006.94 求：求：棒從碰撞開始到停止轉動所用的時間。棒從碰撞開始到停止轉動所用的時間。Amvl1v21m2O 例例 質

28、量為質量為m1 1, ,長度為長度為 l l 的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞端點系數(shù)為的水平桌面上，它可繞端點O轉動。另有一水平運動轉動。另有一水平運動的質量為的質量為m2 2的小滑塊，它與棒的的小滑塊，它與棒的A端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速度分別為度分別為 及及 。m m1v2v13=Jm1l2+=Jm vl2 1m vl22=+m v21mvl123()AOmvl1v21m2解：解：由角動量守恒得由角動量守恒得Jm vl21=m vl22棒上棒上dx段與桌面間的摩擦力為：段與桌面間的摩擦力為：gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxd dx x段所產(chǎn)生摩擦力力矩為：段所產(chǎn)生摩擦力力矩為：M0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvg122()mt摩擦力力矩為：摩擦力力矩為：dM=gxmdm1lx由角動量原理：由角動量原理：M0=ttdMt013m1l2=)=13m1l2+m v21mvl123(.所用的時間為：所用的時間為：例例 質量分別為質量分別為M1、M2,半徑分別為半徑分別為R1 、R2的兩均勻圓柱的兩均勻圓柱,可分別繞它們本身的軸轉動可分別繞它們本身的軸轉動,