數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)

1、數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí) 一三類方程及定解問題（一） 方程1. 波動(dòng)方程（雙曲型）Utt = a2Uxx +f; 0x0U(0,t)= 1（t）;U(l,t)= 2（t）;U(x,0)= 1（x）;Ut(x,0)=2（x）。2. 熱傳導(dǎo)方程（拋物型）Ut = a2Uxx +f; 0x0U(0,t)= 1（t）;U(l,t)= 2（t）;U(x,0)= 1（x）.3. 穩(wěn)態(tài)方程（橢圓型）Uxx +Uyy =f; 0xa;0y0.U(0,x)= 1（x）;U(b,x)= 2（x）;U(y,0)= 1（y）;Ut(y,a)=2（y）。（二） 解題的步驟1. 建立數(shù)學(xué)模型，寫出方程及定解條件2. 解方程3.

2、解的實(shí)定性問題（檢驗(yàn)）（三） 寫方程的定解條件1. 微元法：物理定理2. 定解條件：初始條件及邊界條件（四） 解方程的方法1. 分離變量法（有界區(qū)域內(nèi)）2. 行波法（針對(duì)波動(dòng)方程，無(wú)界區(qū)域內(nèi)）3. 積分變換法（Fourier變換Laplace變換）Fourier變換:針對(duì)整個(gè)空間 奇：正弦變換 偶：余弦變換Laplace變換：針對(duì)半空間4. Green函數(shù)及基本解法5. Bessel函數(shù)及Legendre函數(shù)法例一：在弦的橫震動(dòng)問題中，若弦受到一與速度成正比的阻尼，試導(dǎo)出弦阻尼振動(dòng)方程。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)位移函數(shù)為U（x,t）,取任意一小段x進(jìn)行受力分析，由題設(shè)，單位弦所受阻力為

3、b Ut（b為常數(shù)），在振動(dòng)過(guò)程中有x所受縱向力為：（T2COSa2-T1COSa1）橫向力為：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+nx）(0n0 雙曲線方程=0 拋物型方程0 橢圓方程3.特征方程a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0特征根：dy/dx=（a121/2）/ a11特征曲線：y=（a12+1/2）/ a11x+C1 y=（a12-1/2）/ a11x+C2新舊變量關(guān)系：=y+1x，= y+2x令Q=省略例一：把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成標(biāo)準(zhǔn)形式，并判斷類型。例二：x2Uxx+2xyUxy

4、+y2Uyy=0例三：化簡(jiǎn)2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判斷類型。a0（二）線性偏微分方程的基本性質(zhì)1.線性迭加原理設(shè)L為線性偏微分算子，即LU=f若u1 u2 u3 un 是LU=fi 的解，則u=CiUi是LU=Cifi的解。若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，則u= u1+u2是LU=f的一般解。2.齊次化原理（沖量原理）原理1：設(shè)W是方程Wtt= a2 Wxx W|t=0 W t|t=f（x,t;）的解，則u=0tW（x,t;）d是方程Utt= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。原理2：W是方程Wt=

5、a2 Wxx W|t=0 W t|t=f（x,t;）的解，則u=0tW（x,t;）d是Ut= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。 3.特征值函數(shù)（x-x0）=0 x0 x=x0（x-x0）dx=1性質(zhì)：（x）是連續(xù)函數(shù)，則（x-x0）（x）=（x0）三分離變量法（一） 齊次的泛定方程和齊次的邊界條件Utt = a2Uxx ; 0x0U(0,t)=U(l,t)=0;U(x,0)= （x）;Ut(x,0)=（x）。第二類齊次邊界條件：Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;第一類與第二類的齊次邊界條件：U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。（二） 非齊次

6、的泛函方程的齊次邊界條件Utt = a2Uxx +f(x,t); 0x0U(0,t)=U(l,t)=0;U(x,0)= （x）;Ut(x,0)=（x）。令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W滿足Wtt = a2Wxx ; 0x0W(0,t)=W(l,t)=0;W(x,0)= （x）;Wt (x,0)=（x）.則V滿足Vtt = a2Vxx +f(x,t); 0x0V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;Vt (x,0)=0.解W用分離變量法，解V用沖量原理。（三） 齊次的泛定方程，非齊次邊界條件Utt = a2Uxx ; 0x0U(0,t)=U1 (t);U(l,t)= U

7、2 (t);U(x,0)= （x）;Ut (x,0)=（x）.設(shè)U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,則W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),設(shè)W(x,t)=Ax+B,則W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),則（省略）（四） 非齊次的泛定方程，非齊次邊界條件Utt = a2Uxx +f(x,t); 0x0U(0,t)=U1 (t);U(l,t)= U2 (t);U(x,0)= （x）;Ut (x,0)=（x）.第一步：把非齊次邊界條件化成齊次的邊界條件第二步：同(三)例一：Utt = a2Ux

8、x ； U(0,t)=0=U(l,t);U(x,0)=3sinx; Ut (x,0)=0. 0x0例二：在矩形區(qū)域內(nèi)0xa,0yb上，求解Laplace方程的邊界值。Uxx +Uyy =0; 0xa;0y0.U(0,x)= Bsin(x/a); U(b,x)= 0;U(y,0)=Ay(b-y); Ut(y,a)=0。解：設(shè)U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0,V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(x/a),V(x,b)=0;同時(shí)Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0.答案

9、省略例三：求解方程Utt = a2Uxx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。例四：長(zhǎng)為l,兩端固定的弦線在單位長(zhǎng)度的橫向力f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做擺動(dòng)，已知弦的初始位移和速度分別為(x),(x)求其振動(dòng)規(guī)律。解：設(shè)位移分布函數(shù)為U(x,t)且滿足：Utt = a2Uxx +g(x)sinwt; 0x0U(0,t)= U(l,t)=0;U(0,x)= (x);U t(0,x)= (x).解方程，設(shè)U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且Vtt = a2Vxx ;V(0,t)= V(l,t)=0;V(0,x)= (x);V

10、t(0,x)= (x).W滿足：Wtt = a2Wxx +g(x)sinwt; 0x0W(0,t)= W(l,t)=0;W(0,x)= 0;W t(0,x)=0.由沖量原理有：Ztt = a2Zxx; 0x0Z(0,t;)= Z(l,t;)=0;Z(0,t;)= 0; Z(l,t;)= g(x)sinwt.W(x,t)=t0 Z(x,t;)d答案省略例五：求解矩形域上的第二類邊界值問題。Uxx +Uyy =0； 0xa;0y0.Uy(0,x)= 1（x）;Uy(b,x)= 2（x）;Ux(y,0)= 1（y）;Ux(y,a)=2（y）。 四行波法（無(wú)界區(qū)域內(nèi)）（一）公式1.一維波動(dòng)方程Utt

11、= a2Uxx； - x0.U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.公式：U(t,x)=1/2(x+at)+(x-at)+1/2ax+atx-at()d2.三維波動(dòng)方程Utt = a2U； - x0.U(0,M) =（M）；Ut(0,M)= （M）.公式：U=1/4a2（M）/t/tds+（M）/tds3.二維波動(dòng)方程Utt = a2U； - x0.U(0,M) =（M）；Ut(0,M)= （M）。U=(省略)（二）基本類型1.使用奇延拓將問題轉(zhuǎn)化到整個(gè)空間內(nèi)Utt = a2Uxx； 0 x0.U(0,t)=0;(端點(diǎn)固定)U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）延拓：x0時(shí)

12、，(x)=(x),x0時(shí)，(x)=-(-x)； x0時(shí)，(x)= (x),x0時(shí)，(x)=-(-x)。2.使用偶延拓將問題轉(zhuǎn)化到整個(gè)空間內(nèi)Utt = a2Uxx； 0 x0.Ux(0,t)=0;(端點(diǎn)自由)U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）延拓：x0時(shí)，(x)=(x),x0時(shí)，(x)=(-x)； x0時(shí)，(x)= (x),x0時(shí)，(x)= (-x)。3. 特殊形式Utt = a2Uxx； 0 x0.U(0,t)=U(t);U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且V(0,t)=0,則W(0,t)=U(t),將U(x,t)= U

13、(t)+V(x,t)代入，轉(zhuǎn)化為新方程。（方法見4.）4.非齊次波動(dòng)方程Utt = a2Uxx+f(x,t); - x0.U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且滿足：Vtt = a2Vxx +f(x,t); - x0. Wtt = a2Wxx;V(0,x) =O; W(0,x) =（x）;Vt(0,x)= 0. Wt(0,x)= （x）.其中V=0tZ(x,t;)d.Z滿足：Ztt = a2Zxx;Z(0,x) =O;Zt(0,x)= f(x,t).例一：求解方程Utt - a2Uxx=x+at; - x0.U(0,x) =x；Ut(0

14、,x)= sinx.解:由迭加原理解此定解問題，可由達(dá)朗貝爾公式和振動(dòng)的解迭加。例二：求解有阻尼波動(dòng)方程的初值問題。Utt - a2Uxx+2Ut+U2=0; - x0.U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.解：設(shè)U(x,t)=e-tV(x,t)(0)。代入原等式有：Ut= e-tVt-t,Utt=e-t(Vtt-2Vt+2V), Uxx= Vxxe-t,再代入原方程：Vtt- a2Vxx+2(-)Vt+(2-2+2)V=0;要使Vt ，V的系數(shù)為0，則=，則有：Vtt=a2Vxx；V(0,x) =（x）；Vt(0,x)= （x）+（x）.則由達(dá)朗貝爾公式即可得出結(jié)果。例三：求解下

15、列初值問題：Utt= a2U；U(0,x)=yz; Ut(0,x)=xz+x. - M0.解：令（M）=yz；（M）= xz+x.經(jīng)過(guò)球坐標(biāo)變換后有：（M）=yz=(y+rsinsin)(z+rcos);（M）=xz+x=(x+rsincos)(z+rcos)+( x+rsincos);因?yàn)閍t=r;則：（M）/at ds=020（M）rsinddr;（M）/at ds=020（M）rsindd;又因?yàn)椋?2sind=02cosd=0; 0cosd=0sincosd=0;所以有：=4ayz; =4atxz.因此U(x,t)=(tx+y)z.例四：求解下列問題：Utt= a2（Uxx+Uyy）;

16、 - x+; - y0.U(0,x,y) =x2(x+y)；Ut(0,x,y)=0.解：由二維的波動(dòng)方程即可求出。五.積分變換法（一）Fourier變換法1.概念若f(x)定義在（-，+），F(xiàn)f(x)=f()= -+f(x)e-ixdx;逆變換：f(x)=1/2-+f() eixd。2.基本性質(zhì)：線性，卷積，乘積，微分，象導(dǎo)數(shù)，積分，延遲，位移4. 利用Fourier變換解微分方程（二）Laplace變換法1.概念若f(x)定義在0，+），Lf(x)=f(p)= 0+f(x)e-pxdx;逆變換：f(x)=1/2i-i+if(p) epxdp L-1f(x)=Resf(t) est,sk2.存

17、在條件3.基本性質(zhì)4.利用Laplace變換解微分方程例一：求函數(shù)f(x)=1-x2 |x|0的Fourier變換。例二：設(shè)a是正數(shù)： 證明e-a|x|=-+1/*a/(a2+2)*eixd 由結(jié)果推導(dǎo)c()使得：a/(a2+x2)= -+c() eixd。證明：設(shè)e-a|x|=1/2-+Fe-a|x| eixd則：Fe-a|x|=-+e-a|x|e-ixdx=-+e-a|x|cosxdx-i-+e-a|x|sinxdx=20+e-a|x|cosxdx=2Re0+e-(a+i)xdx=2 Re1/a+i=2a/ (a2+2),即證。由c()滿足a/(a2+x2)= -+c() eixd，有c(

18、)= 1/2Fa/(a2+x2)= 1/2-+a/(a2+x2) e-ixdx=1/2 e-a|.即證。例三：求解上半平面Dirichlet問題： U=0;U(x,0)=f(x);Limx-0,y-0U=0.解：作Fourier變換：FU= -+U(x,y)e-ixdx;Ff(x)=f(),對(duì)原方程兩邊作變換：Uyy-2 U=0; U(,0)= f();lim y- U=0.解方程得：U（，y）=A()ey +B()e-y;由條件可知：當(dāng)0，A()=0，當(dāng)0, B()=0,因此有U（，y）= c()e-|y,代入可知c()= f()，因此U（，y）= f()e-|y，再做逆變換：U（x,y）=

19、F-1f()e-|y=4/-+f()/(x-) 2+y 2 d.例四設(shè)Lf(x)=Fp,證像函數(shù)的微分性質(zhì)的微分性質(zhì)Ltnf(x)=(-1)ndnFp/dpn.證：由Fp= -+f(t) e-ptdt=dFp/dp=0+f(t) e-ptdt /dp=L-tf(t).例五求解一維無(wú)界空間的運(yùn)輸方程，設(shè)初始濃度或溫度已知，即Ut -a2Uxx=f(x,t); - x0.U(0,x) =（x）；例六求解一端固定的半無(wú)界弦線的自由振動(dòng)。Utt - a2Uxx=0; 0 x0.U(a,t)=0;U(0,x) =（x）；Ut(0,x)= （x）.解：對(duì)方程做Fourier的正弦變換：FSU(s,t)=

20、0+U(x,t)sinxdx=U(,x);FS（x）= 0+（x）sinxdx=（）;FS（x）= 0+（x）sinxdx=（x）.則方程為：d2 U/dt2+a22 U=0; U(,0)= （）;Ut(,0)= （x）.解得：U(,x)= （）cosat+1/a（x）sinat.再做逆變換：U(x,t)= F -1SU(,x)=F -1S（）cosat+ F -1S1/a（x）sinat.答案略。例七求下列函數(shù)的Laplace變換。(1)eat (2)sinkt (3)sin(t-2/3) (4)coskt例八求零階Bessel方程:x2y+xy+x2y=0,y(0)=1,y(0)=0.解：

21、作Laplace變換：Ly= 0+y(x)e-pxdx=y;Lxy=-dy/dp;Ltnf(t)=(-1)ndnF(p)/dpn;Ly(0)=py-y(0)=py-1;Lx2y=-pndy/dp+2py-1.代入即有：y(p)=1/p(1+1/p2)-1/2.再做逆變換有：y(x)=c(-1)n/22n(n!)2*x2n.六Green函數(shù)及基本解一Green公式1基本公式（1）Gauss公式Adv=Ads=Ands(2) Green公式令A(yù)=UV U,VC2()（）(3)Green第二公式（4）Green第三公式2基本解基本解的概念（保證嚴(yán)格單調(diào)，有任意解）1).橢圓形方程a.一維U=（M-M

22、0）的解，成為基本解。b.三維基本解 V=1/4*1/rc.二維基本解V=1/2*ln1/r2).雙曲線方程Utt = a2U； - x0.U(0,M) =0；Ut(0,M)= （M）.三維：V(M,t)=1/4ar(r-at);二維：V(M,t)=1/2ar(r-at);一維：V(M,t)=1/2h(a2t2-x2)=1/2a |x|at;=0 |x|at.性質(zhì)：Utt = LU+f(M,t)； - x0.U(0,M) =（M）；Ut(0,M)= （M）.若f, , 是連續(xù)函數(shù)，則U(M,t)=3).熱傳導(dǎo)方程Ut = LU； - x0.U(0,M) =（M）；的解為基本解。三維基本解：二維

23、基本解一維基本解3特殊區(qū)域內(nèi)的Green函數(shù)的求法，使用Green函數(shù)表達(dá)橢圓型方程的解（1）Green函數(shù)的概念及性質(zhì)定義：滿足G=-（M-M0），G|a=0稱為格林函數(shù)性質(zhì)：a.Green函數(shù)與所給區(qū)域和邊界有關(guān) b. Green函數(shù)界有對(duì)稱性（2）特殊區(qū)域內(nèi)的Green函數(shù)a.圓內(nèi)的Green函數(shù) b.球內(nèi)的Green函數(shù)c.半空間上的Green函數(shù)d.半平面內(nèi)的Green函數(shù)e.第一象限的Green函數(shù)例一 求解1/4平面的Dirichlet問題U=0； x，y0.U(0,y) =f(y)；U(0,x)= 0。解：二維Dirichlet問題利用二維Dirichlet問題的積分公式。例二

24、 求解下列邊界問題U=f(x,y)； xR，y0.U(0,x)= （x）。解：利用二維Dirichlet問題積分公式代入有：U（x,y）=0+-+f(x0,y0)G(x,y,x0,y0)dx0dy0-+(x0)G/n|y0dx0其中G=1/2ln1/r-1/2ln1/r1G/n|y0=- y0/*(1/(x- x0)2+ y02)代入有：U(x,y)=(答案略)七Bessel函數(shù)（一）Bessel方程及方程的解（二）Bessel函數(shù)及性質(zhì)1. Bessel函數(shù)及表現(xiàn)形式2. Bessel函數(shù)的母函數(shù)3. Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系（三）Bessel函數(shù)的正交性及廣義的傅氏級(jí)數(shù)1. Bessel

25、函數(shù)的正交性2. Bessel函數(shù)的模3. Bessel函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)例一計(jì)算I=x4J1(x)dx.法一.由公式dxmJm(x)/dx= xmJm-1(x)有： I=x2（x2J1(x)）dx=x2dx2J2(x)/dxdx = x4J2(x)-2x3J2(x)dx = x4J2(x)-2dx3J3(x)/dxdx = x4J2(x)- 2x3J3(x)+C法二.由dx-mJm(x)/dx= -x-mJm+1(x),當(dāng)m=0時(shí)，J0(x)= -J1(x)I=-x4 J0(x)dx=-x4J0(x)+4x3J0(x)dx =-x4J0(x)+4x2(xJ0(x)dx =-x4J0(x)+4x3

26、J1(x)-8x2J1(x)dx =-x4J0(x)+4x3J1(x)-8x2J2(x)dx+C例二 計(jì)算I=0+e-axJ0(bx)dx,a0,a,bR. 解：由Jn(x)=1/2-ei(xsin-n)d,則 I=0+e-axJ0(bx)dx =0+e-ax1/2-eibxsinddx =1/2-d0+e-ax+ibxsindx =1/2-1/(a-bisin) d令z=ei,則d=1/izdz*sin=(z2-1)/2iz I=1/2|z|=11/(bz2-2az-b)dz =(1/a2+b2) 1/2例三 證明（1）J2(x)= J0(x)-1/x J0(x) (2) J3(x)+3 J0(x)+4J(3)0(x)=0證明：（1）因?yàn)镴0(x)=- J1(x)且有2 Jn(x)= Jn-1(x)- Jn+1(x)則J1(x)=1/2J0(x)- J2(x)(2n/x)Jn(x)= Jn-1(x)+Jn+1(x)-(1/x) J0(x)= (1/x)Jn(x)=1/2J0(x)+ J2(x)則J0(x)-1/x J0(x)= -（1/2）J0(x)- J2(x)+ 1/2J0(x)+ J2(x)= J2(x)（2）J(3)0(x)= -（1/2）J0(x)-