第3章多維隨機(jī)變量及其分布ppt課件

1、第三章第三章 隨機(jī)向量隨機(jī)向量 一一. 隨機(jī)向量及其分布函數(shù)隨機(jī)向量及其分布函數(shù)nXXX,.,21定義定義1 設(shè)設(shè)是定義在概率空間),(P上的n個(gè)隨機(jī)變量，那么稱 是 上的一個(gè))XXXn,.,(21),(Pn維隨機(jī)向量。維隨機(jī)向量。),(PnXXX,.,21定義定義2 設(shè)設(shè) 是是 上的一個(gè)上的一個(gè)n維隨機(jī)向量，維隨機(jī)向量，那么稱那么稱n元函數(shù)元函數(shù))XXXn,.,(21,.,),.,(221121nnnxXxXxXPxxxF是隨機(jī)向量)XXXn,.,(21的分布函數(shù)或n個(gè)隨機(jī)變量的結(jié)合分布函數(shù)。下面以二維隨機(jī)向量為例，給出結(jié)合分布函數(shù)的性質(zhì)。(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y

2、1)oxy:),(有以下性質(zhì)yxF; 1),(0) 1 (yxF;,),()2(右連續(xù)均單調(diào)非減和關(guān)于yxyxF二維隨機(jī)向量結(jié)合分布函數(shù)的性質(zhì)二維隨機(jī)向量結(jié)合分布函數(shù)的性質(zhì) . 1),(lim),(, 0),(lim),(, 0),(lim),(, 0),(lim),()3(yxFFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx:),()(),(,),(其中與的分布函數(shù)與分別求出可由已知時(shí)當(dāng)yFxFYXyxFyxFYX( ),( ,)lim( , ),( ),(, )lim( , ).XyYxFxP XxP Xx YF xF x yFyP YyP XYyFyF x y .),(的邊緣分布函數(shù)和關(guān)于分

3、別稱為YXyxF1.(, ):( , )(arctan)(arctan),22:(1) , ,;(2)( )( ).XYX YxyF x yA BCA B CFxFy例 設(shè)的分布函數(shù)為求的值 與; 0, 1)2)(2(, 1),(: )3() 1 ( :ACBAF有由性質(zhì)解二維隨機(jī)向量邊緣分布函數(shù)可推行到二維隨機(jī)向量邊緣分布函數(shù)可推行到n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù). (, )0,()(arctan)0,222FyyA BCB由有,2, 0)2)(2arctan(, 0),(CCxBAxF有由.1:, 1)2)(2(2,22ACBACB可得到代入將),(lim)()2(yx

4、FxFyX21lim(arctan)(arctan)2222yxy),2arctan2(1x),(lim)(yxFyFxY21lim(arctan)(arctan)2222xxy1(arctan).22y二二. 離散型隨機(jī)向量的概率分布離散型隨機(jī)向量的概率分布 (, ),.X YXY也稱上式為的概率分布 或稱為 與的聯(lián)合概率分布二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的分布律表的概率分布。個(gè)數(shù)，求取到的白球分別表示從甲袋和乙袋，設(shè)乙袋中任取兩個(gè)球。球放入乙袋，然后再?gòu)娜稳∫粋€(gè)個(gè)紅球?，F(xiàn)先從甲袋中個(gè)白球有乙袋中個(gè)紅球個(gè)白球已知甲袋中有例),(33,24. 2YXYX:),(, 2 , 1 , 0, 10:的

5、可能取值為從而可能取值為的或的可能取值為由條件可知解YXYX:).2 , 1 (),1 , 1 (),0 , 1)(2 , 0(),1 , 0(),0 , 0(由乘法公式,21262)0, 0(2724CCYXP,21462) 1, 0(271413CCCYXP,21162)2, 0(2723CCYXP,21264)0, 1(2723CCYXP,21864) 1, 1(271314CCCYXP.21464)2, 1(2724CCYXP:),(,的概率分布表得到將結(jié)果列表YXXY0 1 2 21421821212112142120.,:,),(:),(YjXiijjippYXpyYxXPYX的概

6、率分布與可以分別求出關(guān)于的概率分布由其中的邊緣概率分布和關(guān)于分別稱為.),(YXYX; ), 3 , 2 , 1( ,)(jijiXiipxXPp)., 3 , 2 , 1( ,)(jpyYPpiijjYj:),( ,2的邊緣概率分布為和關(guān)于中如例YXYX;32214218212) 1(,31211214212)0(21XPpXPpXX.215214211)2(,2112218214) 1(,214212212)0(321YPpYPpYPpYYY 邊緣概率分布的計(jì)算也可以在(X,Y)的概率分布表上進(jìn)展:XY0 1 22152112214322142182121312112142120YjpXi

7、p 二維離散型隨機(jī)向量結(jié)合分布律的性質(zhì)二維離散型隨機(jī)向量結(jié)合分布律的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 01ijp0(,)1ijP Xx Yy01ijp證證 由于由于,所以 性質(zhì)性質(zhì)2 111ijijp1111(,)( )1ijijijijpP Xx YyP 證證 證證 ,(, )(,)ijijx x y yP X YGPxx yy(,)(,)(,)ijijijijx yGx yGP xx yypY X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i) PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=

8、i=(1/4)(1/i)(ij),(ij),于是于是(X,Y)(X,Y)的分布律為的分布律為(3,2)P XY111112048812123隨機(jī)向量的結(jié)合分布函數(shù)隨機(jī)向量的結(jié)合分布函數(shù) 密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)向量的概率三. xydsdttsfyxFRyxyxfyxFYX),(),(,),(),(,),(,),(5 . 32有使得對(duì)于任意積函數(shù)如果存二元非負(fù)可為其分布函數(shù)是一個(gè)二維隨機(jī)向量設(shè)定義.),.(),(),(,),(的聯(lián)合概率密度函數(shù)或稱為的概率密度函數(shù)是并稱是二維連續(xù)型隨機(jī)向量則稱YXYXyxfYX. 1),()2(;),(, 0),() 1 (:),(2 dxdyyxfRyxyxfyxf

9、任意有以下性質(zhì)2:,(, )( , )DDRP X YDf x y dxdy(3)概率的計(jì)算 對(duì)任意 例:設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度其他, 00, 0,2),()2(yxeyxpyx (1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率PYX. 解:(1) yxdudvvupyxF),(),(2)將(X,Y)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo).G是xoy平面上直線y=x下方的部分.),(GYXPXYP 其他, 00, 0,200)2(yxvuyxdudve其他, 00, 0),1)(1 (2yxeeyxGdxdyyxp),(0)2(312yyxdxedy.),(),()(),()(:),(),(的邊緣概率

10、密度函數(shù)和關(guān)于分別為與則稱的概率密度若已知YXYXdxyxfxfdyyxfxfyxfYXYX).()(:. 1,)1 (23),(),(. 422yfxfyRxxyyxfYXYX與求已知例dyxyxfX1122)1 (23)(;解dyyx11223)1 (21)()1 (211132yx;)1 (12xdxxyyfyY)1 (23)(,122時(shí)當(dāng)dxxy221123.23)(arctan2322yxy. 0)(0),(,1yfyxfyY由于時(shí)當(dāng)1, 01,23)(:2yyyyfY從而2:,: ( ),(, ):,( , )( , ),0,( , )1.(, ).( )GRS GX YCx yG

11、f x yx yGCX YGS G二維均勻分布的定義設(shè)為一個(gè)有界區(qū)域 其面積記作如果的概率密度函數(shù)為其中則稱服從區(qū)域 上的均勻分布例例3.3 (均勻分布均勻分布).()(),(:.10),(,),(. 5yfxfyxfxyyxGGYXYX和求其中上的均勻分布服從區(qū)域設(shè)例Gxyy=x011.),(, 0),(, 2),(,21)(:GyxGyxyxfGS故由圖可知解: )()(yfxfYX與再分別求.,22)(,100 xdyxfxxX時(shí)當(dāng), 0)(0),(,10 xfyxfxxX時(shí)或當(dāng)., 010,2)(其它從而xxxfX),1 (22)(,101ydxyfyyY時(shí)當(dāng), 0)(0),(,10y

12、fyxfyyY時(shí)或當(dāng)., 010),1 (2)(其它從而yyyfY邊緣分布與邊緣概率密度邊緣分布與邊緣概率密度 邊緣分布函數(shù)完全由結(jié)合分布函數(shù)確定. ( )()(,)( ,)lim( , )XyFxP XxP Xx YF xF x y ( )()(,)(, )lim( , )YxFyP YyP XYyFyF x y (1) (X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律.111()(,()(,),iiijijijjjjpP XxP XxYyP Xx Yyp.111()( (),)(,),jjijijijiiipP YyPXxYyP Xx Yyp(2) (X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律1,2,i 1,2,j 邊緣密度

13、函數(shù)邊緣密度函數(shù) 邊緣密度函數(shù)由結(jié)合密度函數(shù)決議. dxdyyxfxFxFxX),(),()( dydxyxfyFyFyY),(),()( dyyxfxpX),()(dxyxfypY),()( 設(shè)延續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)那么從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為00( )( , ),0000yxXxe dy xexfxf x y dyxx000( )( , ).0000yyyYe dxyyeyfyf x y dxyy解解 X，Y的結(jié)合密度函數(shù)的結(jié)合密度函數(shù) 2211( , )0 xyf x y其它那么X，Y關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)221211211111( )( , )

14、00 xXxdyxxxfxf x y dy 其它其它X，Y關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 22111( )0Yyyfy 其它1X,Y關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) 2111()211( )( , ),2xXfxf x y dyex 2X，Y關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 2221()221( )( , ),2yYfyf x y dxey 1.二元正態(tài)分布的邊緣分布必為正態(tài)分布2.一樣的邊緣分布未必能確定獨(dú)一的結(jié)合分布.相關(guān)系數(shù)為0時(shí), 有結(jié)合密度等于兩個(gè)邊緣密度之積.作業(yè)作業(yè) P84: 3,4,5,6.3.2 條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 條件分布是條件概率的推行.本節(jié)主要討論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量

15、的條件分布律和關(guān)于二維延續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù). 也有類似的概念。概率。對(duì)于隨機(jī)變量，條件發(fā)生的事件發(fā)生的條件下”表示在已知事件“)(,)(BAABP的一般概念條件分布函數(shù)與獨(dú)立性一.中任取兩個(gè)球。球放入乙袋，再?gòu)囊掖稳∫粋€(gè)個(gè)紅球?，F(xiàn)先從甲袋中個(gè)白球中乙袋個(gè)紅球個(gè)白球已知甲袋中有引例33;24.的概率分布。從乙袋取出的白球數(shù)條件下發(fā)生的考慮在“從甲袋取出白球”設(shè)YAA,:,71)0(:2723CCAYP解,74)1(271314CCCAYP.72)2(2724CCAYP:,)()(:,則有的條件分布函數(shù)的條件下發(fā)生為在若記進(jìn)一步Y(jié)AAyYPAyF2, 121,7510,710, 0)(y

16、yyyAyF.,)()(,布函數(shù)的條件分發(fā)生的條件下為在已知事件稱對(duì)任意實(shí)數(shù)事件是一個(gè)隨機(jī)是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)一般地XAAxXPAxFxAX1.(80.3.5)0,1,:1,21().2PXUXXF x X例教材例設(shè)求在已知的條件下的條件分布函數(shù))21()21(:XxXPXxF解)21()21,(XPXxXP,1, 110,0, 0)(,1, 0 xxxxxFUX故由于;21)21(:121dxXP從而上式分母, 0)21,(,21:XxXPx時(shí)當(dāng)對(duì)于分子)21()21,(,21xXPXxXPx時(shí)當(dāng)21)()21()(xFFxF.1,211121,21xxx,1,21121,2121, 0)21,

17、(xxxxXxXP)21()21,()21(,XPXxXPXxF從而,1,121,21,02121212121xxxx.1, 1121, 1221, 0:xxxx即:,:),(),(,有對(duì)于事件的分布函數(shù)若已知一般地yYAyxFYX)()()(yYxXPyYxFAxF;)(),()(),(yFyxFyYPyYxXPY.)(),()(:,xFyxFxXyFX有類似地);()(),(yYxFyFyxFY).()(),(:xXyFxFyxFX或).()()(:BPAPABPBA相互獨(dú)立與事件在第一章已知:,有時(shí)當(dāng)事件yYBxXA).()(),(yYPxXPyYxXPyYxX相互獨(dú)立與事件.).()(

18、),(:相互獨(dú)立與則稱隨機(jī)變量即YXyFxFyxFYX:由此得到).()(),(:,),(6 . 32yFxFyxFRyxYXYX有對(duì)任意相互獨(dú)立與隨機(jī)變量定義, .XYXYP XA YBP XA P YB定理3.1 隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立所生成的任何事件與所生成的任何事件獨(dú)立.即,對(duì)任何實(shí)數(shù)集A,B,有 .)()(),(:).4arctan2(1)(),2arctan2(1)(),4arctan2)(2arctan2(1),(:),(,12相互獨(dú)立與有已知對(duì)于中如在第一節(jié)例YXyFxFyxFyyFxxFyxyxFYXYXYX.)()(),()(,2 . 32121也相互獨(dú)立與隨機(jī)變量與則對(duì)任

19、意函數(shù)相互獨(dú)立與如果隨機(jī)變量定理YgXgygxgYX獨(dú)立性概率分布與離散型隨機(jī)變量的條件二.3.73.6.定義定義推廣到多個(gè)隨機(jī)變量稱時(shí)當(dāng),0)() 1 (YjjpyYPYjijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(),()(;,.), 2 , 1( ,:的概率分布的條件下為在已知記作XyYipppjYjijji.), 2 , 1,( ,),(:,),(. 1jipyYxXPYXijji且已知離散型隨機(jī)向量設(shè)定義., 的概率分布的條件下為在已知YxXi.)., 2 , 1( ,0.);, 2 , 1( ,0:)2() 1 (jppppippppijXiijXijiYjijYj時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)可推

20、出與由.), 2 , 1( ,)(jpppxXyYPXiijijij稱時(shí)當(dāng)（,0)()2XiipxXP:),(. 2的概率分布為已知例YXXYXip321322142182121312112142120Yjp2152112214.,2)2(;,0) 1 ( :的概率分布的條件下在已知的概率分布的條件下在已知求XYYX;71)02(,74)01(,72)00() 1 ( :312113121431212XYPXYPXYP解.54)20(,51)20()2(215214215211YXPYXP3.3(, ):(,),( ,1,2,.), ,.89.ijijXYijijX YP Xx Yypi jX

21、Yi jpppP定理已知的概率分布為則與 相互獨(dú)立對(duì)任意有證明見.,214,31,212)0, 0(,211111111不獨(dú)立與從而而中如例YXpppppYXPpYXYX:),(. 3的概率分布為已知例YXXY0 1 0.12 0.18 0.28 0.42.是否相互獨(dú)立與試判定YX.,:, 2 , 1,. 6 . 0, 4 . 0; 7 . 0, 3 . 0:2121相互獨(dú)立與從而有對(duì)任意顯然解YXpppjippppYjXiijYYXX三. 延續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性;,)(),()(, 0)(,) 1 (),(),(. 1的條件密度函數(shù)已知的條件下為在則稱如果對(duì)給定的已知定義XyYyf

22、yxfyxfyfyyxfYXYYXY.,)(),()(, 0)(,)2(的條件密度函數(shù)已知的條件下為在則稱如果對(duì)給定的YxXxfyxfxyfxfxXXYX).()(:,2),(),(. 522yxfxyfyyxyxGYXYXXY與求上的均勻分布服從設(shè)例, 02,1),(:22其它由條件知解yyxyxf,121)(,12111122xdyxfxxxX時(shí)故當(dāng). 0)(0),(,1xfyxfxX由時(shí)而當(dāng), 012)(,12xxfxX時(shí)當(dāng),121)(,21212xxyfxXY此時(shí))1111 (22xyx., 01111,121)(,1:222其它時(shí)當(dāng)即xyxxxyfxXY, 022)(,202yyyf

23、yY時(shí)當(dāng),221)(,22212yyyxfyyYX此時(shí)).2(2yyx. 0)(0),(,20yfyxfyyY由時(shí)或而當(dāng),221)(,2022222yydxyfyyyyyY時(shí)當(dāng),20:時(shí)當(dāng)即 y., 02,221)(22其它yyxyyyxfYX|1133( , )12( |)22312( )02Y XXfyyfyf其它222|111( , )( | )2 1( )0X YYxyxf x yfx yyfy其它).()(:, 010,8),(),(. 6yxfxyfyxxyyxfYXYXXY與求其它設(shè)例xy011Dy=x:,10),(:的圖形如右圖所示則令解DyxyxD),1 (48)(.1021

24、xxxydyxfxxX時(shí)當(dāng). 0)(0),(,10 xfyxfxxX由時(shí)或而當(dāng). 0)1 (4)(102xxxfxX時(shí)故當(dāng)).1( ,12)1 (48)(,22yxxyxxxyxyfXY此時(shí),48)(,1030yxydxyfyyY時(shí)當(dāng). 0)(0),(,10yfyxfyyY由時(shí)或而當(dāng), 04)(,103此時(shí)時(shí)故當(dāng)yyfyY:).0( ,248)(23即yxyxyxyyxfYX., 00,2)(,102其它時(shí)當(dāng)yxyxyxfyYX., 01,12)(,10:2其它時(shí)當(dāng)即yxxyxyfxXY).()(),(:,),(),(),(4 . 3. 22yfxfyxfRyxYXyxfYXYX都有對(duì)任意相互

25、獨(dú)立與則設(shè)定理.),()(),(,),(, 010,3)(, 020,2)(, 010 , 20,23),(),(. 7222相互獨(dú)立與從而都有對(duì)任意其它其它其它設(shè)例YXyfxfyxfRyxyyyfxxxfyxxyyxfYXYXYX.) 1 () 1 () 1, 1 (, 4) 1 (, 0) 1 (, 8) 1, 1 (:) 1, 1 (., 010,4)(, 010),1 (4)(, 010,8),(,632不獨(dú)立與有對(duì)于點(diǎn)其它其它其它中又如例YXffffffyyyfxxxxfyxxyyxfYXYXYX其他, 00, 0,),()(yxeyxpyx0, 00,),()(0)(xxedyed

26、yyxpxpxyxX0, 00,),()(0)(yyedxedxyxpypyyxY例例: :設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)(X,Y)的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨(dú)立.解解于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互獨(dú)立.解解 (1)X與與Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為 1 010( ),( )000 xXYyexfxfyx其它由于X與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)的結(jié)合密度函數(shù)0,01( , )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它111100(1)( , )xxx yP XYf x y dxdydxe dye 解解 (2)由于由于 0,01( ,

27、 )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它所以證證 關(guān)于關(guān)于X與與Y的邊緣密度函數(shù)分別為的邊緣密度函數(shù)分別為 2111()211( ),2xXfxex 2221()221( ),2yYfyey 那么X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是( , )( )( )XYf x yfxfy 即0 P94 1,5,13 3.3 隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望一.離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布.,),(,),(,),(也是一個(gè)隨機(jī)變量的二元函數(shù)作為則為一個(gè)二元函數(shù)向量為一個(gè)二維離散型隨機(jī)設(shè)YXYXgZyxgYX)., 2 , 1( ,),()(:.), 2 , 1( ,),(:.), 2 , 1,( ,),

28、(:),(kpzYXgPzZPZkYXgZzjipyYxXPkjizyxgijkkkijji的概率分布為則的所有可能取值為記若已知.(89.3.12)(, ):PX Y例 教材例已知的概率分布為XY2010 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.12 0.15 0 0.1.,),(,),(:21的概率分布與分別求XYYXgYXYXg(90):P利用“表上作業(yè)法”參見教材可分別求出43101 YXP0.1 0.5 0.2 0.1 0.1XY42012 P0.15 0.3 0.35 0.1 0.1 12122.(91.3.13),(),().:().PXYXPYPXYP例教材例設(shè)隨機(jī)變量

29、與相互獨(dú)立 且證明:思路,!)()(:)(2121ekkYXPk證明.), 2 , 1 , 0(k:,),(,:從而有的邊緣概率分布的乘積和等于的概率分布故相互獨(dú)立與由于證明YXYXYX),()(0kiikYiXPkYXP)()(0kiikYPiXP)!( )!(21201eikeiikkii(*)!( !021)(21kiikiikiekiikiikiekYXP021)()!( !)(:(*)21式即為從而.!)()(2121ekk).(:21PYX即證明了.證畢的分布連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)二.:,),(),(),(),(的分布函數(shù)為則的二元函數(shù)與為隨機(jī)變量對(duì)于二元函數(shù)設(shè)ZYXYXgZyxgy

30、xfYX,),(),()()(zDZdxdyyxfzYXgPzZPzF).(),(),(RzzyxgyxDz其中:( )( ).ZZZfzFz而 的密度函數(shù)為).()(:).3(),2(,. 3zfzFYXZeYeXYXZZ和密度函數(shù)函數(shù)的分布求且已知相互獨(dú)立與設(shè)隨機(jī)變量例)0, 0(,32)()(),(),(:32yxeeyfxfyxfYXyxYX由條件知解則令對(duì)任意,),(:,zyxyxDzz.),()()()(zDZdxdyyxfzYXPzZPzF; 0)(0),(,0zFyxfzZ由時(shí)當(dāng)dyeedxzFzxzyxzZ032032)(,0時(shí)當(dāng)x+y=z(0)x0y.23132zzee,0

31、,2310, 0)(32zeezzFzzZ.0),(60, 0)(32zeezzfzzZ從而).()(:,),(),(:zfzFYXZyxfYXZZ與求對(duì)于設(shè)關(guān)于“卷積公式”xy0zyxzyx)()()() 1.(1zYXPzZPzFZzDdxdyyxf),(),(zyxyxDzxzdyyxfdx),(則令作變量替換,:xuyxzZdyyxfdxzF),()(zduxuxfdx),(dudxxuxfz),( .),()()(dxxzxfzFzfZZ或由yzZdxyxfdyzYXPzZPzF),()()()()2():(yux令udyyufdyz),(dudyyyufz ),(dyyyzfzFz

32、fZZ),()()(:,)2() 1 (),()(),(,. 2可推出的結(jié)果和從而由則相互獨(dú)立與如果yfxfyxfYXYXdxxzxfzfZ),()() 1 (;)()(dxxzfxfYXydyyzfzfZ),()()2(.)()(ydyfyzfYX:以上兩式稱為“卷積公式”,記為23()03303:0,( )2366(1).zxz xZzzxzzzfzeedxee dxee如例 中 當(dāng)時(shí)解解: 由于由于X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 222()2411( )( )(),222xz xzZXYfzfx fzx dxedxez 顯然ZN(0,2). ),(),(,222211NYNXYX且相互獨(dú)立與若

33、隨機(jī)變量).,(222121NYX則.,:),(,2222122212babaNZbYaXZbaRba其中則令不全為零對(duì)任意更一般地:,有以下結(jié)論情況推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的.,:),(,), 2 , 1(),(,222222212122211222112121221nnnnnnnniiinaaaaaaNXaXaXaZaaaRaaaniNXXXX其中不全為零且對(duì)任意且相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量定理闡明：相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變定理闡明：相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合也服從正態(tài)分布量的線性組合也服從正態(tài)分布. 例例3.16 商的情況商的情況例：設(shè)二維隨機(jī)向量YXZ的密度函數(shù)為),(YX

34、),(yxf求的密度函數(shù)。解zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()( 00),(),(zyzydydxyxfdydxyxf于是Z的密度函數(shù)為dyyzyfydyyzyyfdyyzyyfzFzfZZ),(|),(),()()(00例例3.18 積的情況積的情況6.(93.3.17.),( ),( );( ),( ).PXYXF xf x YG xg x例教材例最大值與最小值設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立的分布函數(shù)為密度函數(shù)為的分布函數(shù)為密度函數(shù)為).(),()(),(,:,min,max:zfzfzFzFNMYXNYXMNMNM和密度函數(shù)的分布函數(shù)分別求令),()()(:zYzXPzMPzFM

35、解),()()()(zGzFzYPzXP)()()()()()(zGzFzGzFzFzfMM);()()()(zgzFzGzf)()()(zYzXPzNPzFN)()(1),(1zYPzXPzYzXP)(1)(1 1zYPzXP),(1)(1 1zGzF)()(zFzfNN)(1)()(1)(zFzgzGzf7. ( ),1000.,( )( ).XXenXFxfx 例 某型號(hào)電子管的壽命已知它的平均壽命為小時(shí)一個(gè)系統(tǒng)由 個(gè)該型號(hào)的電子管并聯(lián)而成 求該系統(tǒng)的壽命 的分布函數(shù)和密度函數(shù).0,10, 0)(:),(:100010001xexxFex為的分布函數(shù)故由條件可知解,)1 ()()()(,

36、010001nxniXexFxXPxFxi時(shí)當(dāng)0,)1 (10000, 0)(110001000 xeenxxfnxxX110001212, (),1,2, ,:max ,.iinnieinX 設(shè)表示第 個(gè)電子管的壽命 則并且相互獨(dú)立 而系統(tǒng)的壽命; 0)()(,0,xXPxFxX時(shí)當(dāng)從而期望隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)三.:)(:的期望的函數(shù)隨機(jī)變量復(fù)習(xí)XgX;)()(.), 2 , 1( ,)(:iiiiipxgXEgipxXP已知離散型dxxfxgXEgxfX)()()(),(:已知連續(xù)型:,也有類似的結(jié)果對(duì)于二維隨機(jī)向量).,(),(YXgYX的函數(shù)為設(shè)二維隨機(jī)向量則已知離散型.), 2 ,

37、1,(,),(:) 1 (jipyYxXPijji;),(),(ijjijipyxgYXEg則已知連續(xù)型),(),(:)2(yxfYX.),(),(),( dxdyyxfyxgYXEg.,:,),(,),(, 010,8),(),(. 821EWEZYXYXgWXYYXgZyxxyyxfYX求若其它設(shè)例1108)()(:xxydyxydxXYEEZ解110323)8(xyxdxxy011y=xdxxx)1 (383102;94)63(381063xx1108)()(xxydyyxdxYXEEWdxyyxxx13102)32(8dxxxx)383204(4102.34)343434(10253x

38、xx1例3.2數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì)四.則的期望都存在與設(shè)隨機(jī)變量,YX(1).(),();E XYE XYEXEY性質(zhì)存在 且).,(,)(,RbabEYaEXbYaXE其中一般地 證明證明(1)設(shè)離散型隨機(jī)向量設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的結(jié)合分布列和的結(jié)合分布列和邊沿分布列分別為邊沿分布列分別為PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j=1,2,那么111111)()(jiijjijijiijijjipbypaxpbyaxbYaXE)()(1.1.YbEXaEpybpxajjjiii(2)設(shè)延續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的結(jié)合概率密度

39、和邊沿概率密度分別為p(x,y)和pX(x), pY(y)那么 dxdyyxpbyaxbYaXE),()()( dxdyyxbypdxdyyxaxp),(),(dydxyxpbydxdyyxpax),(),()()()()(YbEXaEdyybypdxxaxpYX性質(zhì)性質(zhì)(2) :設(shè)設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,那么有那么有 E(XY)=E(X)E(Y)證明證明 (1)設(shè)離散型隨機(jī)向量設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的結(jié)合分布列和的結(jié)合分布列和邊沿分布列分別為邊沿分布列分別為PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j

40、=1,2,那么11.11)(ijjijiijijjippyxpyxXYE)()(1.1.YEXEpypxjjjiii(2)設(shè)延續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的結(jié)合概率密度和邊沿概率密度分別為p(x,y)和pX(x), pY(y)那么 dxdyyxxypXYE),()( dxdyypxxypYX)()(dyyypdxxxpYX)()()()(YEXE:,有的情況多個(gè)隨機(jī)變量將以上兩個(gè)性質(zhì)推廣到則的期望都存在設(shè)隨機(jī)變量.,21nXXX;,.1111niiniiniiEXXEXE并且也存在.,.211121niiniiniinEXXEXEXXX并且也存在則相互獨(dú)立如果10,.,2 , 1, 1, 0iiiX

41、i站有人下車在第站沒有人下車在第 例例:一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機(jī)位旅客自機(jī)場(chǎng)開出場(chǎng)開出,旅客有旅客有10個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車.如到如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車.以以X表示停車的次數(shù)表示停車的次數(shù),求求E(X). 解解:引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量易知X=X1+X2+X10任一旅客在第i站不下車的概率為9/10.因此20位旅客都不在第i站下車的概率為(9/10)20,在第i站有人下車的概率為1- (9/10)20.即PXi=0= (9/10)20, PXi=1= 1- (9/10)20所以E(Xi)= 1- (9/10)20, i=1

42、,2,10進(jìn)而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101- (9/10)20=8.784 注注:此題的特點(diǎn)是將此題的特點(diǎn)是將X分解為數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的和分解為數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的和,再求數(shù)學(xué)期望再求數(shù)學(xué)期望.此種方法具有普遍意義此種方法具有普遍意義.P103: 3,7,113.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征隨機(jī)向量的數(shù)字特征 對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自分開均值的偏離程度,它們對(duì)X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息. 但二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描畫了(X,Y)

43、的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個(gè)數(shù)字特征可以在一定程度上反映這種聯(lián)絡(luò).一. 協(xié)方差).)(),cov(:).,cov(:,)(.,),(7 . 3EYYEXXEYXYXYXEYYEXXEEYEXYX即記作的協(xié)方差與則稱之為也存在如果都存在與且是二維隨機(jī)向量設(shè)定義:),cov(),(的計(jì)算形式有以下求分別機(jī)向量對(duì)于離散型和連續(xù)型隨YXYX;)(),cov(:ijijjipEYyEXxYX離散型.),()(),cov(: dxdyyxfEYyEXxYX連續(xù)型.)(),cov(,2DXEXXEXXYX 時(shí)當(dāng)特別地:),(. 1的概率分布為已知例YXX3 4 0.4 0.32

44、0.2 0.1).,cov(:YX求Y, 3 . 13 . 027 . 01:EX解, 4 . 34 . 046 . 03EY02. 01 . 0)4 . 34()3 . 12(2 . 0)4 . 33()3 . 12(3 . 0)4 . 34()3 . 11 (4 . 0)4 . 33()3 . 11 (),cov(YX.)(),cov(:,EXEYXYEYX可以利用下式實(shí)際計(jì)算時(shí))(),cov(:EYYEXXEYX證明)(EXEYYEXXEYXYEEXEYEXEYEYEXXYE)(EXEYXYE)(.證畢.02. 04 . 33 . 14 . 4),cov(:, 4 . 3, 3 . 1,

45、 4 . 4)(:,1YXEYEXXYEXYZ從而又的概率分布求出可由中如例).,cov(:.10),(:,),(. 2YXyxyxGGYX求其中的均勻分布上服從區(qū)域設(shè)例xy110y=xGyxGyxyxf),(, 0),(, 2),(:顯然解,412)(110 xxydydxXYE, 010),1 (2)(其它又xxxfX, 010,2)(其它yyyfY,31)1 (210dxxxEX,322102dyyEY.361323141),cov(YX從而. 0)(),cov(:.)(,:EXEYXYEYXEXEYXYEYX此時(shí)可推出相互獨(dú)立時(shí)與當(dāng)由期望的進(jìn)一步性質(zhì)則為任意常數(shù)為隨機(jī)變量設(shè)協(xié)方差的性質(zhì)

46、定理,:5 . 321cbaXXYX;),cov() 1 (DXXX);,cov(),cov()2(XYYX);,cov(),cov()3(YXabbYaX; 0),cov()4(Xc).,cov(),cov(),cov()5(2121YXYXYXX 定理定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)證明證明 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X) 定理定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常數(shù)是常數(shù)證明證明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY) =Ea(X-E(X)b(Y-E(Y)

47、 =abEX-E(X)Y-E(Y) =abCov(X,Y) 定理定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)證明證明 Cov(X+Y,Z) =E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z) = E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z) = EX-E(X)Z-E(Z) +Y-E(Y)Z-E(Z) =EX-E(X)Z-E(Z) +EY-E(Y)Z-E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).,cov(2)(,.YXDYDXYXDYXYX并且的方差也存在則其方差都存在為隨機(jī)變量設(shè)推論.)(,DYDXYXDYX則相互獨(dú)立與如果顯然).,cov(2)(,22YXabDYbDXabYaX

48、Dba對(duì)任意常數(shù)更一般地?)(,bYaXDYX則相互獨(dú)立與如果 定理定理:設(shè)設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,那么那么有有D(X+Y)=D(X)+D(Y)證明證明 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E (X-E(X)+(Y-E(Y)2 = E X-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X) Y-E(Y) 由于X,Y相互獨(dú)立,知X-E(X)與Y-E(Y)也相互獨(dú)立,從而有2EX-E(X) Y-E(Y)=2EX-E(X)E Y-E(Y)=0. 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y):),(:.,0),cov(:的概率分布為已知例如相互獨(dú)立與推出不一定可時(shí)

49、當(dāng)需要注意的是YXYXYXXY1010 0.3 0 0.31 0.1 0.2 0.1, 0),cov(, 0)(, 0, 4 . 0YXXYEEYEX則, 3 . 0) 1, 0(:YXPYX不獨(dú)立與但, 4 . 0) 1(, 6 . 0)0(YPXP而).1()0() 1, 0(YPXPYXP).,cov(2:,), 2 , 1( ,),(6 . 3112112121jijnjiiniiiniiiniiininXXaaDXaXaDDYXaYaaaniDXXXXn并且有的方差存在隨機(jī)變量則對(duì)任意實(shí)數(shù)都存在其中維隨機(jī)向量設(shè)定理12211,.nnniiiiiiXXXDYDa Xa DX特別地 如果

50、兩兩獨(dú)立 則協(xié)方差矩陣二.:.,)( :,), 2 , 1,(),cov()., 2 , 1( ,),(8 . 321VXDXnnjiXXniDXnXXXXnnijjiijin或記作簡(jiǎn)稱為協(xié)差陣的協(xié)方差矩陣稱為階矩陣的構(gòu)成為元?jiǎng)t以都存在且隨機(jī)向量維是一個(gè)設(shè)定義),cov(),cov(),cov(),cov(:),(,YYXYYXXXVYX其協(xié)差陣為對(duì)于二維隨機(jī)向量特別地DYYXYXDX),cov(),cov(.,階實(shí)對(duì)稱矩陣為顯然nXD:.DX可以證明為非負(fù)定矩陣 協(xié)方差的數(shù)值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯(lián)絡(luò),但它受X與Y本身數(shù)值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時(shí)X*與Y*間的相

51、互聯(lián)絡(luò)和X與Y的相互聯(lián)絡(luò)應(yīng)該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y) 為了抑制這一缺陷,在計(jì)算X與Y的協(xié)方差之前,先對(duì)X與Y進(jìn)展規(guī)范化:)()()()(YDYEYYXDXEXX 再來(lái)計(jì)算X*和Y*的協(xié)方差，這樣就引進(jìn)了相關(guān)系數(shù)的概念.3. 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù). 1, 0:,*DXEXX有對(duì)于);1 , 0(),(:*2NXXNX則若例如.;),(:*等等則又如npqnpXXpnbX)(),cov(:*EYYEXXEYXYX與對(duì)于隨機(jī)變量)()(*DYEYYDXEXXEYXE.),cov(DYDXYX.),cov(),cov(:,)0(),0(,),(9 . 3*,的相關(guān)系數(shù)與為則

52、稱都存在且為一個(gè)二維隨機(jī)向量設(shè)定義YXDYDXYXYXDYDXYXYX. 1:,YX可以證明或規(guī)范協(xié)方差.,7.(108.3.24),( ,0).:.X YPXYYaXb a baDX例教材例設(shè) 與 是兩個(gè)隨機(jī)變量 且均為常數(shù) 且若存在且大于零求:由協(xié)方差的性質(zhì)解),cov(),cov(baXXYX),cov(),cov(bXaXX),cov(XXa.)(2DXabaXDDY;aDX.),cov(2,aaDXaDXaDXDYDXYXYX. 1,0; 1,0:,YXYXaa時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)由此可知. 1,YXYX關(guān)系時(shí)之間具有線性函數(shù)與當(dāng)隨機(jī)變量YXYXYXYX與即不相關(guān)與稱隨機(jī)變量此時(shí)完全相反的情況是

53、與, 0:1,) !:.(之間沒有任何關(guān)系與相互獨(dú)立是指與注意系之間不具有線性函數(shù)關(guān)YXYX., 0;, 1,之間的線性關(guān)系越弱與表明則的值越接近于反之線性關(guān)系越強(qiáng)之間的與表明的值越接近一般地YXYXYXYX 性質(zhì)性質(zhì)1:隨機(jī)變量隨機(jī)變量X和和Y的相關(guān)系數(shù)滿足的相關(guān)系數(shù)滿足|XY|1.證明證明 令令)()()()(YDYEYYXDXEXX那么)()()()(22YDXDYEYXEXEXY從而|XY|1.22*)*()()()()(YXEYDYEYXDXEXE1)*()*(22YEXE相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)2: |XY|=1 的充要條件是,存在常數(shù)a,b使得PY=aX+b=10)()

54、(),(YDXDYXCovXY 性質(zhì)性質(zhì)3:假設(shè)假設(shè)X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,那么那么XY=0.證明證明 假設(shè)假設(shè)X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,那么那么E(XY)=E(X)E(Y),又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以 定義定義:(1) 當(dāng)當(dāng)XY=1 時(shí)時(shí),稱稱X與與Y正線性相關(guān)正線性相關(guān); (2)當(dāng)當(dāng)XY=-1 時(shí)時(shí),稱稱X與與Y負(fù)線性相關(guān)負(fù)線性相關(guān); (3)當(dāng)當(dāng)XY=0時(shí)時(shí),稱稱X與與Y不相關(guān)不相關(guān). 注注:(1) X與與Y不相關(guān)不相關(guān),只是意味著只是意味著X與與Y不線性相關(guān)不線性相關(guān),但能夠存在著別的函數(shù)關(guān)系但能夠存在著別的函數(shù)關(guān)系;(2)假設(shè)假設(shè)XY存在存在,那么當(dāng)那

55、么當(dāng)X與與Y獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí), X與與Y一定一定不相關(guān)不相關(guān);但但X與與Y不相關(guān)時(shí)不相關(guān)時(shí), X與與Y不一定獨(dú)立不一定獨(dú)立. 例例:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量在在-,上服從均勻分布上服從均勻分布,又又X=sin, Y=cos試求試求X與與Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù).解解 這時(shí)有這時(shí)有0cos21)(0sin21)(xdxYExdxXE21cos21)(21sin21)(2222xdxYExdxXE0cossin21)(xdxxXYE這時(shí)有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即=0.從而X與Y不相關(guān),沒有線性關(guān)系;但是X與Y存在另一個(gè)函數(shù)關(guān)X2+Y2=1,從而X與Y是不獨(dú)立的.Y X-1010

56、0.070.180.1510.080.320.20解解 X與與Y的分布律分別為的分布律分別為 X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6()( 1) 1 0.08 1 1 0.200.12 E XY()( 1)0.151 0.350.20 E X( )1 0.60.6 E Y于是 (, )()()( )0.120.20 0.60Cov X YE XYE XE Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y解解 ()( , )E XYdxxy f x y dy()00001x yxydxxyedyxe dxye dy()( , )E Xdxx f x y dy()00001x

57、yxydxxedyxe dxe dy22()( , )E Xdxxf x y dy2()200002x yxydxx edyx e dxe dy( )( , )E Ydxy f x y dy()00001x yxydxyedye dxye dy22()( , )E Ydxyf x y dy2()200002x yxydxy edye dxy e dy那么 22()() ()3D XE XE X22( )() ( )3D YE YE Y于是 (, )()()( )1 1 10Cov X YE XYE XE Y (, )0()( )XYCov X YD XD Y定理定理: 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X與與Y

58、不相關(guān)與以下結(jié)論之一等價(jià)不相關(guān)與以下結(jié)論之一等價(jià). (, )0Cov X Y1.()()( )D XYD XD Y2.()()( )E XYE XE Y3.條件數(shù)學(xué)期望四.:,有特征方面反映在數(shù)字互聯(lián)系隨機(jī)變量之間取值的相)(10. 3條件期望定義.)., 2 , 1( ,)(:),() 1 (ipyYxXPYXjiji分布的條件概率已知離散型隨機(jī)向量并稱的條件數(shù)學(xué)期望存在的條件下在則稱存在如果.,jjiiiyYXpx.:)(下的條件數(shù)學(xué)期望的條件在為jjiiijyYXpxyYXE.:)(,望的條件下的條件數(shù)學(xué)期在為稱類似地iijjjixXYpyxXYE:.,)(, )(:),()2(并稱望存

59、在的條件下的條件數(shù)學(xué)期在則稱存在如果的條件密度已知連續(xù)型隨機(jī)向量yYXdxyxfxyxfYXYXYX.:)()(望的條件下的條件數(shù)學(xué)期在為yYXdxyxxfyYXEYX.:)()(:,望的條件下的條件數(shù)學(xué)期在為稱類似地xXYdyxyyfxXYEXY.,2)2(;,0) 1 (:的條件數(shù)學(xué)期望的條件下在的條件數(shù)學(xué)期望的條件下在分別求XYYX.(, ):X Y例已知的概率分布為XY21421821212112142120 0 1 2,71)02(31211XYP;76712741720)0(XYE,74)01(31214XYP,72)00(31212XYP:,0,31)0(:) 1 ( :的條件概

60、率分布為的條件下故在由條件知解YXXP.)2122:(EY比較:,2,215)2()2(的條件概率分布為的條件下故在由于XYYP,51)20(215211YXP,54)21(215214 YXP.54541510)2(YXE)32(EX而).()(:., 010,4)(, 010),1 (4)(, 010,8),(),(.1132xXYEyYXEyyyfxxxxfyxxyyxfYXYX與求其它其它其它設(shè)例,10:時(shí)當(dāng)由條件可求出解 y, 00,2)(2其它yxyxyxfYX, 01,12)(,102其它時(shí)當(dāng)yxxyxyfxXY;322)(,1020ydxyxxyYXEyy時(shí)當(dāng).)1 (3)1