現(xiàn)代光學(xué)傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)

1、會(huì)計(jì)學(xué)1現(xiàn)代光學(xué)傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)現(xiàn)代光學(xué)傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3.13.1光波的標(biāo)量衍射理論光波的標(biāo)量衍射理論3.1.13.1.1光衍射的數(shù)理基礎(chǔ)光衍射的數(shù)理基礎(chǔ)1. 1. 衍射概述衍射概述1818年，菲涅耳綜合惠更斯年，菲涅耳綜合惠更斯原理和干涉原理，認(rèn)為次級(jí)波源原理和干涉原理，認(rèn)為次級(jí)波源是彼此相干的，由此得到惠更斯是彼此相干的，由此得到惠更斯-菲涅耳原理：菲涅耳原理： 波前上任何一個(gè)未波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)，都可以看做一個(gè)次受阻擋的點(diǎn)，都可以看做一個(gè)次2. 2. 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程是討論基爾霍亥姆霍茲方程是討論基爾霍夫衍射積分定理的物理基礎(chǔ)。根夫衍射積分定理的物理基礎(chǔ)。根據(jù)據(jù)

2、1.1節(jié)的知識(shí)，光波場(chǎng)中節(jié)的知識(shí)，光波場(chǎng)中P點(diǎn)在點(diǎn)在t時(shí)刻的光振動(dòng)用復(fù)值標(biāo)量函數(shù)時(shí)刻的光振動(dòng)用復(fù)值標(biāo)量函數(shù)u(P,t)表示，對(duì)于單色光場(chǎng)，有表示，對(duì)于單色光場(chǎng)，有 式中式中: c為光在真空中的速度為光在真空中的速度; 為拉普拉斯算符。把式為拉普拉斯算符。把式(3.1-2)代代入式入式(3.1-3)，得到自由空間單色，得到自由空間單色光場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程為光場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程為3. 3. 格林定理格林定理格林定理是基爾霍夫衍射積格林定理是基爾霍夫衍射積分定理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。格林定理表分定理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。格林定理表述為設(shè)述為設(shè)V是封閉曲面是封閉曲面S所包圍的體所包圍的體積，積，P是空間任一點(diǎn)，是空間任一點(diǎn)，

3、U(P)和和3.1.23.1.2基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式1. 1. 基爾霍夫積分定理基爾霍夫積分定理為了應(yīng)用格林定理，取如圖為了應(yīng)用格林定理，取如圖3.1-2所示的積分面所示的積分面S，S包圍的體包圍的體積為積為V。令觀察點(diǎn)。令觀察點(diǎn)P在封閉曲面在封閉曲面S式中式中: r為為P與與P間的距離。由于間的距離。由于函數(shù)函數(shù)G(P)在在P點(diǎn)的值為無窮大，點(diǎn)的值為無窮大，因此為滿足格林定理的要求，把因此為滿足格林定理的要求，把P點(diǎn)從點(diǎn)從V內(nèi)去掉。為此，以內(nèi)去掉。為此，以P點(diǎn)為點(diǎn)為中心，以中心，以為半徑做小球面為半徑做小球面S，這，這在在V中中,G和和U都滿足亥姆霍茲方都滿足亥姆霍茲方程程于是式

4、于是式(3.1-7)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為在在S面上，面上，n與與r處處反向，處處反向，有有令令0，則有，則有式中式中: 為為S面對(duì)面對(duì)P點(diǎn)所張開的立點(diǎn)所張開的立體角。將式體角。將式(3.1-10)代入式代入式(3.1-8)得得2. 2. 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式現(xiàn)在討論無限大不透明屏幕現(xiàn)在討論無限大不透明屏幕上透光孔所引起的衍射問題。衍上透光孔所引起的衍射問題。衍射裝置如圖射裝置如圖3.1-3所示，從點(diǎn)源所示，從點(diǎn)源P0為了應(yīng)用基爾霍夫積分定理為了應(yīng)用基爾霍夫積分定理求求P點(diǎn)的復(fù)振幅，選擇包圍點(diǎn)的復(fù)振幅，選擇包圍P點(diǎn)閉點(diǎn)閉合曲面合曲面S由三部分組成：由三部分組成： 開孔開孔部分部分S； 屏幕后

5、表面部分面屏幕后表面部分面積積S1； 以以P點(diǎn)為中心，半徑為點(diǎn)為中心，半徑為1) 索末菲輻射條件和索末菲輻射條件和SR上的上的積分積分對(duì)于對(duì)于SR面上的積分，由于基面上的積分，由于基爾霍夫積分定理中積分面的選擇爾霍夫積分定理中積分面的選擇的任意性，可以假定的任意性，可以假定R， 則則SR為趨于無限大的半球殼?？紤]為趨于無限大的半球殼?？紤]因此因此式中式中: 為為SR對(duì)對(duì)P點(diǎn)所張開的立體點(diǎn)所張開的立體角。因?yàn)榻?。因?yàn)閨eikR|在在SR上有界，所上有界，所以只要滿足條件以只要滿足條件索末菲輻射條件在有限大小索末菲輻射條件在有限大小光源照明的條件下都能滿足。簡(jiǎn)光源照明的條件下都能滿足。簡(jiǎn)單證明如下

6、：?jiǎn)巫C明如下： 首先設(shè)照明光源為首先設(shè)照明光源為2) 基爾霍夫邊界條件及其衍基爾霍夫邊界條件及其衍射公式射公式在忽略了在忽略了SR面上的積分之后，面上的積分之后，要求解要求解P點(diǎn)的復(fù)振幅，仍需要知點(diǎn)的復(fù)振幅，仍需要知道道S和和S1上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布U以及。為此基爾霍夫提以及。為此基爾霍夫提應(yīng)用基爾霍夫邊界條件，式應(yīng)用基爾霍夫邊界條件，式(3.1-12)可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為將以上各式代入式將以上各式代入式(3.1-17)，整理，整理后得后得對(duì)于近軸點(diǎn)光源照明近軸衍對(duì)于近軸點(diǎn)光源照明近軸衍射孔的情況，射孔的情況，n和和r0的夾角很小，的夾角很小，在在S面上各點(diǎn)都近似有面上各點(diǎn)都近似有

7、cos(n,r0)3. 3. 巴比涅原理巴比涅原理設(shè)有一個(gè)衍射屏，衍射孔為設(shè)有一個(gè)衍射屏，衍射孔為0，在衍射場(chǎng)中，在衍射場(chǎng)中P點(diǎn)產(chǎn)生確定的點(diǎn)產(chǎn)生確定的對(duì)于上述衍射屏，應(yīng)用基爾對(duì)于上述衍射屏，應(yīng)用基爾霍夫衍射公式可得霍夫衍射公式可得巴比涅原理在研究光的夫瑯巴比涅原理在研究光的夫瑯和費(fèi)衍射中非常有用，和費(fèi)衍射中非常有用，比如用平行光照明衍射屏，并在比如用平行光照明衍射屏，并在透鏡的焦平面上觀察衍透鏡的焦平面上觀察衍射光分布射光分布,只要只要0足夠大，則除了足夠大，則除了焦點(diǎn)之外，其余部分有焦點(diǎn)之外，其余部分有3.1.3瑞利瑞利-索末菲衍射公式索末菲衍射公式索末菲通過巧妙地選擇格林索末菲通過巧妙地選

8、擇格林函數(shù)函數(shù)G，排除了邊界條件中對(duì)，排除了邊界條件中對(duì)U和同時(shí)規(guī)定為零的要和同時(shí)規(guī)定為零的要索末菲選擇的格林函數(shù)為索末菲選擇的格林函數(shù)為 式式(3.1-25)和式和式(3.1-26)均由兩項(xiàng)組均由兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)仍為中心在觀察點(diǎn)成，第一項(xiàng)仍為中心在觀察點(diǎn)P的單位球面波函數(shù)，第二項(xiàng)為中的單位球面波函數(shù)，第二項(xiàng)為中對(duì)于式對(duì)于式(3.1-25)表示的格林函表示的格林函數(shù)有數(shù)有考慮到考慮到P和和P的鏡像關(guān)系，的鏡像關(guān)系，在整個(gè)衍射屏面上，恒有在整個(gè)衍射屏面上，恒有r=r，cos(n,r)=cos(n,r)，這些結(jié)論，這些結(jié)論把式把式(3.1-28)代入式代入式(3.1-24)得得可以看出，由于格林函

9、數(shù)可以看出，由于格林函數(shù)G-的正的正確選擇，使積分式中只包含復(fù)振確選擇，使積分式中只包含復(fù)振幅幅U，不包含因此只，不包含因此只需對(duì)需對(duì)U應(yīng)用基爾霍夫邊界條件就應(yīng)用基爾霍夫邊界條件就夠了，即假定夠了，即假定:(1) 在透光孔面在透光孔面上，光場(chǎng)復(fù)上，光場(chǎng)復(fù)(3.1-30) 采用與基爾霍夫衍射公式相采用與基爾霍夫衍射公式相同的討論方法，令衍射孔由來自同的討論方法，令衍射孔由來自P0點(diǎn)的發(fā)散球面波照明，則有點(diǎn)的發(fā)散球面波照明，則有3.1.43.1.4非單色光的衍射非單色光的衍射1. 1. 復(fù)色光波的衍射公式復(fù)色光波的衍射公式設(shè)不透明衍射屏上有通光孔設(shè)不透明衍射屏上有通光孔，用復(fù)色光照明，用復(fù)色光照明

10、,復(fù)色光場(chǎng)用空復(fù)色光場(chǎng)用空間和時(shí)間變量的復(fù)值函數(shù)間和時(shí)間變量的復(fù)值函數(shù)u(P1，t)表示，現(xiàn)求解在孔后的衍射場(chǎng)中表示，現(xiàn)求解在孔后的衍射場(chǎng)中觀察點(diǎn)觀察點(diǎn)P處的光擾動(dòng)處的光擾動(dòng)uP，t。采。采式中式中: U(P1，)和和U(P，)分別為分別為u(P1，t)和和u(P，t)的時(shí)間頻譜函的時(shí)間頻譜函數(shù)數(shù); 為光波時(shí)間頻率。為了遵循為光波時(shí)間頻率。為了遵循我們前面的約定，我們前面的約定， 即用即用ei2t表表示頻率為示頻率為的單位振幅的平面波，的單位振幅的平面波，對(duì)每一種單色光成分，由單色光對(duì)每一種單色光成分，由單色光衍射公式有衍射公式有 對(duì)式對(duì)式(3.1-34)求時(shí)間求時(shí)間t的微商有的微商有同理有同

11、理有2. 2. 準(zhǔn)單色光波的衍射公式準(zhǔn)單色光波的衍射公式實(shí)際光源都不是理想的單色實(shí)際光源都不是理想的單色光源，發(fā)出的光波都有一定的線光源，發(fā)出的光波都有一定的線寬。如果光源的線寬比光波的平寬。如果光源的線寬比光波的平均頻率小得多，均頻率小得多， 滿足滿足光源發(fā)出的光波稱為準(zhǔn)單色光。光源發(fā)出的光波稱為準(zhǔn)單色光。再利用式再利用式(3.1-34)得到得到式中：式中： U(P1,t)和和U(P,t)分別表示分別表示P1點(diǎn)和點(diǎn)和P點(diǎn)處準(zhǔn)單色光的復(fù)振幅，點(diǎn)處準(zhǔn)單色光的復(fù)振幅，它們都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它們都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。3.23.2衍射問題的頻率域分析衍射問題的頻率域分析3.2.13.2.1

12、頻譜的傳播效應(yīng)頻譜的傳播效應(yīng)式中式中: (x,y,z)和和(x1,y1,z1)分別表示分別表示衍射場(chǎng)中衍射場(chǎng)中P點(diǎn)和衍射屏上點(diǎn)和衍射屏上P1點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)。利用二維傅里葉逆變換將坐標(biāo)。利用二維傅里葉逆變換將U(x1,y1, z1)和和U(x,y,z)展開為展開為式中式中: A(1,1)和和Az(,)分別為分別為U(x1,y1,z1)和和U(x,y,z)的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。所以衍射問題既可以看成是空域所以衍射問題既可以看成是空域中復(fù)振幅中復(fù)振幅U(x1,y1,z1)到到U(x,y,z)的的傳播，也可以看成是頻率域中頻傳播，也可以看成是頻率域中頻譜分布譜分布A(1,1)到到Az(,)的傳播。的傳

13、播。(3.2-4) 因此應(yīng)有因此應(yīng)有由式由式(3.2-5)可以得到如下坐標(biāo)變可以得到如下坐標(biāo)變量的微分方程量的微分方程:分析式分析式(3.2-7)，可以看出頻，可以看出頻譜傳播的物理意義：譜傳播的物理意義：(1) 當(dāng)當(dāng)()2+()21時(shí)時(shí), 1()2()21/2為虛數(shù)。令為虛數(shù)。令把式把式(3.2-7)代入式代入式(3.2-3)，得到衍射屏面上頻譜表示的空間得到衍射屏面上頻譜表示的空間復(fù)振幅表達(dá)式為復(fù)振幅表達(dá)式為3.2.23.2.2衍射過程的頻譜分析衍射過程的頻譜分析1. 1. 衍射孔對(duì)光波頻率的影衍射孔對(duì)光波頻率的影響響 設(shè)衍射屏的振幅透射系數(shù)為設(shè)衍射屏的振幅透射系數(shù)為t(x1,y1)，照明

14、光波入射在衍射屏，照明光波入射在衍射屏面上的復(fù)振幅為面上的復(fù)振幅為U1(x1,y1)， 出射出射 (3.2-11)式中式中: A、A1和和T分別為分別為U、U1和和t的頻譜函數(shù)。在單位振幅的單的頻譜函數(shù)。在單位振幅的單色平行光波垂直入射照明的情況色平行光波垂直入射照明的情況2. 2. 光波傳播過程的光波傳播過程的“系統(tǒng)系統(tǒng)”分析分析光波傳播過程的傳遞函數(shù)可光波傳播過程的傳遞函數(shù)可由式由式(3.2-7)直接求得直接求得 3.33.3基爾霍夫衍射公式的近似基爾霍夫衍射公式的近似3.3.13.3.1基爾霍夫衍射公式的近基爾霍夫衍射公式的近似處理方法似處理方法1. 1. 衍射分區(qū)衍射分區(qū)2. 2. 菲

15、涅耳近似及夫瑯和費(fèi)菲涅耳近似及夫瑯和費(fèi)近似近似由衍射分區(qū)的討論可知，不由衍射分區(qū)的討論可知，不同的衍射區(qū)，衍射花樣的主要特同的衍射區(qū)，衍射花樣的主要特征不同，以下討論不同衍射區(qū)相征不同，以下討論不同衍射區(qū)相應(yīng)光場(chǎng)分布的數(shù)學(xué)描述方法。應(yīng)光場(chǎng)分布的數(shù)學(xué)描述方法。首先假設(shè)滿足近軸條件：首先假設(shè)滿足近軸條件： 光光源、衍射孔源、衍射孔和和(x,y,z)面上觀察范面上觀察范圍都分布在圍都分布在z軸附近；軸附近； 并且光源并且光源的線度和衍射孔的線度遠(yuǎn)小于它的線度和衍射孔的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離，衍射孔的線度和們之間的距離，衍射孔的線度和觀察范圍的線度遠(yuǎn)小于它們之間觀察范圍的線度遠(yuǎn)小于它們之間(3.3-

16、2)式中式中: r=z2+(xx1)2+(yy1)2若滿足菲涅耳近似條件：若滿足菲涅耳近似條件：得到近似式得到近似式此近似式稱為菲涅耳近似。把式把式(3.3-4)代入式代入式(3.3-2)，得到菲涅耳衍射公式得到菲涅耳衍射公式如果對(duì)衍射孔如果對(duì)衍射孔作更嚴(yán)格的作更嚴(yán)格的限制，使其滿足夫瑯和費(fèi)近似條限制，使其滿足夫瑯和費(fèi)近似條件件可進(jìn)一步得到近似式可進(jìn)一步得到近似式(3.3-7)3.3.23.3.2菲涅耳及夫瑯和費(fèi)衍射菲涅耳及夫瑯和費(fèi)衍射的的“系統(tǒng)系統(tǒng)”分析分析1. 1. 菲涅耳衍射的菲涅耳衍射的“系統(tǒng)系統(tǒng)”分析分析菲涅耳衍射公式，即式菲涅耳衍射公式，即式(3.3-由于輸出由于輸出U(x,y)是

17、輸入是輸入U(xiǎn)(x1,y1)的疊加積分，因此菲涅的疊加積分，因此菲涅耳衍射系統(tǒng)具有線性空不變的性耳衍射系統(tǒng)具有線性空不變的性質(zhì)，而式質(zhì)，而式(3.3-9)中中h(xx1,yy1)=就是系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。根據(jù)線就是系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。根據(jù)線應(yīng)用卷積定理有應(yīng)用卷積定理有(3.3-11)此外，菲涅耳衍射公式還可此外，菲涅耳衍射公式還可以寫成傅里葉變換形式以寫成傅里葉變換形式可見，除了與可見，除了與(x1,y1)無關(guān)的無關(guān)的振幅和相位因子外，菲涅耳衍射振幅和相位因子外，菲涅耳衍射可以看做函數(shù)可以看做函數(shù)U(x1,y1)的傅里葉變換。的傅里葉變換。2. 2. 夫瑯和費(fèi)衍射的夫瑯和費(fèi)衍射的“系統(tǒng)系統(tǒng)”分析分析

18、與式與式(3.3-12)相似，夫瑯和費(fèi)相似，夫瑯和費(fèi)衍射公式可改寫為衍射公式可改寫為3.3.33.3.3夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)例夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)例1. 1. 矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射如圖如圖3.3-3所示，衍射孔的寬、所示，衍射孔的寬、長分別為長分別為a和和b，求離孔距離為，求離孔距離為z代入式代入式(3.3-13)得得衍射強(qiáng)度分布為衍射強(qiáng)度分布為(3.3-16)2. 2. 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射 設(shè)衍射孔的半徑為設(shè)衍射孔的半徑為R，如圖，如圖3.3-5所示所示,則衍射屏后表面上的復(fù)則衍射屏后表面上的復(fù)代入式代入式(3.3-13)得得光強(qiáng)分布為光強(qiáng)分布為(3.3-19)由表由表

19、3.3-1按第一級(jí)極小值點(diǎn)按第一級(jí)極小值點(diǎn)得到愛里斑的半徑為得到愛里斑的半徑為3. 3. 正弦振幅光柵的夫瑯和正弦振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射費(fèi)衍射一般來說，衍射屏的振幅透一般來說，衍射屏的振幅透這里討論正弦振幅光柵的夫這里討論正弦振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射，其振幅透射系數(shù)為瑯和費(fèi)衍射，其振幅透射系數(shù)為(3.3-22)注意到依賴于變量注意到依賴于變量x的三個(gè)的三個(gè)sinc函函數(shù)中央寬度均為數(shù)中央寬度均為2z/l，而其相鄰，而其相鄰的間隔為的間隔為0z。當(dāng)。當(dāng)0z2z/l 時(shí)，時(shí)，即光柵總條即光柵總條(縫縫)數(shù)數(shù)N=0l2，三，三個(gè)個(gè)sinc函數(shù)之間的交疊可以忽略函數(shù)之間的交疊可以忽略由此得到的正弦型振幅

20、光柵由此得到的正弦型振幅光柵若用多色平面波垂直入射照若用多色平面波垂直入射照明，所有波長的夫瑯和費(fèi)明，所有波長的夫瑯和費(fèi)0級(jí)衍級(jí)衍射極大值都位于射極大值都位于x=0處，而由正處，而由正1級(jí)衍射極大值位置方程級(jí)衍射極大值位置方程x0z=0可求得可求得1級(jí)衍射譜線的色散為級(jí)衍射譜線的色散為領(lǐng)正比于光柵的總條領(lǐng)正比于光柵的總條(縫縫)數(shù)。數(shù)。4. 4. 正弦相位光柵的夫瑯和正弦相位光柵的夫瑯和費(fèi)衍射費(fèi)衍射若衍射屏只對(duì)入射光波的相若衍射屏只對(duì)入射光波的相位起調(diào)制作用，不影響其振幅分位起調(diào)制作用，不影響其振幅分有有代入式代入式(3.3-13)得到得到沿沿x軸的光強(qiáng)分布為軸的光強(qiáng)分布為(3.3-29)由式

21、由式(3.3-29)可知，正弦相位可知，正弦相位等于零的高級(jí)衍射分量中去。等于零的高級(jí)衍射分量中去。圖圖3.3-9 示出了調(diào)制度示出了調(diào)制度m/2=4 3.3.43.3.4菲涅耳衍射計(jì)算菲涅耳衍射計(jì)算1. 1. 圓孔的菲涅耳衍射圓孔的菲涅耳衍射1) 圓孔衍射的頻率域計(jì)算圓孔衍射的頻率域計(jì)算由衍射的系統(tǒng)分析，我們知由衍射的系統(tǒng)分析，我們知道菲涅耳衍射系統(tǒng)是一線性不變道菲涅耳衍射系統(tǒng)是一線性不變系統(tǒng)，衍射光場(chǎng)的頻譜函數(shù)可以系統(tǒng)，衍射光場(chǎng)的頻譜函數(shù)可以利用線性不變系統(tǒng)的性質(zhì)可利用線性不變系統(tǒng)的性質(zhì)可求得衍射光場(chǎng)復(fù)振幅求得衍射光場(chǎng)復(fù)振幅U(x,y)的頻的頻譜函數(shù)為譜函數(shù)為2) 圓孔軸線上的菲涅耳衍射圓

22、孔軸線上的菲涅耳衍射為求得圓孔軸線上的菲涅耳為求得圓孔軸線上的菲涅耳衍射光場(chǎng)分布，建立如圖衍射光場(chǎng)分布，建立如圖3.3-11所所示的柱坐標(biāo)系，衍射孔半徑為示的柱坐標(biāo)系，衍射孔半徑為R，若觀察點(diǎn)若觀察點(diǎn)P(,j j,z)在在z軸上，軸上，有有=0，于是菲涅耳衍射積分式，于是菲涅耳衍射積分式(3.3-5)可寫成可寫成相應(yīng)的光強(qiáng)分布為相應(yīng)的光強(qiáng)分布為光強(qiáng)分布隨光強(qiáng)分布隨z的變化曲線如的變化曲線如圖圖3.3-12所示，隨著所示，隨著z的增大，的增大，I(0,j j)在在z等于等于，R2/5，R2/3，R2/處取極大值，在兩個(gè)極大值處取極大值，在兩個(gè)極大值2. 2. 直邊的菲涅耳衍射直邊的菲涅耳衍射1)

23、 矩形孔的菲涅耳衍射和菲矩形孔的菲涅耳衍射和菲代入式代入式(3.3-5)得得作變量代換：作變量代換：式式(3.3-35)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為其中積分上、下限分別為其中積分上、下限分別為(3.3-37)以及菲涅耳積分函數(shù)以及菲涅耳積分函數(shù)應(yīng)用菲涅耳積分，式應(yīng)用菲涅耳積分，式(3.3-36)可改可改寫為寫為相應(yīng)的光強(qiáng)分布為相應(yīng)的光強(qiáng)分布為用菲涅耳積分求衍射光場(chǎng)分用菲涅耳積分求衍射光場(chǎng)分布一般按如下步驟進(jìn)行：布一般按如下步驟進(jìn)行： 對(duì)于給對(duì)于給定的觀察點(diǎn)定的觀察點(diǎn)(x,y)，將其代入式，將其代入式(3.3-37)，確定積分上下限，確定積分上下限v1、v2、對(duì)于正方形孔，菲涅耳衍射對(duì)于正方形孔，菲涅耳衍射2)

24、 單縫的菲涅耳衍射單縫的菲涅耳衍射單縫菲涅耳衍射可作為方孔單縫菲涅耳衍射可作為方孔把此值代入式把此值代入式(3.3-41)和式和式(3.3-42)，分別得到單縫菲涅耳衍，分別得到單縫菲涅耳衍射的復(fù)振幅和光強(qiáng)分布為射的復(fù)振幅和光強(qiáng)分布為3) 半無限大開孔的菲涅耳衍半無限大開孔的菲涅耳衍射射如果單縫的寬度遠(yuǎn)大于照明如果單縫的寬度遠(yuǎn)大于照明此時(shí)，此時(shí)， 可以取可以取v1=，及，及C()=S()=1/2，代入式，代入式(3.3-43)和式和式(3.3-44)， 得到直邊得到直邊菲涅耳衍射的復(fù)振幅和光強(qiáng)分布菲涅耳衍射的復(fù)振幅和光強(qiáng)分布為為如果觀察點(diǎn)離開幾何投影的如果觀察點(diǎn)離開幾何投影的陰影區(qū)足夠遠(yuǎn)，這時(shí)

25、可近似認(rèn)為陰影區(qū)足夠遠(yuǎn)，這時(shí)可近似認(rèn)為v2=，及，及C()=S()=1/2， 代入代入如果觀察點(diǎn)剛好在幾何投影如果觀察點(diǎn)剛好在幾何投影的陰影區(qū)邊緣，則有的陰影區(qū)邊緣，則有v2=0，及，及C(0)=S(0)=0，代入式，代入式(3.3-45)得得如果觀察點(diǎn)在幾何投影的陰如果觀察點(diǎn)在幾何投影的陰影區(qū)，而且離開陰影邊緣足夠遠(yuǎn)，影區(qū)，而且離開陰影邊緣足夠遠(yuǎn)，便可近似認(rèn)為便可近似認(rèn)為v2=， 可得可得3. 3. 會(huì)聚光照明時(shí)的菲涅耳會(huì)聚光照明時(shí)的菲涅耳衍射衍射若用會(huì)聚光照明，根據(jù)式若用會(huì)聚光照明，根據(jù)式(3.2-10)，衍射屏后表面上的復(fù)振，衍射屏后表面上的復(fù)振如果照明光波的會(huì)聚中心到如果照明光波的會(huì)聚

26、中心到衍射屏的距離衍射屏的距離z1=z，則根據(jù)式，則根據(jù)式(3.3-12)，得到，得到3.43.4透鏡的變換特性透鏡的變換特性3.4.13.4.1透鏡的相位變換特性透鏡的相位變換特性下面推導(dǎo)光波經(jīng)過薄透鏡的下面推導(dǎo)光波經(jīng)過薄透鏡的透鏡的兩表面曲率半徑分別透鏡的兩表面曲率半徑分別為為R1和和R2，中心厚度為，中心厚度為0，折射，折射率為率為n； 把點(diǎn)把點(diǎn)(x,y)處的透鏡厚度處的透鏡厚度記作記作(x,y)， 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于R1和和R2上的上的拱高分別為拱高分別為z1(x,y)和和z2(x,y)。若。若式中式中: t(x,y)=eij j(x,y), j j(x,y)表示光表示光波經(jīng)過透鏡的相位延遲

27、。按薄透波經(jīng)過透鏡的相位延遲。按薄透鏡假設(shè)，入射到點(diǎn)鏡假設(shè)，入射到點(diǎn)(x,y)處的相位處的相位延遲可以寫成延遲可以寫成由幾何關(guān)系可求得用由幾何關(guān)系可求得用R1和和R2所表示的所表示的z1(x,y)和和z2(x,y)。若仍。若仍按幾何光學(xué)中的符號(hào)規(guī)則來確定按幾何光學(xué)中的符號(hào)規(guī)則來確定透鏡曲率半徑的正、負(fù)，則透鏡曲率半徑的正、負(fù)，則R10，R20，應(yīng)用旁軸近似條件，可以，應(yīng)用旁軸近似條件，可以由于由于R20，同理可得，同理可得(3.4-4)式中式中: f為薄透鏡焦距。將式為薄透鏡焦距。將式(3.4-5)代入式代入式(3.4-1)得得若入射光波是單位振幅的軸若入射光波是單位振幅的軸向平面波，那么出射

28、光分布為向平面波，那么出射光分布為3.4.23.4.2透鏡的傅里葉變換特性透鏡的傅里葉變換特性1. 1. 一般變換關(guān)系式一般變換關(guān)系式假設(shè)所研究物體置于透鏡前假設(shè)所研究物體置于透鏡前由圖由圖3.4-3看出，看出，P0面的出射面的出射光場(chǎng)復(fù)振幅分布為光場(chǎng)復(fù)振幅分布為U(x0,y0)=A(x0,y0)t(x0,y0)(3.4-8)(3.4-9)應(yīng)用式應(yīng)用式(3.4-6)，得到經(jīng)透鏡變換，得到經(jīng)透鏡變換后光場(chǎng)的復(fù)振幅分布為后光場(chǎng)的復(fù)振幅分布為(3.4-10)對(duì)中括號(hào)內(nèi)指數(shù)部分變量對(duì)中括號(hào)內(nèi)指數(shù)部分變量x和和y分分別配方，積分后得別配方，積分后得式中式中: c為一復(fù)常數(shù)；為一復(fù)常數(shù)；m=fq(3.4-

29、13) 2. 2. 輸入面位于透鏡前輸入面位于透鏡前d d處處1) 軸上平行光照明軸上平行光照明軸上平行光照明即軸上點(diǎn)光軸上平行光照明即軸上點(diǎn)光源位于透鏡前無限遠(yuǎn)處。設(shè)照明源位于透鏡前無限遠(yuǎn)處。設(shè)照明平面波振幅為平面波振幅為1，則有，則有 如果物體位于透鏡前焦面，如果物體位于透鏡前焦面，有有d=f，這時(shí)由于物面偏離前焦，這時(shí)由于物面偏離前焦面帶來的二次曲面相位彎曲為零，面帶來的二次曲面相位彎曲為零，式式(3.4-15)可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為 如果物體緊貼透鏡，則有如果物體緊貼透鏡，則有d=0，m=f2。此時(shí)，式。此時(shí)，式(3.4-15)變變?yōu)闉?) 軸上點(diǎn)光源照明軸上點(diǎn)光源照明這時(shí)，照明光束在物面上

30、的這時(shí)，照明光束在物面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為光場(chǎng)復(fù)振幅分布為以及以及(3.4-19)考慮到考慮到1/p+1/q=1/f，有，有pd+m/(fq)=0，以及，以及和和函數(shù)的乘積特性，式函數(shù)的乘積特性，式(3.4-20)可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為這表明，當(dāng)照明光源面和輸出面這表明，當(dāng)照明光源面和輸出面對(duì)于透鏡成像共軛時(shí)，輸入物體對(duì)于透鏡成像共軛時(shí)，輸入物體透射率與輸出面上的光場(chǎng)復(fù)振幅透射率與輸出面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布滿足準(zhǔn)傅里葉變換。相應(yīng)的分布滿足準(zhǔn)傅里葉變換。相應(yīng)的3. 3. 物位于透鏡后物位于透鏡后d d1 1處處如圖如圖3.4-5所示，振幅透射系所示，振幅透射系下面我們來討論物面復(fù)振幅下面我們來討論物面復(fù)

31、振幅分布和輸出面上的復(fù)振幅分布之分布和輸出面上的復(fù)振幅分布之間的變換關(guān)系。間的變換關(guān)系。點(diǎn)源發(fā)出球面波，在透鏡前點(diǎn)源發(fā)出球面波，在透鏡前經(jīng)透鏡變換后，透鏡后表面上的經(jīng)透鏡變換后，透鏡后表面上的復(fù)振幅分布為復(fù)振幅分布為顯然，這是會(huì)聚于輸出面軸上點(diǎn)顯然，這是會(huì)聚于輸出面軸上點(diǎn)的會(huì)聚球面波，因此入射在物體的會(huì)聚球面波，因此入射在物體應(yīng)用菲涅耳衍射公式應(yīng)用菲涅耳衍射公式，得到輸出，得到輸出面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布為面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布為3.53.5光學(xué)成像系統(tǒng)的空間變換特性光學(xué)成像系統(tǒng)的空間變換特性3.5.13.5.1正薄透鏡的成像正薄透鏡的成像假設(shè)所研究的透鏡是無像差假設(shè)所研究的透鏡是無像差的正薄透鏡，

32、它是最簡(jiǎn)單的光學(xué)的正薄透鏡，它是最簡(jiǎn)單的光學(xué)把物函數(shù)把物函數(shù)U0(x0,y0)分解為基分解為基元函數(shù)的線性組合元函數(shù)的線性組合由菲涅耳衍射公式，物面上點(diǎn)由菲涅耳衍射公式，物面上點(diǎn)(x0,y0) 處發(fā)出的單位振幅的光波處發(fā)出的單位振幅的光波在透鏡前后表面上的復(fù)振幅分布在透鏡前后表面上的復(fù)振幅分布分別為分別為再應(yīng)用一次菲涅耳衍射公式，略再應(yīng)用一次菲涅耳衍射公式，略去相位延遲中的常數(shù)項(xiàng)，得到點(diǎn)去相位延遲中的常數(shù)項(xiàng)，得到點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)散函數(shù)考慮到考慮到1/d0+1/di=1/f，則有，則有由于透鏡成像的橫向放大率為由于透鏡成像的橫向放大率為M=di/d0，因此有，因此有代入式代入式(3.5-2)得得考慮

33、到最終測(cè)量和觀測(cè)的是考慮到最終測(cè)量和觀測(cè)的是光強(qiáng)分布，所以式光強(qiáng)分布，所以式(3.5-7)中相位中相位項(xiàng)不影響光強(qiáng)分布，故幾何像為項(xiàng)不影響光強(qiáng)分布，故幾何像為實(shí)際透鏡尺寸有限，為此，實(shí)際透鏡尺寸有限，為此，引入光瞳函數(shù)引入光瞳函數(shù)P(x,y)描述透鏡的描述透鏡的有限孔徑，這時(shí)透鏡的相位變換有限孔徑，這時(shí)透鏡的相位變換函數(shù)為函數(shù)為這時(shí)，忽略二次相位因子的點(diǎn)擴(kuò)這時(shí)，忽略二次相位因子的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為散函數(shù)為(3.5-11)(3.5-12)式中：式中：xg=Mx0,yg=My0為幾為幾何像點(diǎn)的位置坐標(biāo)。所以有何像點(diǎn)的位置坐標(biāo)。所以有式中式中:3.5.23.5.2一般光學(xué)系統(tǒng)的黑箱模一般光學(xué)系統(tǒng)的黑箱模型

34、及線性特性型及線性特性1. 1. 一般光學(xué)成像系統(tǒng)的黑一般光學(xué)成像系統(tǒng)的黑箱模型箱模型由物理光學(xué)的知識(shí)可知，在由物理光學(xué)的知識(shí)可知，在所有光學(xué)元件中，總可以找到一所有光學(xué)元件中，總可以找到一個(gè)孔徑光闌，它實(shí)際限制物點(diǎn)的個(gè)孔徑光闌，它實(shí)際限制物點(diǎn)的2.2.一般光學(xué)系統(tǒng)的線性特性一般光學(xué)系統(tǒng)的線性特性1) 相干光照明時(shí)系統(tǒng)的線性相干光照明時(shí)系統(tǒng)的線性特性特性由部分相干理論可知，準(zhǔn)單由部分相干理論可知，準(zhǔn)單色光波可看做波長是中心波長的色光波可看做波長是中心波長的單色光波，因此，相干光照明時(shí)單色光波，因此，相干光照明時(shí)把式把式(3.5-14)代入，交換積分和求代入，交換積分和求時(shí)間平均值的順序得到時(shí)間

35、平均值的順序得到當(dāng)物面完全相干時(shí)有當(dāng)物面完全相干時(shí)有(3.5-18)同理有同理有(3.5-20)2) 非相干光照明時(shí)系統(tǒng)的線非相干光照明時(shí)系統(tǒng)的線性特性性特性當(dāng)物面光場(chǎng)為空間非相干時(shí)，當(dāng)物面光場(chǎng)為空間非相干時(shí)，像面光場(chǎng)也是非相干的，不同位像面光場(chǎng)也是非相干的，不同位置上的幾何像點(diǎn)的光擾動(dòng)互不相置上的幾何像點(diǎn)的光擾動(dòng)互不相關(guān)。因此有關(guān)。因此有(3.5-23)3.63.6光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性 及其傳遞函數(shù)及其傳遞函數(shù)3.6.13.6.1相干成像系統(tǒng)的頻率特相干成像系統(tǒng)的頻率特性和相干傳遞函數(shù)性和相干傳遞函數(shù)1. 1. 相干傳遞函數(shù)的概念相干傳遞函數(shù)的概念式中：式中：h(xi

36、,yi)為相干光學(xué)成像為相干光學(xué)成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。對(duì)式系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。對(duì)式(3.6-1)兩邊進(jìn)行傅里葉變換，并由卷積兩邊進(jìn)行傅里葉變換，并由卷積定理得定理得由于由于因此由傅里葉變換的性質(zhì)得因此由傅里葉變換的性質(zhì)得(3.6-3)其中，其中，“”是由于一個(gè)函數(shù)連是由于一個(gè)函數(shù)連(3.6-4)2. 2. 相干傳遞函數(shù)的計(jì)算實(shí)相干傳遞函數(shù)的計(jì)算實(shí)例例例例3.13.1方形光瞳。設(shè)相干方形光瞳。設(shè)相干成像系統(tǒng)的出射光瞳為邊長成像系統(tǒng)的出射光瞳為邊長l的正的正方形，則光瞳函數(shù)為方形，則光瞳函數(shù)為即即把把Hc取值開始為零時(shí)對(duì)應(yīng)的取值開始為零時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率。方形光瞳在頻率稱為截止頻率。方形光瞳在

37、和和方向上的截止頻率均為方向上的截止頻率均為例例3.23.2圓形光瞳。當(dāng)光學(xué)圓形光瞳。當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的出射光瞳為直徑等于成像系統(tǒng)的出射光瞳為直徑等于l的圓孔時(shí)，其光瞳函數(shù)為圓域函的圓孔時(shí)，其光瞳函數(shù)為圓域函數(shù)數(shù)即即3. 3. 相干傳遞函數(shù)的物理意相干傳遞函數(shù)的物理意義義3.6.23.6.2非相干成像系統(tǒng)的頻率非相干成像系統(tǒng)的頻率特性和光學(xué)傳遞函數(shù)特性和光學(xué)傳遞函數(shù)1. 1. 光學(xué)傳遞函數(shù)的概念光學(xué)傳遞函數(shù)的概念在非相干光照明情況下，像在非相干光照明情況下，像面光場(chǎng)強(qiáng)度分布與幾何像光強(qiáng)分面光場(chǎng)強(qiáng)度分布與幾何像光強(qiáng)分布之間的關(guān)系為布之間的關(guān)系為則非相干成像的物像強(qiáng)度歸一化則非相干成像的物像強(qiáng)度歸一

38、化頻譜間的關(guān)系為頻譜間的關(guān)系為2. 2. 光學(xué)傳遞函數(shù)的性質(zhì)光學(xué)傳遞函數(shù)的性質(zhì)1) 光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞函數(shù)的關(guān)系函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用相關(guān)定理有應(yīng)用相關(guān)定理有作變量代換作變量代換x=x+/2，y=y+/2,得到具有對(duì)稱性的表得到具有對(duì)稱性的表達(dá)式達(dá)式2) H H(0,0)=1把把=0代入式代入式(3.6-14)，則，則有有H H(0,0)=1，即，即H H(0,0)|=1，(,)=0。這表明，物體的零頻。這表明，物體的零頻分量通過系統(tǒng)后其振幅和相位均分量通過系統(tǒng)后其振幅和相位均保持不變。保持不變。5) 光學(xué)傳遞函數(shù)與光瞳函數(shù)光學(xué)傳遞函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系的關(guān)系把相干系統(tǒng)的相干傳

39、遞函數(shù)把相干系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)Hc(,)=P(di,di)代入式代入式(3.6-14)得得由積分的幾何意義可知，光由積分的幾何意義可知，光學(xué)傳遞函數(shù)中分子上的積分表示學(xué)傳遞函數(shù)中分子上的積分表示兩個(gè)錯(cuò)開光瞳交疊部分的面積，兩個(gè)錯(cuò)開光瞳交疊部分的面積，其中一個(gè)光瞳的中心在其中一個(gè)光瞳的中心在3. 3. 光學(xué)傳遞函數(shù)的計(jì)算實(shí)光學(xué)傳遞函數(shù)的計(jì)算實(shí)例例例例3.33.3方形光瞳。為了與方形光瞳。為了與相干傳遞函數(shù)比較，仍取光瞳為相干傳遞函數(shù)比較，仍取光瞳為邊長等于邊長等于l的正方形。光瞳的面積的正方形。光瞳的面積為為A=l2，由圖，由圖3.6-4可求得兩光瞳可求得兩光瞳(3.6-18)應(yīng)用式應(yīng)用式(3.

40、6-17)得到得到式中：式中：0=0=l/(2di)為相干傳遞為相干傳遞例例3.43.4圓形光瞳。設(shè)圓形圓形光瞳。設(shè)圓形光瞳的直徑為光瞳的直徑為l，其面積為，其面積為A=l2/4。由于圓有對(duì)稱性，沿。由于圓有對(duì)稱性，沿任意方向錯(cuò)開相同頻率的位移量任意方向錯(cuò)開相同頻率的位移量當(dāng)兩個(gè)光瞳錯(cuò)開當(dāng)兩個(gè)光瞳錯(cuò)開di|時(shí)，時(shí)，其重疊面積如圖其重疊面積如圖3.6-6所示，為弓所示，為弓形形B面積的兩倍，弓形面積的兩倍，弓形B面積為面積為若設(shè)某個(gè)方向上的頻率為若設(shè)某個(gè)方向上的頻率為，則該方向上的光學(xué)傳遞函數(shù)為則該方向上的光學(xué)傳遞函數(shù)為式中：式中：0=l/2di=0為相干傳遞為相干傳遞函數(shù)的截止頻率?？梢?，對(duì)非

41、相函數(shù)的截止頻率。可見，對(duì)非相4. 4. 光學(xué)傳遞函數(shù)的物理意光學(xué)傳遞函數(shù)的物理意義義如圖如圖3.6-8所示，設(shè)物光柵的所示，設(shè)物光柵的光強(qiáng)度分布為光強(qiáng)度分布為(3.6-25)如果用如果用X、Y分別表示分別表示P1和和P2兩點(diǎn)兩點(diǎn)在在x軸和軸和y軸方向上的坐標(biāo)差，即軸方向上的坐標(biāo)差，即若余弦分布的物體的空間頻若余弦分布的物體的空間頻率為率為，由式，由式(3.6-26)可知，構(gòu)成可知，構(gòu)成完全相干的任一對(duì)點(diǎn)源完全相干的任一對(duì)點(diǎn)源P1、P2之之間的距離必須間的距離必須滿足滿足圖圖3.6-9所示。所示。3.73.7實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1. 1. 廣義光瞳函數(shù)廣義光瞳函數(shù)如果用

42、如果用w(x,y)表示出射光瞳表示出射光瞳2. 2. 有像差系統(tǒng)的相干傳遞有像差系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)函數(shù)我們知道，衍射受限系統(tǒng)的我們知道，衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)是光瞳函數(shù)的連續(xù)相干傳遞函數(shù)是光瞳函數(shù)的連續(xù)兩次傅里葉變換。同樣，當(dāng)光學(xué)兩次傅里葉變換。同樣，當(dāng)光學(xué)3. 3. 有像差系統(tǒng)的光學(xué)傳遞有像差系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)函數(shù)與研究有像差相干成像系統(tǒng)與研究有像差相干成像系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)類似，可以將有的相干傳遞函數(shù)類似，可以將有像差非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞像差非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)表示為廣義光瞳函數(shù)的自相函數(shù)表示為廣義光瞳函數(shù)的自相根據(jù)許瓦茲不等式可知，有根據(jù)許瓦茲不等式可知，有像差非相干成像

43、系統(tǒng)的光學(xué)傳遞像差非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)的模要小于無像差時(shí)的模，函數(shù)的模要小于無像差時(shí)的模，即有像差時(shí)系統(tǒng)傳遞信息的能力即有像差時(shí)系統(tǒng)傳遞信息的能力要下降。當(dāng)像差非常嚴(yán)重時(shí)，可要下降。當(dāng)像差非常嚴(yán)重時(shí)，可以使光學(xué)傳遞函數(shù)在某些頻率上以使光學(xué)傳遞函數(shù)在某些頻率上4. 4. 離焦成像系統(tǒng)的光學(xué)傳離焦成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)遞函數(shù)作為研究有像差成像系統(tǒng)的作為研究有像差成像系統(tǒng)的一個(gè)例子，這里討論各種像差中一個(gè)例子，這里討論各種像差中由于離焦所產(chǎn)生的像差由于離焦所產(chǎn)生的像差w(x，y)為兩個(gè)球面波前的光程差為兩個(gè)球面波前的光程差z。設(shè)出射光瞳面為設(shè)出射光瞳面為xy平面，光瞳平面，光瞳面上一點(diǎn)面上一點(diǎn)P(x，y)到光軸的距離為到光軸的距離為當(dāng)像面準(zhǔn)確聚焦時(shí)，透鏡定律成當(dāng)像面準(zhǔn)確聚焦時(shí)，透鏡定律成立，即立，即式中式中: 為離焦引起的誤差參量為離焦引起的誤差參量; f為成像系統(tǒng)的焦距。由式為成像系統(tǒng)的焦距。由式(3.7-5)和式和式(3.7-6)可求得可求得/d2i。將其。將其代入式代入式(3.7-4)得到得到下面我們計(jì)算離焦成像系統(tǒng)下面我們計(jì)