曲線積分及曲面積分習(xí)題課

1、1目錄 下頁 返回 結(jié)束 例題選講例題選講基本內(nèi)容基本內(nèi)容2一、曲線積分的計(jì)算法一、曲線積分的計(jì)算法1.1.基本方法基本方法曲線積分曲線積分第一類第一類 ( (對弧長對弧長) )第二類第二類 ( (對坐標(biāo)對坐標(biāo)) )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化定積分定積分用參數(shù)方程用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: :下小上大下小上大第二類第二類: :下始上終下始上終首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 322( ),( ) ()d( )( ) dxtyttsttt (1) 寫出曲線寫出曲線L方程及相應(yīng)弧微分公式方程及相應(yīng)弧微分

2、公式ds L為參數(shù)方程為參數(shù)方程: L為直角坐標(biāo)方程：為直角坐標(biāo)方程：2( ) ()d1( ) dyg xaxbsg xx L為極坐標(biāo)方程：為極坐標(biāo)方程：1222( ) d( ) drrsrr 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分解題步驟：解題步驟：首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4(2) 將將L的表達(dá)式及弧微分公式直接代入曲線積分式的表達(dá)式及弧微分公式直接代入曲線積分式, 化為定積分化為定積分, 定出積分限定出積分限.(注注:下限小于上限下限小于上限)22( , )d( ( ),( ) ( )( ) dLf x ysfttttt 2( , )d( , ( ) 1( ) dbLaf x ysf x

3、g xg xx 2122( , )d( cos , sin )( ) dLf x ysf rrrr L為參數(shù)方程為參數(shù)方程L為直角坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程L為極坐標(biāo)方程為極坐標(biāo)方程首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5(1) 直接化為對參變量的定積分直接化為對參變量的定積分:( ),( )L xtytdd ( ),( )( ) ( ),( )( )dLP xQ yPtttQtttt 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法：計(jì)算方法：()B t ()A t 注注: 下限對起點(diǎn)下限對起點(diǎn), 上限對終點(diǎn)上限對終點(diǎn)首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6(2) 利用積分與路徑無關(guān)的條件利用積分與路徑無關(guān)的條件 若若

4、 , 則積分只與則積分只與L的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),故可選取便于計(jì)算的路徑故可選取便于計(jì)算的路徑,如折線段、圓弧段、直如折線段、圓弧段、直線段線段(結(jié)合結(jié)合P、Q考慮考慮).QPxy (3) 利用格林公式利用格林公式(適用于封閉曲線適用于封閉曲線)化為定積分化為定積分.注注: 若曲線若曲線L不是封閉的不是封閉的,直接計(jì)算又困難直接計(jì)算又困難, 可考慮添加可考慮添加 輔助曲線輔助曲線C, 使使L+C為封閉曲線為封閉曲線, 再利用格林公式再利用格林公式.()d dddDLQPx yP xQ yxy 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7(4) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式(適用空間封閉曲線

5、積分適用空間封閉曲線積分).()d d()d d()d ddddRQPRQPy zz xx yyzzxxyP xQ yR z d dd dd ddddy zz xx yP xQ yR zxyzPQR 利用行列式記號可記為：利用行列式記號可記為：首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8coscoscosddddsP xQ yR zxyzPQR 或：或：注注: 格林公式格林公式(斯托克斯公式斯托克斯公式)反映的是平面閉區(qū)域反映的是平面閉區(qū)域 D(空間曲面空間曲面)上重積分上重積分(曲面積分曲面積分)與邊界曲線與邊界曲線 上曲線積分之關(guān)系上曲線積分之關(guān)系.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9(1) 利用對稱性簡

6、化計(jì)算利用對稱性簡化計(jì)算;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;2. 基本技巧基本技巧對于曲線積分對于曲線積分 ,下面四個(gè)條件等價(jià)下面四個(gè)條件等價(jià):ddLP xQ y 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān). 被積表達(dá)式是某個(gè)函數(shù)的全微分被積表達(dá)式是某個(gè)函數(shù)的全微分. 沿任何閉路線的曲線積分為零沿任何閉路線的曲線積分為零.PQyx 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.ddcoscosdLLP xQ yPQs 其中其中,為有向曲線為有向曲線L上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y)處的切向量的方向角處的切向量的方向角.(4) 利用

7、斯托克斯公式利用斯托克斯公式;(3) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧); 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11二、曲面積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法基本方法曲面積分曲面積分第一類第一類( 對面積對面積 )第二類第二類( 對坐標(biāo)對坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二重積分二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程代入曲面方程(2) 積分元素投影積分元素投影第一類第一類: 始終非負(fù)始終非負(fù)第二類第二類: 有向投影有向投影(3) 確定積分區(qū)域確定積分區(qū)域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222( , ,

8、 )d( , , ( , ) 1d dxyxyDxyf x y zSf x y z x yzzx yDxoy 是是在在面面上上的的投投影影. .計(jì)算方法計(jì)算方法( , ),zz x y若若曲曲面面 ：則則第一類第一類( 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 ) ( , )( , ),.yy z xxx y z 如如果果積積分分曲曲面面 由由方方程程或或給給出出 可可類類似似地地把把對對面面積積的的曲曲面面積積分分化化為為相相應(yīng)應(yīng)的的二二重重積積分分首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx

9、y 1) ( , ),zz x y 若若曲曲面面 ：則則上側(cè)取正號上側(cè)取正號, 下側(cè)取負(fù)號下側(cè)取負(fù)號.第二類第二類( 對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分 )( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y ( , , )d d( ( , ), , )d dyzDP x y zy zP x y zy zy z 前側(cè)取正號，后側(cè)取負(fù)號前側(cè)取正號，后側(cè)取負(fù)號.2) ( , ),xx y z 若若曲曲面面 ：則則首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14( , , )d d( , ( , ), )d dzxDQ x y zz xQ x y z x zz x

10、3) ( , ),yy z x 若若曲曲面面 ：則則右側(cè)取正號，左側(cè)取負(fù)號右側(cè)取正號，左側(cè)取負(fù)號.注：注：對于封閉曲面對于封閉曲面, 可考慮用高斯公式可考慮用高斯公式.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 152. 基本技巧基本技巧(1) 利用對稱性簡化計(jì)算利用對稱性簡化計(jì)算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用條件注意公式使用條件添加輔助面的技巧添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)dd dd dd dPQRvP y zQ z xR x yxyz （高斯公式反映的是空間閉區(qū)域高斯公式反映的是空間閉區(qū)域上三重積分與其上三重積分與其邊界曲面邊界曲面上的曲面積分

11、之間的關(guān)系上的曲面積分之間的關(guān)系.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化d dd dd dcoscoscos dP y zQ z xR x yPQRS 其中其中,為有向曲面為有向曲面上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方處的法向量的方向角向角.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17三、例題選講三、例題選講解解 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo), ,:cos()22L ra 22ddsrr 原式原式= =dLaxs 2222cosdaa 22a da 2222 d ,1.LxysLxya x 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為圓圓周周例例xaoyrt說明說明: :若用參數(shù)方程計(jì)算若

12、用參數(shù)方程計(jì)算, ,則則(1cos )2: (02)sin2axtLtayt 22d()() dsxytd2at 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18222222 22 d , .Iyzsxyzaxy 計(jì)計(jì)算算 例例曲曲分分其其中中為為球球面面與與平平面面相相交交的的圓圓周周xozy: 2222Lyza 解解 因因在在 上上有有, ,所所以以cos2cos (02 )2sinaxtayttzat 230dat 所所以以原原式式32 a 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19解解220sin datt t 所所以以原原式式 220cossinattt 22 a (1cos )(1cos )datatt

13、 (sin )sin da ttatt (2)ddayxxy 2sin da ttt (2)dd ,(sin ) , (1cos )0.32LayxxyLxa ttyatt 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為擺擺線線 上上 對對應(yīng)應(yīng) 從從 到到的的例例一一段段弧弧 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20zoyx1解解 因在因在 上有上有2221 ,xy故故: 原式原式 = 22201cossind2 2ttt 2201sin 2 d8 2tt 216 cos1sin (02 )21sin 2xtyttzt 2224 d ,1,.xyz zyzxyzz 計(jì)計(jì)算算其其中中 由由平平面面截截球球面面所所得得 從從

14、軸軸正正向向看看沿沿逆逆時(shí)時(shí) 例例針針方方向向 2011cos4d28 2tt 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21CoyxABL解法解法1 令令22,PxyQyx 則則1QPxy 這說明積分與路徑無關(guān)這說明積分與路徑無關(guān), 故故22()d()dABIxyxyxy 2daaxx 323a 22 ()d()d ,.5LIxyxyxyLa 計(jì)計(jì)算算其其中中 是是沿沿逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心為為半半徑徑的的上上半半圓圓周周例例首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22解法解法2 ,BA它與它與L所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)镈,CoyxABL0 d dDx y 22()d()dBAxyxyxy 2d

15、aaxx D(利用格林公式利用格林公式)323a 22()d()dL BAIxyxyxy 則則添加輔助線段添加輔助線段首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23(1cos ):sin xatLyat DyaLxo提示提示:sind(cos2)dxxLIeyxeyy 2dLy x 2dLy x BA0ddDxy 200dax 2202sindatt :0t 2a L ABAB 222 (sin2 )d(cos2)d ,(),0,.6xxLIeyyxeyyLxayay 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為上上半半圓圓周周沿沿逆逆時(shí)時(shí) 針針方方向向例例首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 24提示提示: BAzyxCodddWy

16、xzyxz 3dddAByxzyx z 3dABxz 103(1)dzz 32 方法方法1利用對稱性利用對稱性 ( ,), 1,7 . Fy z xxyzz 求求力力沿沿有有向向閉閉曲曲線線所所作作的的功功其其中中為為平平面面被被三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所截截成成三三角角形形的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界 從從 軸軸正正向向看看去去沿沿順順時(shí)時(shí) 例例針針方方向向 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25設(shè)三角形區(qū)域?yàn)樵O(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向方向向上向上, 則則dddWyxzyxz dS :11(1,1,1)3xyzn 1( 3)d3S 方法方法2nBAzyxCo32 33ddxyDxy 111333xyzyzx

17、首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 26 zyxo且取下側(cè)且取下側(cè) , 提示提示: 以半球底面以半球底面0 原式原式 =3dddxyz 3233R 0 32R 0 0d dd dd dx y zy z xz x y 記半球域?yàn)橛洶肭蛴驗(yàn)?,高斯公式有高斯公式有為輔助面為輔助面, 利用利用222ddd ddd ,.8 xyzyzxzxyzRxy 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為半半球球面面 例例的的上上側(cè)側(cè) 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 27證證 設(shè)設(shè)(常向量常向量)則則 coscoscoscoscos cosdS 0 (cos)(cos)(cos)dvxyz cosd dcosd dcosd dy zz xx

18、 y cos()dn,aS 0dn aS (cos, cos, cos )n 0(cos, cos, cos)a ,cos()d.90ann,aS 設(shè)設(shè) 為為簡簡單單閉閉曲曲面面, , 為為任任意意固固定定向向量量為為的的單單位位外外法法向向量量, ,證證明明: : 例例首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 281212I 解解 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù) , 作曲面作曲面取下側(cè)取下側(cè) 使其包在使其包在 內(nèi)內(nèi), 為為 xoy 平面上夾于平面上夾于之間的部分之間的部分, 且取下側(cè)且取下側(cè) ,1 與與2 1 ozyx則則2221: zxy 2 2232222(2)(110) 1(0),5169ddd dd d,.()zxyzxyzyzxz xyIxyz 設(shè)設(shè) 是是曲曲面面取取上上側(cè)側(cè) 計(jì)計(jì)算算 例例首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 29331( 2)I 1212I 131ddd dddxyzyzxzxy 2 第二項(xiàng)添加輔助面第二項(xiàng)添加輔助面, 再用