桿與梁結(jié)構(gòu)的有限元法

1、第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法第第2 2章章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法2 2. .1 1 彈簧單元和彈簧系統(tǒng)彈簧單元和彈簧系統(tǒng)2 2. .2 2 桿單元和平面桁架桿單元和平面桁架2 2. .3 3 梁單元和平面剛架梁單元和平面剛架第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 2.1 2.1 彈簧單元和彈簧系統(tǒng)彈簧單元和彈簧系統(tǒng)1一個彈簧單元一個彈簧單元的分析的分析2彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng)什么是單元特性？彈簧單元的剛度矩陣彈簧系統(tǒng)的總剛度矩陣彈簧單元剛度矩陣的特點例題如何求解系統(tǒng)的平衡方程彈簧單元的剛度方程第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的

2、有限元法l 彈簧是宏觀力學特性最簡單的彈性元件。下面以平衡彈簧系統(tǒng)中一個彈簧單元為研究對象進行分析。2個節(jié)點：節(jié)點位移：節(jié)點力：彈簧剛度： ji,jiuu ,jiff ,k已知彈簧力位移關(guān)系： kFijuu F彈簧力，拉伸為正 彈簧伸長第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法考慮彈簧力學特性和節(jié)點上力平衡有：jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(寫成矩陣形式：矩陣符號形式：彈簧單元剛度方程，單元特性jijiuukkkkff方法一：方法一：kdf 第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法思考問題：1）k 有什么特點？jjjiijiikkkkk

3、jijiuukkkkff上式中：fdk單元節(jié)點力向量單元節(jié)點位移向量彈簧單元的剛度矩陣2）k 中元素代表什么含義？3）上面方程可以求解嗎？為什么？kkkkk第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法求解一個彈簧系統(tǒng)：1）各單元的特性分別為：單元1：單元2：22213222221211211111ffuukkkkffuukkkk第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法2）按兩種方法裝配系統(tǒng)特性：方法1:按節(jié)點列平衡方程分別考慮節(jié)點1，2，3的力平衡條件（總節(jié)點力與節(jié)點外載荷的平衡）：22321122111fFffFfF把單元特性代入，得到：322233222111221

4、111)(ukukFukukkukFukukF第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法上面方程寫成矩陣形式：或 （系統(tǒng)的有限元平衡方程） FKDK 彈簧系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣（總剛）F 整體節(jié)點載荷列陣討論：（1） 有哪些特點和性質(zhì)？ （2）上面方程能求解嗎？ KD 整體節(jié)點位移列陣系統(tǒng)平衡方程節(jié)點載荷與節(jié)點總內(nèi)力的平衡第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法方法2：單元剛度方程擴大疊加a.將單元剛度方程擴大到整體規(guī)模：元素按總體節(jié)點序號重新排列，對號入座。要點：1、單元剛度方程擴大規(guī)模并不改變其表達的力學關(guān)系。 2、擴大后的單元剛度方程采用整體節(jié)點位移列陣。 3、擴

5、大后的方程中矩陣元素按對應(yīng)的整體節(jié)點序號排列！第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法b. 將上面的矩陣方程疊加，得到：系統(tǒng)總節(jié)點力（內(nèi)力）與節(jié)點位移的關(guān)系系統(tǒng)特性。c. 代入節(jié)點平衡條件，得系統(tǒng)節(jié)點平衡方程：22321122111fFffFfF注意：總剛度矩陣就是單元剛度矩陣擴大后的疊加！第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法3) 給定載荷和約束條件下的求解 設(shè)邊界條件為： 則系統(tǒng)平衡方程為：PFFu3210第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法該方程展開后分為2個部分：未知量為2個節(jié)點位移和一個支反力32,uu1F解上面方程得：第二章第二章 桿

6、和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 注意：注意： 上述彈簧系統(tǒng)的分析求解原理和過程就是有限元上述彈簧系統(tǒng)的分析求解原理和過程就是有限元法求解連續(xù)體力學問題時對離散后系統(tǒng)的分析求法求解連續(xù)體力學問題時對離散后系統(tǒng)的分析求解原理和過程。解原理和過程。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法例題1：彈簧系統(tǒng)已知條件：求：（a） 系統(tǒng)總剛度矩陣 （b） 節(jié)點2，3的位移 （c） 節(jié)點1、4的反力 （d） 彈簧2中的力第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法解：（a）各單元的剛度矩陣為：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法應(yīng)用前面的疊加方法，直接得到彈簧

7、系統(tǒng)的總剛度矩陣：或總剛度矩陣特征：對稱、奇異、帶狀、稀疏第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法由前面的做法，可得到彈簧系統(tǒng)的節(jié)點平衡方程：（b）先施加位移邊界條件 將 帶入平衡方程后，第2，3方程為：041 uu第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法求解得：222232()20032200()Fkk uuN （拉力）第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法對圖示彈簧系統(tǒng)，求其總剛度矩陣第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法要點回顧要點回顧1、彈簧單元剛度方程的建立、彈簧單元剛度方程的建立jiijikukuuukFf)(jiijjk

8、ukuuukFf)(jijiuukkkkffkdf 彈簧變形平衡彈簧變形平衡第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法2、彈簧系統(tǒng)的集成、彈簧系統(tǒng)的集成1 1）列節(jié)點平衡方程法）列節(jié)點平衡方程法22321122111fFffFfF322233222111221111)(ukukFukukkukFukukFFKD單元特性系統(tǒng)節(jié)點平衡條件系統(tǒng)平衡方程第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法相加相加22321122111fFffFfF系統(tǒng)節(jié)點平衡條件單元特性FKD系統(tǒng)節(jié)點平衡方程引入系統(tǒng)節(jié)點平衡條件引入系統(tǒng)節(jié)點平衡條件2）單元方程擴大相加法）單元方程擴大相加法第二章第二章

9、桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法2.2.2.2.1 1 一維等截面一維等截面桿單元桿單元桿單元桿單元2.2.2.2.2 2 二維空間二維空間桿單元桿單元如何用直接法求桿單元特性？如何用直接法求桿單元特性？如何用公式法導出桿單元特性？如何用公式法導出桿單元特性？什么是虛功原理？什么是虛功原理？桿單元剛度矩陣的特點？桿單元剛度矩陣的特點？什么叫坐標變換？什么叫坐標變換？如何對節(jié)點位移向量進行坐標變換？如何對節(jié)點位移向量進行坐標變換？如何對剛度矩陣進行坐標變換？如何對剛度矩陣進行坐標變換？應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例二維桁架二維桁架 2.2 2.2 桿桿單元和單元和平面桁架平面桁架第二章第二章 桿和梁結(jié)

10、構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法jiuud單元節(jié)點位移：L 桿長A 截面積E 彈性模量jifff單元節(jié)點力：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：應(yīng)變關(guān)系：dxduE)()()(xxxuu桿單元位移桿單元位移桿單元應(yīng)變桿單元應(yīng)變桿單元應(yīng)力桿單元應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變位移關(guān)系：位移關(guān)系：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿應(yīng)變：L桿應(yīng)力：LEE桿內(nèi)力：kLEALEAAF桿的軸向剛度：LEAk （一）直接法導出單元特性 桿單元伸長量：ijuu 第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法軸向拉壓變形模式下，該桿單元的行為與彈簧單元相同，因軸向拉

11、壓變形模式下，該桿單元的行為與彈簧單元相同，因此桿單元的剛度矩陣為：此桿單元的剛度矩陣為：比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk 第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法（二）公式法導出桿單元特性方程（虛功原理）單元上假設(shè)近似位移函數(shù)單元上假設(shè)近似位移函數(shù)位移模式位移模式單元上位移假設(shè)為線性多項式函數(shù)：單元上位移假設(shè)為線性多項式函數(shù)：xaau10用插值法把多項式中的待定系數(shù)用插值法把多項式中的待定系數(shù) 轉(zhuǎn)化為待定節(jié)點位轉(zhuǎn)化為待定節(jié)點位移移u ui i,u,uj j, ,從而

12、得到從而得到插值形式插值形式的假設(shè)位移函數(shù)的假設(shè)位移函數(shù)單元位移模單元位移模式如下：式如下：01,aa( )( )( )iijju xN x uNx u( )1,( )ijxxNxNxLL上式中：形函數(shù)。中稱為形狀函數(shù)，簡稱是插值基函數(shù)，有限元jiNN ,第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 單元位移模式寫成矩陣形式：NdjijiuuNNu( )( )( )iijju xN x uNx u注意：位移模式采用一次多項式是因為單元只有2個軸向位移分量， 只能對應(yīng)2個多項式系數(shù)。稱稱為為單單元元形形函函數(shù)數(shù)矩矩陣陣。,jiNNN式中第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限

13、元法單元應(yīng)變：BddNdxddxdu單元應(yīng)變矩陣 B單元應(yīng)力：BdEE 下面應(yīng)用彈性體虛功原理導出單元剛度方程。NdjijiuuNNu( )( )1/1/ijdN xNxLLdx B第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 彈性體受力平衡時，若發(fā)生虛位移，則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能。平衡條件對于桿單元，定義虛位移如下：jiuud節(jié)點虛位移：單元虛位移：dNu節(jié)點力（外力）虛功：fdT則單元虛應(yīng)變：dB)( udxdq虛位移原理第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法單元虛應(yīng)變能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT對桿單元應(yīng)用虛功原理，得：ddBB

14、dfdTdVEVTT考慮到 的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT這就是剛度矩陣的一般形式，可推廣到其他類型的單元。桿單元剛度矩陣第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法對于上面的桿單元：與前面直接法得到的公式相同！VdVEBBkT第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法（三）關(guān)于桿單元的討論（三）關(guān)于桿單元的討論1 1）在單元坐標系下，每個節(jié)點一個未知位移分量，單元共有）在單元坐標系下，每個節(jié)點一個未知位移分量，單元共有 2 2個自由度。個自由度。2 2）單元剛度矩陣元素的物理意義：）單元剛度矩陣元素的物理意義：剛度方程中令：剛度方程中令：01

15、jiuu2111kkffjijijiuukkkkff22211211單元剛度方程第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 所以，單元剛度矩陣的第i（i=1,2)列元素表示當維持單元的第i個自由度位移為，其它自由度位移為時，施加在單元上的所有節(jié)點力分量。）單元剛度矩陣對稱、奇異、主對角元素恒正。2111kkffji第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法（四）舉例（四）舉例例1：求圖示段桿中的應(yīng)力。解：系統(tǒng)分為個桿單元，單元之間在節(jié)點連接。 單元剛度矩陣分別為：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法參考彈簧系統(tǒng)的方法，裝配系統(tǒng)的有限元方程（平衡方程）：

16、321321110132022FFFuuuLEA引入邊界位移約束和載荷：系統(tǒng)平衡方程化為：31200110132022FPFuLEA第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法上述方程組中刪除第，個方程，得到：位移解：0103321EAPLuuu單元1應(yīng)力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA解得：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法單元2應(yīng)力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中單元應(yīng)力的計算采用了材料力學中的方法,與采用有限元單元應(yīng)力公式 的結(jié)果相同。2）對錐形桿，單元截面積可用平均值

17、。3）求應(yīng)力之前需要求出節(jié)點位移有限元位移法。BdEE第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法例題2：已知：求：桿兩端的支反力解第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法（一）2-D空間中桿單元（平面桁架）1-D空間桿單元 2- D空間桿單元 坐標變換第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法原來1-D空間中的桿坐標系作為局部坐標系iiuv（ ， ）iivu ,( , )x yYX,第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法向量的坐標變換矩陣為：lmmlTTTT1顯然是正交陣，即：2. 單元節(jié)點位移向量的變換式或Tdd T00TT3. 單元節(jié)點

18、力向量的變換式：Tff 第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法1. 節(jié)點位移向量的坐標變換：iidTd第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法4.剛度矩陣的坐標變換局部坐標系下桿單元的剛度方程為：擴充到4自由度形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk寫成矩陣符號形式：Tdd Tff 第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法利用前面的向量坐標變換式，得：TfTdk考慮到變換矩陣的正交性，得：fTdkTT總體坐標系中的桿單元剛度矩陣為：TkTkTTfTdkfkd 用單元剛度矩陣裝配系統(tǒng)剛度矩陣的方法與1-

19、D情況相同，按節(jié)點號對子塊重新排列。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法5. 單元應(yīng)力計算：即：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法（二）例題平面桁架由2根相同的桿組成（E，A，L）。求：1）節(jié)點2位移2）每根桿應(yīng)力解：1. 求出每個單元在總體坐標下的剛度矩陣：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法單元1：1-22245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法

20、桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法單元2：2-32222135ml，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法2. 將單元1，2的剛度矩陣擴大到系統(tǒng)規(guī)模（6階）疊加得到總剛度矩陣，再列出系統(tǒng)平衡方程：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法3. 引入邊界約束和載荷：則上面6階有限元方程凝聚為：212220022PPvuLEA4. 解出未知位移：2122PPEALvu第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法

21、桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法5. 按公式計算桿應(yīng)力：得到：)(220011112221211PPAPPEALLE)(220011112221212PPAPPEALLE第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法平面內(nèi)一般梁單元簡單梁單元（彎曲變形）三維空間梁單元簡介2.3.12.3.22.3.3結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及其性質(zhì)結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及其性質(zhì)梁單元的單元特性梁單元的單元特性梁單元的單元剛度矩陣梁單元的單元剛度矩陣離散結(jié)構(gòu)的整體分析離散結(jié)構(gòu)的整體分析平面剛架的整體分析平面剛架的整體分析單元與節(jié)點單元與節(jié)點局部坐標系下的平面梁單元局部坐標系下的平面梁單元單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換三

22、維空間梁單元剛度矩陣三維空間梁單元剛度矩陣 2.3 2.3 梁梁單元和單元和平面剛架平面剛架第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法一、離散化，節(jié)點位移與節(jié)點載荷一、離散化，節(jié)點位移與節(jié)點載荷對圖對圖(a)(a)直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為3 3段，每段段，每段為一個單元。單元之間和端點是節(jié)點。梁單元節(jié)點的為一個單元。單元之間和端點是節(jié)點。梁單元節(jié)點的物理模型是物理模型是“焊接焊接”。ifi 梁上任一節(jié)點梁上任一節(jié)點i i處有處有2 2個位移分量：個位移分量： 撓度撓度 及轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)角 。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 一個節(jié)

23、點位移用列陣表示為：一個節(jié)點位移用列陣表示為： Tiiiiiff i稱為節(jié)點稱為節(jié)點i i的的節(jié)點位移節(jié)點位移。對應(yīng)節(jié)點位移分量，梁上任一節(jié)點對應(yīng)節(jié)點位移分量，梁上任一節(jié)點i i的載荷也有的載荷也有2 2項：項： 橫向力橫向力 和彎矩和彎矩 ，稱為，稱為廣義力廣義力。iZiM第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點上。梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點上。 iQ稱為節(jié)點稱為節(jié)點i i的節(jié)點載荷。的節(jié)點載荷。 TiiiiiMZMZQ結(jié)構(gòu)上一個節(jié)點的載荷用列陣表示為：結(jié)構(gòu)上一個節(jié)點的載荷用列陣表示為：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的

24、有限元法二、單元特性分析建立簡單梁單元的單元剛度方程v 單元有2個節(jié)點，節(jié)點局部編號：i，j 。每節(jié)點有2個位移分量，單元共有4個位移分量4個自由度；v 分析一個從上述離散梁結(jié)構(gòu)中取出的典型梁單元 e。單元長度l，彈性模量E，截面慣性矩為J。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 Tjjiieff稱為單元e的單元節(jié)點位移列陣（向量）。 ev 單元節(jié)點位移：v 結(jié)構(gòu)中一個單元一般在結(jié)構(gòu)中一個單元一般在節(jié)點處節(jié)點處的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分對該單元的作用力，稱為對該單元的作用力，稱為單元節(jié)點力單元節(jié)點力。該單元每節(jié)點。該單元每節(jié)點2 2個節(jié)個節(jié)點力分量：剪

25、力點力分量：剪力q q，彎矩，彎矩m m（分別與節(jié)點的（分別與節(jié)點的2 2個位移分量對個位移分量對應(yīng)）。應(yīng)）。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v 注意：注意：v如圖所示，節(jié)點位移和節(jié)點力分量的正方向與單元局部坐標軸正方向一致。因此，節(jié)點力正方向與材料力學中內(nèi)力正方向的定義不同！v節(jié)點力是梁中的內(nèi)力；節(jié)點載荷是梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點上受到的外力。 Tjjiiemqmqp稱為單元e的單元節(jié)點力列陣（向量）。 ep單元節(jié)點力：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 2、單元特性的建立v與桿單元類似，一個梁單元的變形是由節(jié)點位移決定的，對于一與桿單元類似，一個梁單元的變形是

26、由節(jié)點位移決定的，對于一個受力平衡的單元，一定的節(jié)點位移總是與一定節(jié)點力相聯(lián)系，個受力平衡的單元，一定的節(jié)點位移總是與一定節(jié)點力相聯(lián)系，這個關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。這個關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。v 下面根據(jù)材料力學和單元剛度矩陣元素物理意義建立梁單元特性。下面根據(jù)材料力學和單元剛度矩陣元素物理意義建立梁單元特性。在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時節(jié)點力和節(jié)點位移之在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時節(jié)點力和節(jié)點位移之間有線性關(guān)系：間有線性關(guān)系：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq44434241343332312423222114131211

27、v簡記為： eeekp第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法上式就是梁單元的剛度方程。上式就是梁單元的剛度方程。 稱為單元剛度矩陣，其中每個元素都是稱為單元剛度矩陣，其中每個元素都是常數(shù)。常數(shù)。 ek為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)：為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)：00014321uuuu413121114321aaaassss方便起見，節(jié)點力和節(jié)點位移分量用新的符號表示，剛度方程為方便起見，節(jié)點力和節(jié)點位移分量用新的符號表示，剛度方程為：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss（這里1，

28、2，3，4是單元自由度序號）第第1 1列剛度元數(shù)就是第列剛度元數(shù)就是第1 1個節(jié)點位移分量為個節(jié)點位移分量為1 1，其他位移分量皆為，其他位移分量皆為0 0時所有時所有節(jié)點力分量。節(jié)點力分量。剛度方程第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法按上述物理意義求剛度矩陣元素：按上述物理意義求剛度矩陣元素： 0001e413121114321aaaassss按材料力學懸臂梁變形公式求節(jié)點力如下：按材料力學懸臂梁變形公式求節(jié)點力如下：撓度：撓度：EJlsEJlsu23122311轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：EJlsEJlsu221220聯(lián)立解出：聯(lián)立解出：21221131612alEJsalEJs再由梁單

29、元的靜力平衡條件得：再由梁單元的靜力平衡條件得：41221431313612alEJslssalEJss梁單元位移至此已求出剛度矩陣的第至此已求出剛度矩陣的第1 1列元素。列元素。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法再設(shè)： 0010e423222124321aaaassss4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：lEJalEJa4622212lEJalEJa2642232梁單

30、元變形梁單元變形由剛度方程可得：由剛度方程可得：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法同樣的方法可以求出其余同樣的方法可以求出其余2列元素，從而求出單元剛度矩陣：列元素，從而求出單元剛度矩陣： 2222346266126122646612612lllllllllllllEJke顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁單元的剛度矩陣具有如下性質(zhì)：顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁單元的剛度矩陣具有如下性質(zhì)：1）對稱性；）對稱性；2）奇異性；）奇異性；3）主對角元素恒正）主對角元素恒正。 eeekpv剛度矩陣求得后，單元特性就完全確定：剛度矩陣求得后，單元特性就完全確定：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)

31、的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v采用矩陣分塊方法和運算規(guī)則，對梁單元的剛度方程按節(jié)點進行分塊。采用矩陣分塊方法和運算規(guī)則，對梁單元的剛度方程按節(jié)點進行分塊。單元節(jié)點力列陣分塊：單元節(jié)點力列陣分塊： ejieppp ejie單元節(jié)點位移列陣分塊：單元節(jié)點位移列陣分塊：分塊形式的單元剛度矩陣：分塊形式的單元剛度矩陣： ejjjiijiiekkkkk上面每一子塊均為上面每一子塊均為21子列陣。子列陣。 每一子塊均為每一子塊均為22子矩陣子矩陣 3、單元剛度方程的分塊 eeekp第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v將上式按分塊矩陣乘法展開，得兩個矢量方程（共將上式按分塊矩陣乘法展開

32、，得兩個矢量方程（共4個代數(shù)方程）：個代數(shù)方程）：ejeijeieiieikkpejejjeiejiejkkp因此，單元剛度方程分塊形式表示為：因此，單元剛度方程分塊形式表示為：ejiejjjiijiiejikkkkpp eeekpv從上面方程可以看出梁單元剛度矩陣子塊的物理意義：相關(guān)節(jié)從上面方程可以看出梁單元剛度矩陣子塊的物理意義：相關(guān)節(jié)點位移對對應(yīng)節(jié)點力的貢獻。點位移對對應(yīng)節(jié)點力的貢獻。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v 上面按分塊形式表示的單元剛度方程上面按分塊形式表示的單元剛度方程節(jié)點力節(jié)點力節(jié)點位移關(guān)系在整體分析中集成單元特性時更加簡節(jié)點位移關(guān)系在整體分析中集成

33、單元特性時更加簡潔，在有限元分析中廣泛采用。潔，在有限元分析中廣泛采用。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法三、離散結(jié)構(gòu)的整體分析121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp343344433433343kkkkpp設(shè)已知分塊形式的各單元特性方程：設(shè)已知分塊形式的各單元特性方程：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 以離散結(jié)構(gòu)的各節(jié)點作為隔離體，以節(jié)點以離散結(jié)構(gòu)的各節(jié)點作為隔離體，以節(jié)點2為例，建立其平衡方程。為例，建立其平衡方程。單元節(jié)點力的反作用力外載荷單元節(jié)點力單元節(jié)點力v 節(jié)點節(jié)點2的受力分為兩類：的受力分為兩

34、類： 1）外載荷：）外載荷： 2）單元（）單元（1）、（）、（2）上節(jié)點力的反作用力：）上節(jié)點力的反作用力：22,MZ22221212,mqmq第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v 由節(jié)點由節(jié)點2的靜力平衡條件得：的靜力平衡條件得： 221222221212222ppmqmqMZQ單元節(jié)點力的反作用力外載荷單元節(jié)點力單元節(jié)點力節(jié)點節(jié)點2 2的外載荷的外載荷= =節(jié)點節(jié)點2 2對其所有相連單元的節(jié)點力之和（節(jié)點總內(nèi)力）對其所有相連單元的節(jié)點力之和（節(jié)點總內(nèi)力）也就是節(jié)點也就是節(jié)點2 2所受外載荷所受外載荷 要分配到相連的單元上。要分配到相連的單元上。2Q第二章第二章 桿和梁結(jié)

35、構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v由前面給出的單元（由前面給出的單元（1 1）、（）、（2 2）分塊形式）分塊形式單元剛度方程代入節(jié)點單元剛度方程代入節(jié)點2 2的平衡方程：的平衡方程：121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp 32232222122112122122)(kkkkppQ 121221112112kkp 232232222222kkp第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法v同理，由節(jié)點3的平衡可得： 43343333233223233233)(kkkkppQv由節(jié)點1、4的平衡得： 21121111111kkpQ 4344

36、3343344kkpQ43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 將上面4個節(jié)點的平衡方程合并，寫成矩陣形式得：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 QK上式簡寫為：上式簡寫為： QK 結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）有限元平衡方程結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）有限元平衡方程 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法l 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元剛度矩陣擴大到整體規(guī)模后疊結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元剛

37、度矩陣擴大到整體規(guī)模后疊加而成，方法同前面的彈簧單元和桿單元。加而成，方法同前面的彈簧單元和桿單元。l 由于單元剛度矩陣在擴大和疊加過程中，其具有的性質(zhì)（對稱由于單元剛度矩陣在擴大和疊加過程中，其具有的性質(zhì)（對稱、奇異、主對角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持、奇異、主對角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持這些性質(zhì)。這些性質(zhì)。l 總剛度矩陣中有大量元素為總剛度矩陣中有大量元素為0 0，因此矩陣具有稀疏性，因此矩陣具有稀疏性l 非零元素沿主對角線呈帶狀分布（節(jié)點編號滿足一定條件）。非零元素沿主對角線呈帶狀分布（節(jié)點編號滿足一定條件）。 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的討論：第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的

38、有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 總之，從彈簧、直桿和梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩總之，從彈簧、直桿和梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的特點可以歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的陣的特點可以歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的性質(zhì)如下：性質(zhì)如下： 1 1）對稱性；）對稱性； 2 2）奇異性；）奇異性； 3 3）稀疏性；）稀疏性； 4 4）非零元素帶狀分布）非零元素帶狀分布第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 結(jié)構(gòu)有限元平衡方程的討論：43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各

39、節(jié)點的平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的總節(jié)點力（各節(jié)點對相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每總節(jié)點力（各節(jié)點對相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點位移對該行對應(yīng)總節(jié)點力的貢獻行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點位移對該行對應(yīng)總節(jié)點力的貢獻總總剛子塊的物理意義。剛子塊的物理意義。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程右端是各節(jié)點外載荷，左端是由節(jié)點位移和單元剛度平衡方程右端是各節(jié)點外載荷，左端是由節(jié)點位移和單元剛度矩

40、陣子塊疊加計算得到的總節(jié)點力。因此，有限元平衡方程表矩陣子塊疊加計算得到的總節(jié)點力。因此，有限元平衡方程表征了系統(tǒng)各節(jié)點所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反作用總力（征了系統(tǒng)各節(jié)點所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反作用總力（總節(jié)點力）之間的平衡?？偣?jié)點力）之間的平衡。結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為：結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為： 總節(jié)點力（內(nèi)力）總節(jié)點力（內(nèi)力） = = 節(jié)點外載荷。節(jié)點外載荷。第二章第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk對于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷對于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進行約束處理，（支反力），因此，平衡方程求解前必須進行約束處理，分離出關(guān)于未知位移的方程進行求解。然后再用求出的位分離出關(guān)于未知位移的方程進