微分方程及其定解條件、等效積分

1、這一部分里，我們將看到以下內容幾個典型物理問題及其數(shù)學描述（微分方程和定解條件）微分方程的類型微分方程的邊界條件微分方程及其邊界條件的等效積分原理幾個典型的問題弦振動問題的微分方程及定解條件傳熱問題的微分方程及定解條件位勢方程及定解條件弦是一種抽象模型，工程實際中，可以模擬繩鎖、電纜等結構，如遠距離輸電線路、一些橋梁的懸索、拉鎖等；幾何上可以用一條線段（不一定是直線段）來表示弦。這里所說的弦的振動是弦的微小橫振動，一定長度的、柔軟、均勻的弦，兩端拉緊，在垂直于弦線的外力下做微小橫振動，弦的運動發(fā)生在同一平面內，弦的各點位移與平衡位置垂直x,u x t弦的長度l，線密度為 ，弦的張力為TO弦振動

2、的微分方程為：22222uuaftx2/aTf是垂直于平衡位置的外力這個微分方程雖然描述了弦振動時各點的運動狀態(tài)，但單純依靠這個微分方程，我們還不能唯一確定弦的振動，必須給出定解條件，定解條件主要有兩種，一種是初始時刻弦的運動狀態(tài)，稱為初始條件： ,00,00u xxxluxxxlt初始時刻各點的位移初始時刻各點的速度另外一種定解條件是邊界條件，對于弦振動問題來說給定弦的兩個端點的運動規(guī)律，一般來說邊界條件有三種：第一種給定弦端點的位移 120,utgtu l tgt第二種給定位移梯度的端點值 0,uttxul ttx位移的梯度表示弦線的撓度第三種邊界條件是端點的位移和速度的線性組合是一個已知

3、函數(shù)，對于弦振動 010,0,uTtk uttxuTl tk u l ttx這個邊界條件的物理意義是，弦的端點固定在兩個彈性支撐上，兩個彈性支撐的彈性系數(shù)為：k0，k1以上是弦振動的數(shù)學模型，是由微分方程與相應的定解條件（初值條件，邊值條件）共同組成的，這一樣問題又稱為混合初邊問題。定解條件中只有初值條件的問題稱為初值問題。定解條件中只有邊值條件的，稱為邊值問題。下面來看第二個典型問題：熱傳導問題三維非定常熱傳導問題的微分方程為：0TTTTckkkftxxyyzzck0f物體的比熱容物體的密度物體的熱傳導系數(shù)物體內部熱源強度與弦振動問題類似，要想確定物體內部的溫度場，除了上面那個微分方程以外，

4、還需要定解條件，定解條件也包括兩種：初值條件和邊值條件初值條件，是初始時刻物體的溫度場0, ,tTx y z邊值條件也有三種第一種：給定邊界的溫度, ,Tx y z第二種：給定邊界的熱流量, , ,Tx y z tn第三種：給定邊界的熱流量和溫度線性組合, ,ThTx y znxyzTTTTTnnnnxyz n下面來看第三個典型問題：位勢方程在三維熱傳導問題中，如果溫度不隨時間變化，即定常熱傳導，三維熱傳導方程可以寫為00TTTkkkfxxyyzz假定物體是均勻的，那么這個方程可以進一步簡化222222TTTgxyz這個方程又稱為泊松（Poisson）方程再進一步，如果均勻物體中沒有熱源，穩(wěn)態(tài)

5、熱傳導方程為2222220TTTxyz這就是我們熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）以上給出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡爾坐標系下的形式，下面給出它們的算子形式，它們在其它坐標也成立系2TTg 20TT 泊松方程拉普拉斯方程其中，在笛卡爾坐標系下：xyz ijk 稱為哈密頓（Hamilton）算子2222222xyz 稱為拉普拉斯算子從上面的算子表達式，再回憶我們學過的高等數(shù)學的知識，哈密頓算子運算的結果，是一個標量場的梯度是一個向量場，而反過來說，如果一個向量場是一個標量場的梯度，這個向量場稱為有勢場，這個標量場稱為有勢場的位勢場或位勢函數(shù)在定常熱傳導問題中，溫度場的梯度為TTTTxyz

6、ijk 也就是說，這個向量場是溫度場的梯度，是一個有勢場而溫度場是這個有勢場的位勢場或位勢函數(shù)，這就是泊松方程和拉普拉斯方程稱為位勢方程的原因現(xiàn)在我們來看位勢方程的定解條件。由于待求變量與時間無關，不需要初值條件因此位勢方程的定解條件類似三維熱傳導方程的三種邊界條件，, ,Tx y z, , ,Tx y z tn, ,ThTx y zn現(xiàn)在我們來回顧一下剛才介紹的幾個微分方程22222uuaftx0TTTTckkkftxxyyzz222222TTTgxyz2222220TTTxyz第一個微分方程，方程兩邊微分的最高階數(shù)都是2，如果做移項整理22222uuaftx這個方程的形式和雙曲線方程的形式

7、很類似2222xycab這類的方程又稱為雙曲型微分方程再看第二個方程，現(xiàn)在加上物體均勻，為了幾何上更直觀這個方程可以，我們寫出一維的情況202TTckftx這個方程形式和拋物線方程形式類似2yaxc這類方程又稱為拋物型微分方程最后再看位勢方程，為了幾何直觀，我們寫成二維的情況2222TTgxy這個方程形式和橢圓方程形式類似22221xyab這類方程又稱為橢圓型微分方程微分方程主要就分為這三個類型：拋物型；雙曲型；橢圓型請大家注意，我們并不是要討論三種類型的微分方程的準確定義。準確的定義，大家可以參考數(shù)學物理方程的有關書籍和資料有限元方法特別適合求解橢圓微分方程或方程組。現(xiàn)在來總結一下邊界條件，

8、我們看到，在以上的三個典型問題的微分方程中，給定的邊界條件都有三種：第一種是給定待求函數(shù)在邊界處的數(shù)值，這種邊界條件稱為第一邊界條件、Direchlet邊界條件、強制邊界條件第二種是給定待求函數(shù)在邊界處梯度或方向導數(shù)，這種邊界條件稱為第二邊界條件、Neumann邊界條件第三種是給定邊界上待求函數(shù)及其方向導數(shù)的線性組合，這種邊界條件稱為第三邊界條件我們總結一下這一小節(jié)的內容描述物理過程的微分方程主要分為三個類型：橢圓型、雙曲型、拋物型有限元法特別適合求解橢圓型微分方程邊界條件主要有三種：第一邊界條件（Direchlet條件、強制邊界條件）、第二邊界條件（Neumann條件）和第三邊界條件思考題：

9、這小節(jié)中，三維熱傳導問題的微分方程和位勢方程、以及哈密頓算子 給出的都是笛卡爾坐標下的形式，試查閱資料，并推導這些微分方程和算子在柱坐標和球坐標系下的表達式。拓展前面我們看到了三個典型問題的微分方程，實際中遇到的、使用的、包括我們自己在分析問題時建立的微分方程是非常多的，為了便于研究，我們采用一種符號表示法來表示微分方程，例如： 0A這個表達式代表任意一個微分方程，就像我們用f(x)表示任意函數(shù)的道理一樣,同樣，邊界條件我們也可以用符號表達 0B例如，在一個平面區(qū)域內的拉普拉斯方程22220 xy并且有邊界條件0 22220Axy 0B這是一個微分方程和一個邊界條件，單個待求函數(shù)的情況，這種表

10、示方法也可以拓展到微分方程組，多個待求函數(shù)和多個邊界條件的情況?？梢杂孟蛄糠杹肀硎敬蠼夂瘮?shù)、微分方程組和邊界條件T12,nu uuu帶求解函數(shù)向量微分方程組向量 TT12,0mmAAAA uuuu邊界條件向量 TT12,0kkBBBB uuuu例如，在一個平面區(qū)域內的拉普拉斯方程22220 xy現(xiàn)在邊界條件有兩個，在一部分邊界上給定函數(shù)值，另一部分的邊界上給定函數(shù)方向導數(shù)，這樣 22220 xyA 00qkqn B了解微分方程的抽象數(shù)學表達對理論研究是很有幫助的，因為在研究微分方程的一般性質或推導一些微分方程的一般規(guī)律時，我們不可能對每個微分方程都推導一遍，這時抽象表達是 就發(fā)揮重要作用了

11、。下面我們就將見到一種微分方程的普遍規(guī)律或者說普遍的變換形式等效積分形式雖然是要推導一個普遍規(guī)律，但為了便于說明，我們還是從一個簡單的特例出發(fā)，這個特列就是剛才提到的二維拉普拉斯方程及其邊界條件 22220 xyA 00qkqn B這個二維拉普拉斯方程的求解域是一個平面區(qū)域xy在求解域內的一個小區(qū)域內拉普拉斯方程也是成立的，也就是22220 xyxy 如果方程兩邊同時乘以這個小區(qū)域的面積，結果會是這樣222222220Sx yxyxyxy 設想把求解域劃分成若干個小區(qū)域，也就是說求解域的面積等于這些小區(qū)域面積和12niiiiiSSSSSxy 對于每一個小區(qū)域來說，剛才的推導也是成立的22222

12、2220iiiiiSx yxyxyxy 現(xiàn)在我們把它對所有小區(qū)域求和現(xiàn)在我們把它對所有小區(qū)域求和22220iiixyxy 再進一步，如果我們取的小區(qū)域趨向無窮小，也就是0;0iixy回憶一下，高等數(shù)學中定積分的概念，立刻就可以得到2222222200limd d0iiiixiyxyx yxyxy 對于邊界條件我們同樣可以做類似的分析2222d ddd0qx ylkqlxyn上面的積分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其邊界條件成立，拉普拉斯方程從以下這個角度看待222211 0 xy現(xiàn)在，我們把1換成其他的，任意的函數(shù)，同樣成立222200vvxy對于邊界條件也可以這樣0v按照剛才的思路，同樣可以

13、得到一個積分等式0v kqn2222d ddd0qvx yvlv kqlxyn這個方程與拉普拉斯方程及其邊界條件是等效的，也就是說，只要拉普拉斯方程成立這個積分式就成立，反過來只要這個積分式成立，拉普拉斯方程及其邊界條件就成立。這就是拉普拉斯方程及其邊界條件的等效積分形式。我們可以把它推廣到一般情況?，F(xiàn)在，我們來看一般的微分方程組的情況，之前曾介紹過，微分方程組及其邊界條件可以表示為： TT12,0mmAAAA uuuu TT12,0kkBBBB uuuu像上面拉普拉斯方程等效積分形式分析的過程一樣，對微分方程組中每一個微分方程，以下的積分都是成立的 1122d0,d0,d0nnv Av Av

14、 A uuu12,nv vv都是任意的函數(shù)，把這些積分加起來 1122d0nnv Av Av A uuu對于邊界條件也一樣，只是積分是沿邊界積分 1122d0kkv Bv Bv B uuu上面這兩個積分，我們可以寫成矢量形式 T1122dd0nnv Av Av A uuuv A u T1122dd0kkv Bv Bv B uuuv B uTT1212,nnv vvv vvvv這兩個積分加起來，就得到想要得到的結果了 TTdd0 v A uv B u這就是微分方程組等效積分形式的一般式，它與原微分方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程為例進行討論的情況一樣。微分方程（組）的等效積分形式，是有限元方

15、法的理論基礎之一，推導有限元求解方程的方法之一就是從微分方程（組）的等效積分出發(fā)，由于與原微分方程的等效性，從而保證了有限元求解的正確性。上面分析中對等效積分中使用的任意函數(shù)以及微分方程的解的性質沒有做出任何限定，事實上，對它們是有一定限制的，那就是它們應該使得等效積分式中的被積函數(shù)具有可積性或者說使積分能夠進行計算 TTdd0 v A uv B u在這個積分式中， 要使這個積分存在，不能出現(xiàn)無窮大的情況, ,v v u要達到這個目的，就要對 做出一些限制, ,v v u對 ，由于是我們可以選擇的函數(shù)，那就選擇那些單值，且在求解域和求解域邊界上可積分的函數(shù)就可以, v v對 ，雖然是待求解，我

16、們也可以定性的給出它的一個性質，它的選擇要根據(jù)微分方程的階數(shù)來選擇，如果微分方程（組）中最高微分階次為n，那么待求解必然是一個具有n-1階連續(xù)的導數(shù)，這樣的函數(shù)也稱為具有Cn-1連續(xù)性。這可以用于指導近似解或近似函數(shù)的選擇。u微分方程的最高階數(shù)對待求解提出了要求，但這種要求有時過于苛刻，例如下面這個微分方程：444422420wwwxxyx這個微分方程的等效積分若可以計算，則要求待解函數(shù)具有3階連續(xù)偏導數(shù)。這個要求太過嚴格，實際上只要待求解函數(shù)的二階偏導數(shù)為常數(shù)，這個微分方程就已經(jīng)得到滿足了，只需二階連續(xù)導數(shù)就可以了，如果能有辦法降低偏微分方程的階數(shù)，就可以降低對待求解函數(shù)連續(xù)性的要求了。 T

17、Tdd0 v A uv B u從微分方程等效積分形式出發(fā)，如果要降低等效積分中微分方程的階數(shù)要怎么辦呢？通過分步積分的方法可以降低等效積分中微分方程的階數(shù)，代價是對 進行微分，等于說降低對待求函數(shù)的要求，卻提高了對 連續(xù)性的要求。TvTvTvTv我們用一個一維問題的微分方程來說明這個問題。一個微分方程22d001duuxxx這個微分方程的等效積分形式2211122000ddddd0dduuvuxxvxv uxxxx 要求待求解函數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù)，現(xiàn)在對二階導數(shù)部分進行分步積分111000dd ddd0dd duv uvxv uxxxxx 經(jīng)過這樣的分步積分之后，對待求函數(shù)的要求由原來的具有一

18、階連續(xù)導數(shù)，下降為連續(xù)可導，而對函數(shù)v的要求則有原來的單值可積提高為連續(xù)可導。對于二維、三維的情形，分步積分可能復雜一些，但基本思想是一致的，現(xiàn)在把這種思想拓展到一般情況。類似之前用符號表達微分方程一樣，我們把對 中每一個函數(shù)的微分運算用一個符號來表示，那么等效積分分步積分后的表達式可以寫為：TvTv d0TTd Cv D uEv F u這就是等效積分的“弱”形式對于二維和三維的情況，直接從分步積分的方法推導等效積分的“弱”形式，可能有些困難，可以利用數(shù)學分析中“格林公式”和“高斯公式”推導。最后還有一個小問題，在等效積分“弱”形式的推導過程中，由于分步積分，一方面使得在積分項中待求函數(shù)的最高

19、微分階數(shù)降低了，同時還產生了另外一項例如，之前介紹的一維問題里面111000dd ddd0dd duv uvxv uxxxxx 第一項，就是由于分布積分而產生的，一般來說，這一項往往可以合并掉或者消去，因此在等效積分“弱”形式的一般表達式里，并沒有專門寫出這一項?？偨Y與思考請大家理解用一般符號表示微分方程及邊界條件的方法請大家理解微分方程等效積分的概念，弄清楚為什么等效積分與微分方程及其邊界條件是等效的請牢記，微分方程及其邊界條件的等效積分是有限元的重要理論基礎微分方程等效積分“弱”形式是從何而來，它與等效積分有什么關系？等效積分“弱”形式較之等效積分有什么好處？就是為什么要推導等效積分“弱”形式例題：二維導熱微分方程及其邊界條件的等效積分及等效積分“弱”形式。0kkQxxyy00qkqn 這個例子中，第一個邊界條件，我們已經(jīng)知道這是第一邊界條件或Direchlet邊界條件，在有限元或其他基于等效積分的近似解求解方法中，一般要事先選擇待求函數(shù)的近似函數(shù)，在選擇這個近似函數(shù)時，就事先滿足第一邊界條件了，相當于強制要求近似函數(shù)滿足第一邊界條件，因此這個邊界條件一般不出現(xiàn)在等效積分中，這也是為什么第一邊界條件又