工程電磁場之靜電場

1、第第 一一 章章靜靜 電電 場場第一章 靜電場Steady Electric Field基本方程、分界面上的銜接條件邊值問題、惟一性問題分離變量法鏡像法和電軸法電容和部分電容靜電能量與力環(huán)路定律、高斯定律電場強(qiáng)度和電位序下 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.0 序 靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應(yīng)用推廣到恒定電場,恒定磁場及時(shí)變場。本章要求 深刻理解電場強(qiáng)度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電容、能量、力的

2、各種計(jì)算方法。Introduction下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題邊界條件電位基本方程D 的散度基本物理量 E、D基本實(shí)驗(yàn)定律（庫侖定律）靜電場知識結(jié)構(gòu)E 的旋度下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.1.1 庫侖定律 (Coulombs Low)Electric Field Intensity and Electric Potential212021214RqqeFN (牛頓)1221FF適用條件：庫侖定律1.1 電場強(qiáng)度和電位圖1.1.1 兩點(diǎn)電荷間的作

3、用力點(diǎn)電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數(shù)120108.85F/m下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.1.2 電場強(qiáng)度 ( Electric Intensity )tqqzyxzyxt),(),(lim0FEV/m ( N/C ) 定義：電場強(qiáng)度 E 等于單位正電荷所受的電場力F（a） 單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度RtpRqqReFE204)(V/m4)(20rrrrrrrEqp) (430rrrrq圖1.1.2 點(diǎn)電荷的電場一般表達(dá)式為下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場 （b) n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 (

4、 矢量疊加原理 )（c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度RRqeE204ddkNkkkRqerE12041)(圖1.1.4 體電荷的電場圖1.1.3 矢量疊加原理元電荷產(chǎn)生的電場Nkkkkq130)(41rrrrSdldVqdd，下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場RSRSeE20d41RlRleE20d 41線電荷分布lqdd體電荷分布VqddSqdd面電荷分布RVRVeE20d41下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場矢量恒等式FFFCCC) (1) (1333rrrrrrrrrrrr0) (3) (133rrrrrrrrrr故0)(rE靜電場是無旋場1. 靜電場的旋

5、度1.1.3 旋度和環(huán)路定律 ( Curl and Circuital Law )304)(rrrrrEq點(diǎn)電荷電場304)(rrrrrEq取旋度0下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場2. 靜電場的環(huán)路定律電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場，是無旋場。由Stokes定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量dlsds ElE0說明l0dlE即下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.1.4 電位函數(shù) ( Electric Potential ) 負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標(biāo)系中1. E 與 的微分關(guān)系(電位的引入）,0E矢量恒等式0由zyxezeyex

6、E根據(jù)E與 的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點(diǎn) ( ) ( )00E?00E?下 頁上 頁返 回E所以第第 一一 章章靜靜 電電 場場2. 與 E 的積分關(guān)系圖1.1.6 E 與 的積分關(guān)系線積分00ddPPPPllE式中)ddd()(dzyxzyxzyxzyxeeeeeelddddzzyyxx000dPPPPPPUEl000ddPPPPPPlE所以下 頁上 頁返 回把兩點(diǎn)間的電位差定義為此兩點(diǎn)間的電壓，即 第第 一一 章章靜靜 電電 場場設(shè)P0為電位參考點(diǎn)，即 ，則P點(diǎn)電位為00P0dPPPlE電壓U的物理意義：靜電場中兩點(diǎn)間的電壓，等于由一點(diǎn)到沿任一條路徑另一點(diǎn)移動(dòng)單位電荷時(shí)電場力所作的功。

7、000ddPPPPPPlE 電位的物理意義靜電場中某點(diǎn)的電位，其物理意義單位電荷在電場力的作用下，自該點(diǎn)沿任一條路徑移至參考點(diǎn)（無限遠(yuǎn)）過程中電場力所作的功。第第 一一 章章靜靜 電電 場場3. 電位參考點(diǎn) 選定電位參考點(diǎn)的目的：使電場中每一點(diǎn)的電位具有確定的數(shù)值。C 設(shè)CE 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 電位參考點(diǎn)選擇原則例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位：Crq0400rC0rrq040C點(diǎn)電荷所在處不能作為參考點(diǎn)0RrRqrq0044RqC04場中任意兩點(diǎn)之間的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單。電位參考點(diǎn)可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。下 頁上 頁返 回第

8、第 一一 章章靜靜 電電 場場電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，為什么？見參考書電磁學(xué)專題研究P591P597下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場4. 疊加積分法計(jì)算電位 （已知電荷求電位）144)(030rrrrrrrEqqCqNiii1041)(rrr點(diǎn)電荷群CdqV041)(rrr連續(xù)分布電荷以點(diǎn)電荷為例)(40rrrqCq4)(0rrrlSVqd ,d ,d d式中相應(yīng)的積分原域。,lSV下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.1.5. 電力線與等位線（面）0d lEE 線微分方程zEyExEzyxddd

9、直角坐標(biāo)系當(dāng)取不同的 C 值時(shí)，可得到不同的等位線( 面 )。Czyx),(等位線(面)方程曲線上任一點(diǎn)的切線方向是該點(diǎn)電場強(qiáng)度 E 的方向。電位相等的點(diǎn)連成的曲面稱為等位面。1.1.7 電力線方程下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場電力線與等位線（面）的性質(zhì)：圖1.1.10 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.1.11 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場E 線不能相交；等 線不能相交；E 線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;E 線愈密處，場強(qiáng)愈大;E 線與等位線（面）正交。下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場解： 在球坐標(biāo)系中211202104)11(4rrrrqrrqp21221)co

10、s4(drdrr202044cosrrqdrpep所以用二項(xiàng)式展開，又有rd，得cos22drrcos21drr例1.2.1 畫出電偶極子的等位線和電力線 ( rd ) 。21222)cos4(drdrr圖1.1.8 電偶極子下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場)sincos2(430eeErprqErErrdd電力線方程 ( 球坐標(biāo)系 ) ：2sinDr 等位線方程 ( 球坐標(biāo)系 ) ：cosCr將 和 代入 E 線方程ErE 表示電偶極矩（dipole moment)，方向由dpq-q 指向 +q。圖1.1.9 電偶極子的等位線和電力線下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜

11、電電 場場)(4d),(d22zzzoEEzzdd22zEEdzd22E解: 軸對稱場，圓柱坐標(biāo)系。 例1.1.1 真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為 ,試求P 點(diǎn)的電場。cosddzEEsinddEE下 頁上 頁返 回圖1.1.5 帶電長直導(dǎo)線的電場x x第第 一一 章章靜靜 電電 場場zzzELLozd)(4 212322zzELLod)(4 212322,21時(shí)當(dāng)LLLzzEEzeeE),(e02無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場e02平行平面場。)(4 22112222LLLLo)11(4 221222LLo0下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場作散度運(yùn)算1.2.1 真空

12、中的高斯定律 (Gausss Theorem in Vacuum)0) ()(rrE高斯定律的微分形式1. E 的散度VVd) (41)(30rrrrrrE0E0E0E 說明 靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。1.2 高斯定律Gausss Theorem下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場2. E 的通量VVVVd1d0EniiSq101dSE圖1.2.1 閉合曲面的電通量圖1.2.2 閉合面外的電荷對場的影響散度定理 S 面上的 E 是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。 E 的通量等于閉合面 S 包圍的凈電荷。下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.2.2. 電介質(zhì)中的高

13、斯定律 (Gausss Theorem in Dielectric) 物理學(xué)知識告訴我們，任何物質(zhì)都是由分別帶正電荷和負(fù)電荷的粒子組成，這些帶電粒子之間存在相互作用力。當(dāng)物質(zhì)被引入電磁場中時(shí)，它們將和電磁場產(chǎn)生相互作用而改變其狀態(tài)。從宏觀效應(yīng)看，物質(zhì)對電磁場的相應(yīng)可分為極化、磁化和傳導(dǎo)三種現(xiàn)象。導(dǎo)體中，帶正電荷的原子核與帶負(fù)電荷的電子間的相互作用力很小，即使在微弱的外電場作用下，電子也會(huì)發(fā)生定向運(yùn)動(dòng)。電介質(zhì)的主要特征是電子和原子核結(jié)合得相當(dāng)緊密，電子被原子核緊緊地束縛住，相應(yīng)地，把電介質(zhì)中的電荷稱為束縛電荷。在外電場作用下，束縛電荷只能做微小位移。第第 一一 章章靜靜 電電 場場1. 靜電場中

14、導(dǎo)體的性質(zhì)導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度 E 為零，靜電平衡；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面，電荷分布在導(dǎo)體表面，接地導(dǎo)體都不帶電。（ ）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ）任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ）下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場無極性分子有極性分子圖1.2.3 電介質(zhì)的極化2. 靜電場中的電介質(zhì)電介質(zhì)中的束縛電荷在外電場作用下發(fā)生位移的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化。電介質(zhì)極化的結(jié)果是電介質(zhì)內(nèi)部形成許許多多有向排列的電偶極子；這些電偶極子產(chǎn)生的電場將改變原來的電場分布。下 頁上 頁返 回E E第第 一一 章章靜靜 電電 場場電介質(zhì)內(nèi)部和

15、表面產(chǎn)生極化電荷 (polarized charge)； 電介質(zhì)對電場的影響可歸結(jié)為極化電荷產(chǎn)生的附加電場的影響。即極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。00EEEEE：自由電荷產(chǎn)生的電場：極化電荷產(chǎn)生的電場第第 一一 章章靜靜 電電 場場 極化強(qiáng)度P ( polarization intensity )表示電介質(zhì)的極化程度，即VVpPlim0C/m2電偶極矩體密度下 頁上 頁返 回 若電介質(zhì)的某區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的P P相同，則稱該區(qū)域是均勻極化的，否則就是非均勻極化。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中EP0e 電介質(zhì)的極化率e第第 一一 章章靜靜 電電 場場 各向同性媒質(zhì) 媒質(zhì)特性不隨電場

16、的方向改變,反之，稱為各向異性媒質(zhì)； 線性媒質(zhì) 媒質(zhì)參數(shù)不隨電場的值而變化，反之，稱為非線性媒質(zhì)； 均勻媒質(zhì) 媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)而變化，反之，稱為非均勻媒質(zhì)。第第 一一 章章靜靜 電電 場場 極化強(qiáng)度 P 是電偶極矩體密度，單個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位2020414cosRRqdRep體積 V 內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位d) ()(4130VPVrrrrr3. 極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系圖1.2.4 電偶極子產(chǎn)生的電位下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場d) (4120VRVRerPRRRR112ed1) (410VRVrPd) (41d) (4100VRVRVVrPrP矢量恒等式：uuuF

17、FF)(下 頁上 頁返 回圖1.2.5 體積 V 內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位第第 一一 章章靜靜 電電 場場d) (41d) (41 n00SRVRSVerPrP令Pp極化電荷體密度neP p極化電荷面密度d) (41d) (41)(00SRVRSpVprrrd) (41d) (41 00VRVRVVrPrP下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場330d) )(d) )(41)(VSpfpfSVrrrrrrrrrE0ddnVSSVePP0d)()(41)(VSpfpfSdVrrrrr思考根據(jù)電荷守恒定律，極化電荷的總和為零。0p電介質(zhì)均勻極化時(shí)，極化電荷體密度 有電介質(zhì)時(shí)，場量為下 頁上

18、 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場4. 電介質(zhì)中的高斯定律fff)(000p0PEPE定義PED0 電位移矢量 （displacement vector）所以 D高斯定律的微分形式取體積分VVVVddD有SqSD d高斯定律的積分形式下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場在各向同性介質(zhì)中ED介電常數(shù) F/mr0其中 相對介電常數(shù)，無量綱量。er1EEEEPED0000re構(gòu)成方程下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場例1.2.1 平板電容器中有一塊介質(zhì),畫出D 、E 和 P 線分布。圖1.2.6 D、E 與 P 三者之間的關(guān)系D線E線P線思考D 線由正的自由電荷

19、出發(fā)，終止于負(fù)的自由電荷；E 線由正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷；P 線由負(fù)的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。電介質(zhì)內(nèi)部的電場強(qiáng)度是否減少了？下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場例 1.2.2 若點(diǎn)電荷q 分別置于金屬球殼內(nèi)外，問（1) 穿過閉合面（金屬球殼）的 D 通量是多少？（2) 閉合面上的 D 與 q 有關(guān)嗎？（3) 若在金屬球殼外放置電介質(zhì)，重問 1 )，閉合 面上 的 D 與電介質(zhì)有關(guān)嗎？下 頁上 頁返 回圖1.2.7 點(diǎn)電荷 q 分別置于金屬球殼的內(nèi)外第第 一一 章章靜靜 電電 場場計(jì)算技巧：a） 分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律 求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高

20、斯面，使 中的 D 可作為常數(shù)提出積分號外。SSD d 高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對稱性的場才有解析解。5. 高斯定律的應(yīng)用下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.2.3 試求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。解: 分析場分布,取圓柱坐標(biāo)系,dqSSD由eD2eDE0201ddSSSDSDLLLD2得下 頁上 頁返 回圖1.2.8 無限長均勻帶電體第第 一一 章章靜靜 電電 場場球殼內(nèi)的電場qrDS24dSDrrqeD24球殼外的電場qrDS24dSDrrqeD24例1.2.4 哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？下 頁上 頁返 回圖1.2.10 q分別在金屬

21、球內(nèi)外圖1.2.9 q在金屬球殼內(nèi)第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.3 基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1 基本方程 ( Basic Equation )靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。Basic Equation and Boundary Condition靜電場的基本方程為0 E D微分形式0d llEqSSDd積分形式構(gòu)成方程ED下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0矢量 A 可以表示一個(gè)靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度判斷該場是否靜電場? 例1.3.1 已知 試判斷它能

22、否表示靜電場？ ，zyxzyxeeeA543解: 根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),思考下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場包圍點(diǎn) P 作高斯面 ( )。0L1.3.2 分界面上的銜接條件（Boundary Condition)1. D 的銜接條件SSDSDn2n1則有qSSDd根據(jù)圖1.3.1 介質(zhì)分界面n1n2DDD 的法向分量不連續(xù)當(dāng) 時(shí)， D 的法向分量連續(xù)。0n2n1DD下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場2. E 的銜接條件圍繞點(diǎn) P 作一矩形回路( )。 02LttEE12 E 的切向分量連續(xù)。0dllE根據(jù)01t21t1lElE則有3. 折射定理當(dāng)交界

23、面上 時(shí)，02121tantan折射定律 n2n1DD t 2t 1EE 222111coscosEE2211sinsinEE下 頁上 頁返 回圖1.3.2 介質(zhì)分界面第第 一一 章章靜靜 電電 場場0dlim0021ddlE4. 的銜接條件設(shè) P1 與 P2 位于分界面兩側(cè)， 0dnEDnED22n22n211n11n1,21因此電位連續(xù)nn2211得電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)由 ，其中n1n2DD圖1.3.3 電位的銜接條件下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場說明 （1）導(dǎo)體表面是等位面，E 線與導(dǎo)體表面垂直；圖1.3.4 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面例1.3.2 試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上

24、的銜接條件。 解: 分界面銜接條件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 , const0 tnED，導(dǎo)體中 E0 ，分解面介質(zhì)側(cè)（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的 D 等于該點(diǎn)的 。下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場解：忽略邊緣效應(yīng)1221021ddUE1221012ddUE1121EE22110SSq圖(a)圖(b)02211qSS2211 例1.3.3 試求兩個(gè)平行板電容器的電場強(qiáng)度。2211EE02211UdEdE下 頁上 頁返 回圖1.3.5 平行板電容器第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.4 邊值問題、惟一性定理1.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程 (Poiss

25、ons Equation and Laplaces Equation)2泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子 DBoundary Value Problem and Uniqueness Theorem02拉普拉斯方程當(dāng) =0時(shí)下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.4.2 邊值問題（Boundary Problem)邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件(待講）分界面銜 接條件 強(qiáng)制邊界條件 有限值lim0r自然邊界條件 有限值rrlim泊松方程/2拉普拉斯方程0221nn2211下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場場域邊界條件1）第一類邊

26、界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件 Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上導(dǎo)體的電位)(|1sfs已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度 或電力線)(2sfnS)()3sfnS（下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法解析法數(shù)值法實(shí)測法模擬法邊值問題下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場例1.4.2 試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。 解：根據(jù)場分布的對稱性確定計(jì)算場域，邊值問題022

27、222yx（陰影區(qū)域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy下 頁上 頁返 回圖1.4.1 纜心為正方形的同軸電纜第第 一一 章章靜靜 電電 場場0)dd(dd122222rrrr)(ra通解43221021)( 16)(CrCrCrCrr例1.4.3 試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。解：采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程邊界條件arar21ararrr2010有限值01 r參考電位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar下 頁上 頁返 回圖1.4.2 體電荷分布的球體 第第 一一 章章靜靜 電電 場場電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：1

28、1)(rErararrreerE2022223)(得到rarararrar03222013)(0)3(6)(圖1.4.3 隨r變化曲線E，errrsin11eerarrrrr0301ee下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場201.xdU A答案:（C ）1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem)例1.4.4 圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？惟一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的。002.UxdU B003.UxdU C下 頁上 頁返 回圖1.4.4 平板電容器外加電源U0第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.5 分離變量法S

29、eparation Variable Method分離變量法的基本思想：把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)未知函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程，然后分別求解這些常微分方程，并利用邊界條件確定其中的待定系數(shù)。唯一性定理保證了這種方法求出的解是唯一的。 分離變量法采用正交坐標(biāo)系，所求場域的邊界面應(yīng)與正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合或平行。第第 一一 章章靜靜 電電 場場例1.5.1 試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。 解: 邊值問題1. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0

30、,0 , 00 , 022222（D 域內(nèi)）下 頁上 頁返 回圖1.5.1 接地金屬槽的截面yxasin100第第 一一 章章靜靜 電電 場場分離變量( ,)( )()x yXx Yy22220 xy代入微分方程，下 頁上 頁返 回 2222dd( )( )0ddYyXxYyXxxy除以X(x)Y(y)； 2222d1d( )10ddYyXxXxxYyy 222222222222221d( )0dd10d0 xxyxxyd XxXxkkXxXxxdxYyd YykkYyYyydykk 令Kx,ky稱分離常數(shù)第第 一一 章章靜靜 電電 場場討論 的通解 2220 xd XxkXxdx sinco

31、sX xAk xBk x sinhcoshkxkxX xCk xDkxX xC eD e或（1）kx20,kx=k為非零實(shí)數(shù)，則（2）kx2a, 且ah。32) 12(22) 1(nn21122010,CCCC解： 部分電容個(gè)數(shù)由對稱性，得2201221221121101)()(CCCC(1)圖1.8.4 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場電容與帶電量無關(guān)，故, 0, 121則ddhah2202014ln212ln21利用鏡像法，兩導(dǎo)體的電位),ln2(120adrr代入式（2），得21012122112110)(0)(1CCCC(2)下 頁上 頁返 回圖

32、1.8.5 兩線輸電線對大地的鏡像第第 一一 章章靜靜 電電 場場聯(lián)立解得兩線間的等效電容：)42ln(22202010201012dhddhCCCCCCeaddhhC2201042ln2222222012)4(ln)2(ln4ln2ddhahddhCddhChddhaCdhahdCahC2201022012220120104ln2124ln21042ln212ln211下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場202021212121210101UCUCqUCUCq所以2020210101 UCqUCq，靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖1.8.6 靜電屏蔽 三導(dǎo)體系統(tǒng)的方程為： 4.

33、靜電屏蔽當(dāng) 時(shí)，01q01212UC02112 CC;010U 說明 1 號與 2 號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了靜電屏蔽。下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.9 靜電能量與力Electrostatic Energy and Force1.9.1 靜電能量 (Electrostatic Energy)靜電場最基本的性質(zhì)是對靜止的電荷有作用力，這表明靜電場有能量。電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外界提供的能量。例如，給導(dǎo)體充電時(shí)，外電源要對電荷做功，提高電荷的電位能，這就構(gòu)成了電荷系統(tǒng)的能量。第第 一一 章章靜靜 電電 場場1. 用場源表示靜電能量120122224RqqqW)

34、(423231103333RqRqqqWq3 從 移到 c點(diǎn)，所需能量q2 從 移到 b 點(diǎn)，需克服 q1 的電場力做功，q1 從 移到 a 點(diǎn)不受力，所需能量 W1=0，下 頁上 頁返 回圖1.9.1 點(diǎn)電荷的能量第第 一一 章章靜靜 電電 場場總能量)(413113233212210321RqqRqqRqqWWWW)()()(41212323113233121213312210RqRqqRqRqqRqRqqiiiqqqq3133221121)(21推廣 1： 若有 n 個(gè)點(diǎn)電荷的系統(tǒng)，靜電能量為iniiqW121單位：J（焦耳）推廣 2 ： 若是連續(xù)分布的電荷， lSVqd ,d ,ddV

35、VW, d21, d21SSWllWd21下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場推廣3：多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，靜電能量為111122inniiiiiisWdsq 單位：J（焦耳）例如，電容器儲存的靜電能量（雙導(dǎo)體系統(tǒng)）2121111()222iiiWqqqqU221122qWCUC第第 一一 章章靜靜 電電 場場2. 用場量表示靜電能量)() （DDD矢量恒等式VVVVWd d) (21DDVSVd21d21EDSDJ d21單位： VWVED能量密度3J/m 21EDw因 當(dāng) 時(shí)， 面積分為零，故,1 3rD r,2rs 能量VVd21DVVWd21下 頁上 頁返 回電場能量存在

36、于整個(gè)電場空間第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.9.1 試求真空中體電荷密度為 的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。rrErrEVWVVVd421d421d212220221e21EDarraarrrreeE20333）（05215192a解法一 由場量求靜電能量下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場解法二 由場源求靜電能量球內(nèi)任一點(diǎn)的電位)22(3 d43/4d43/4022220323ararrarrraar代入式（1）)151(92 d4)22(3210522022202arraraWa d21VVW(1)下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.9.2 原子可看成

37、由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負(fù)電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。解：體點(diǎn)總WWW520體154aW0202202)3(2)0(araraqaaq002383234aq0283)0(qW點(diǎn)例1.9.1中當(dāng) 時(shí) ， 0aqaqaW0202520總40983154下 頁上 頁返 回圖1.9.2 原子結(jié)構(gòu)模型第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.9.2 靜電力 (Electrostatic Force)1. 虛位移法 ( Virtual Displacement Method )功 = 廣義力廣義坐標(biāo) 廣義坐標(biāo) 距 離 面 積 體 積 角 度 廣義力 機(jī)械力 表面張力 壓強(qiáng) 轉(zhuǎn)矩 單 位 N N/m

38、 N/m2 N m 廣義力 f ：企圖改變廣義坐標(biāo)的力。 廣義坐標(biāo) g：指確定系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸和位置的一組獨(dú)立幾何量。如距離、面積、體積、角度。下 頁上 頁返 回力的方向：f 的正方向?yàn)?g 增加的方向。第第 一一 章章靜靜 電電 場場（1）常電荷系統(tǒng)（ K斷開 ）gfWdd0eeddWgf 表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實(shí)現(xiàn)。.constekqgWf在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,其功能關(guān)系為外源提供能量 = 靜電能量增量 + 電場力所作功gfWWddde即圖1.9.3 多導(dǎo)體系統(tǒng) ( K 斷開 )下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場kk

39、qWddgfqqkkkkdd21d外源提供能量的增量 說明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。（2） 常電位系統(tǒng)（ K 閉合）廣義力是代數(shù)量 ，根據(jù) f 的“”號判斷力的方向。constekgWf圖1.9.4 多導(dǎo)體系統(tǒng)( K 閉合 )下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場解法一：常電位系統(tǒng)cdWfe0222022dSUdCU2e21CUW dSC0例1.9.3 試求圖示平行板電容器極板的電場力。圖1.9.5 平行板電容器取 d 為廣義坐標(biāo)（相對位置坐標(biāo)）負(fù)號表示電場力企圖使 d 減小，即電容增大。下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場解法二：常電荷系統(tǒng)SdqCqW022e2210202SqdWfcq負(fù)號表示電場力企圖使 d 減小，即電容增大。2200220022222dUSESSDSf下 頁上 頁返 回第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.9.4 圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a ，其上帶電荷為q，試求薄