第6章第四節(jié)定積分的應(yīng)用1

1、2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華12022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華2表示為niiixfU10)(lim1、什么問(wèn)題可以用定積分解決、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過(guò)“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個(gè)整體量 ;一、微元法的基本思想一、微元法的基本思想2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華3 平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，xxfA)(

2、為面積元素。稱dA然后把dA在a, b上作定積分， babaxxfAAd)(d則得這就是所說(shuō)的微元法或元素法。ab xyo)(xfy xxxd Ad應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：Ad 2 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?元素的幾何形狀常取為: 條條, 帶帶, 段段, 環(huán)環(huán), 扇扇, 片片, 殼殼 等2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華43. 應(yīng)用微元法的一般步驟應(yīng)用微元法的一般步驟：(1)根據(jù)具體問(wèn)題，選取一個(gè)變量x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a, b；(2) 在 a, b上，任取一小區(qū)間x, x+dx；xxfAd)(d 求出 babaxxfAAd)(d)3(所求量2022-4-

3、30南京郵電大學(xué) 邱中華5二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華6xxy22oy4 xy例例1. 計(jì)算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算

4、, 選取 y 作積分變量,則有yyyd 42A2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華7oyxababoyx一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí), 按順時(shí)針?lè)较蝽槙r(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積21d)()(tttttA)(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)2. 參數(shù)表示的情形參數(shù)表示的情形2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華8abxoyx例例2. 求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202

5、dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxd2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華93. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A 2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華10 xo)(22 )(11 d212122A2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華112coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例3. 計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱性 ,

6、)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 22022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華12a2sin2a例例4. 求雙紐線所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華13三、立體的體積三、立體的體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(bax

7、A在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),1. 平行截面面積已知的立體的體積平行截面面積已知的立體的體積2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華14例例5. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyx2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華

8、15xyoabxyoab)(xfy 考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華16ayxb例例6. 計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 將方程改寫(xiě)為)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華17例例

9、7. 圓 繞x= -b (0ab) 旋轉(zhuǎn)一周所生成 立體的體積。 222ayx 解解 建立坐標(biāo)系 21VVV aaybyaVd)(2221 aaybyaVd)(2222ba222 - -b O a xy aayyabVd4222022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華18四、平面曲線的弧長(zhǎng)四、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)ni 10lims則稱2022-4-3

10、0南京郵電大學(xué) 邱中華19sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華20(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華21(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令

11、因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長(zhǎng)元素(弧微分) :注意注意: : 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小。上大下小。2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華22例例8. 求拋物線 被圓 所截下的有 限部分的弧長(zhǎng) 。221xy 322 yx 321222yxxy由 12122211yxyx，得 202d12xys由對(duì)稱性解：解：2022)1ln(1xxxx )32ln(6 O yx 202d12xx2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華23例例9. 求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd

12、2cos22200sin22222x42022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華24五、曲率及曲率半徑五、曲率及曲率半徑在光滑弧上自點(diǎn) M 開(kāi)始取弧段, 其長(zhǎng)為,s對(duì)應(yīng)切線,定義弧段 上的平均曲率ssKMMs點(diǎn) M 處的曲率sKs0limsdd注意注意: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !轉(zhuǎn)角為2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華25例例10. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解解: 如圖所示 ,RssKs0limR1可見(jiàn): R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .sRMM2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華26有曲率近似計(jì)算公式,1時(shí)當(dāng)

13、yytan)22(設(shè)y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率計(jì)算公式為sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的計(jì)算公式的計(jì)算公式)(xfy 二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華27曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑Tyxo),(DR),(yxMC設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) , 在點(diǎn)在曲線KRDM1把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的曲率圓 ( 密切圓 ) , R 叫做曲率半徑, D 叫做曲率中心.在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 處作曲線的

14、切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華28六、六、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動(dòng)到,bx 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華29S例例11.體, 求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxd

15、x 由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華30例例12. .半徑為R的球沉入水中, 球的上部與水面相切，球 的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出,需作多少功？ 相應(yīng)于區(qū)間x，x+dx的球體中的薄片的體積約為 xxRVd)(d22 當(dāng)球體恰好露出水面時(shí)，這一薄片在水面以上移動(dòng)的路程為R+x，xxRxRgWd)(d22 解：解：建立如圖所示坐標(biāo)系克服重力做功為O xR+x x水面水面x

16、+dx由于球的比重與水相同，則這部分的球由x提升到水面不做功 RRxxRxRgWd)(22于是 RRxxRRgd)(22434Rg 奇函數(shù)2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華31面積為 A 的平板七、液體側(cè)壓力七、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hpgh當(dāng)平板與水面平行時(shí), ApP 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華32小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xpg33g2R例例13. 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對(duì)稱性 , 側(cè)壓力元素RP0 xx

17、Rxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華330arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 說(shuō)明說(shuō)明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí), )(gxR 小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRPd)(g222奇函數(shù)奇函數(shù)3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華34例例14. 一底為10cm, 高為6cm的等腰三角形薄片,鉛直地 沉入水中,頂在上,底邊在下且與水面平行,而頂離 水面3cm, 試

18、求它的一個(gè)側(cè)面所受的水壓力。解：解：建立坐標(biāo)系如圖所示。2565 xy直線AB的方程為xxgxFd)2565(2d 93d)2565(2xxxgFxx+dx)(210Ng xB(9,5)A(3,0)Oy2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華35八、引力問(wèn)題八、引力問(wèn)題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .2022-4-30南京郵電大學(xué) 邱中華36課堂練習(xí)課堂練習(xí)解：解：1. 求曲線所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲線為面積為同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee又故在區(qū)域2022-4