第四章(均衡凈保費(fèi))

1、第四章均衡凈保費(fèi)一均衡凈保費(fèi)產(chǎn)生的原因n壽險(xiǎn)中自然保費(fèi)是根據(jù)被保人的出險(xiǎn)概率和保額計(jì)算保費(fèi)，保費(fèi)會(huì)隨著被保人的年齡增大而提高，使人們年老時(shí)因繳不起昂貴的保費(fèi)而退保，失去保險(xiǎn)保障。為克服自然保費(fèi)的這種不足，人們提出采用均衡凈保費(fèi)繳費(fèi)方式：把自然保費(fèi)在長(zhǎng)期內(nèi)均衡化、平均化，在保費(fèi)交付期內(nèi)，每隔一定時(shí)期交付相等數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)。例1n(x)購買了一份保險(xiǎn)，已知簡(jiǎn)略未來生命時(shí)間長(zhǎng)度的分布如下：n保額為常數(shù)1，在被保人死亡年度末支付。假設(shè)保險(xiǎn)的年度保費(fèi)為P，在被保人或者的情況下每年年初支付。確定保費(fèi) P。n（1）虧損概率小于20%；（百分位保費(fèi)）n（2）等價(jià)原則；n（3）指數(shù)保費(fèi)原則。( )0.1,0,1,

2、9.P K xkk二 均衡凈保費(fèi)與躉繳凈保費(fèi)的關(guān)系（一）n均衡凈保費(fèi)厘定原則平衡原則：n保險(xiǎn)人的潛在虧損(保險(xiǎn)人的損失)均值為零。=給付金現(xiàn)值-純保費(fèi)現(xiàn)值E（ ）=0E（給付金現(xiàn)值）=E（純保費(fèi)現(xiàn)值）n均衡 凈保費(fèi)與躉繳凈保費(fèi)的關(guān)系E（躉繳凈保費(fèi)現(xiàn)值）=E（均衡凈保費(fèi)現(xiàn)值）0L0L均衡凈保費(fèi)與躉繳凈保費(fèi)的關(guān)系（二）n躉繳凈保費(fèi)是滿足未來給付的保費(fèi)，它理論上應(yīng)該等于均衡凈保費(fèi)的現(xiàn)值，均衡凈保費(fèi)的繳付是以被保人存活為條件的，它實(shí)際上是一個(gè)生存年金。設(shè)躉繳凈保費(fèi)為A,每期繳均衡凈保費(fèi)為P,每次一單位生存年金現(xiàn)值為 ，則有 。a APa三 均衡凈保費(fèi)的種類n完全離散均衡凈保費(fèi)n死亡年末給付（離散）n離

3、散繳費(fèi)n完全連續(xù)均衡凈保費(fèi)n死亡即刻給付（連續(xù)）n連續(xù)繳費(fèi)n半連續(xù)均衡凈保費(fèi) n死亡即刻給付（連續(xù)）n離散繳費(fèi)本章介紹n各種模型下的均衡凈保費(fèi)的計(jì)算公式。n各種模型下的均衡凈保費(fèi)計(jì)算公式之間的關(guān)系。n損失方差的計(jì)算：用于評(píng)估實(shí)際損失偏離收付平衡（E( )=0）的程度。0L4.1 完全連續(xù)保費(fèi)1 終身人壽保險(xiǎn)n條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）n厘定過程： 01( )()()(1),0.(2) ( )(),0.TTwwxxTtxtPPLl TvP A aZP A YvTl tvP A a t（） 終身人壽保險(xiǎn)厘定過程：00

4、2222222022200(3) ()0()0 1().11(),.()()()()(4)()(1) () =()(1)()()1(6)( )1()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxLTELAP A aAAP AaaAP AaAP AP APAAAAVarLAAaAELVarLPuFuFInP 可得：（5）=2 限期h年繳費(fèi)的終生壽險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限期繳費(fèi)的完全連續(xù)型終生壽險(xiǎn)。0( )( )()()ThTThhwtxhxxx hvP A aThLvP A aThZP A YP AA a：3 定期壽險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保

5、險(xiǎn)期限相同）1:01:1:11()0()()()TxnTxnnttxnxnxnxnvP AaTnLP AaTnZP AYP AAa：4 n年生存保險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年生存保險(xiǎn)。1:01:1:11:0()()()()x nTnx nnpetx nx nx nx nP AaTnLvP AaTnZP AYP AAa：5 兩全保險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年普通兩全保險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）:0:11:()()()()()()Tx nTnx nnetx nx nx nx nx nx nvP AaTnLvP AaTnZP AYP AAaP AP A： 兩全保險(xiǎn)厘定過程

6、：0:0:22222:0:(1)( )()(1),(2) ()0()0 1().1()1,.()()()()(3)()(1) () (eeex nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nPPLl TZP AYZELAP AaAAP AaaAP AaAP AP AP AAAVarLAAa可得：22:22:200()=)(1)()()x nx nx nx nAAAELVarL（4）=6 h年限繳的n年 兩全保險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)。:0:11:()()()()()()()Thx nTThx

7、nhnhx nhethx nhhhx nx nx nx hx nvP AaThLvP AahTnvP AaTnZP AYP AAaP AP A：7 h年延期的終身生命年金n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年遞期終身命年金01:0()()()()()ThxhThxhhdtxhxxx hhhx hPa aThLaavPa aThYPa YPaAaa常見險(xiǎn)種的完全連續(xù)均衡凈保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年支付終身壽險(xiǎn)h年支付n年兩全保險(xiǎn)n年延期終身生命年金()xxxP AA a11()x nx nx nP AAa：()xxhx hP AAa：11:()x nx

8、 nx nP AAa：1:()xxx nnnx nPaAaa11:()()()hhhx nx nx nx hx nP AAaP AP A：11:()()()x nx nx nx nx nP AAaP AP A：例4.1n已知利息力為0.06，死亡力為0.04，求n注意當(dāng) 為常值時(shí)，().xP A0(1) ()(2)()xP AVarLx t4.2 完全離散保費(fèi)1 普通終身壽險(xiǎn)n條件：（x）死亡年末給付1單位終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。n厘定過程：10102222222022(1) = Z - ,K0,1,2,1(2) ()001()()(3)()(1) () ()(1)Kx

9、wxwKxxxxxxxxxxxxxxxxxxLvPaPYAdAELAPaPdaaAPAAAAVarLAAddaA2 限期h年繳費(fèi)的終生壽險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限期繳費(fèi)的終生壽險(xiǎn)。1101= Z -KhxKKhxhwhxtvPaKhLvPaKhPY3 定期壽險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）11:101:1:0= Z -Kx nKx nnttx nvP aKnLP aKnP Y4 n年生存保險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年生存保險(xiǎn)。1:101:1:0= Z -x nKnx nnpetx nPaKnLvPaKnP Y 5 兩全保險(xiǎn)n

10、假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年普通兩全保險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）1:10:= Z -Kx nKnx nnetx nvP aKnLvP aKnP Y 完全離散兩全保險(xiǎn)厘定過程：:0:0:222222:02:(1)(1),(2) ()00 1.11,.()(3)()(1) () =()x nx neeex nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nxx nx nx nPPLZP YZddELAP aAdAPdaaAPaAPdPdPAAAVarLAAdda可得：2:2:200()(1)()()nx nx nAAELVarL（

11、4）=6 h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)。1:110:= Z -Khx nKKhx nhnhx nhehtx nvPaKhLvPahKnvPaKnP Y7 h年遞延終身生存保險(xiǎn)n假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年遞延終身生存保險(xiǎn)1010()()()= - ()xhKhxhKhhdxthP a aK hLaa vP a aK hY P a Y 常見險(xiǎn)種的完全離散均衡凈保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)xxxxxNMaAP )()(11nxxnxxnxnxnxNNMMaAP： )

12、(hxxxhxxxhNNMaAP： )(11nxxnxnxnxnxNNDaAP： 11:() ()()()xx nx nxx hhx nx nx hhhx nx nPAaMMDNNP AP A：11:() ()()()xx nx nxx nx nx nx nx nx nPAaMMDNNP AP A：典型關(guān)系：例4.2n設(shè)一個(gè)0歲生命的整值剩余壽命服從概率函數(shù)為n在其死亡年末賠付1單位的保單，每年年初繳付保費(fèi)P。當(dāng)保費(fèi)按平衡原理決定時(shí)，計(jì)算保險(xiǎn)人虧損現(xiàn)值的期望值與方差（i=6%）。3 , 2 , 1 , 0 410kqk例4.2答案1101031040.06012022412.36%46%(1)

13、(1)()01 (1)0 (1)404 6.4780.3667(2)()(1)11(1)2(1) () 0.17788 44KKKkkkKPPLvPavddELPPPPvqaddddPPdPPVarLEvddPP PPa adddd 例3.3n假設(shè)終身壽險(xiǎn)保單于30歲簽單，保險(xiǎn)金額為20000元，試求：n（1）普通終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)；n（2）20年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)；n（3）65歲繳清終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)；例4.3n設(shè)年齡為25歲的人，購買15年定期壽險(xiǎn)，保額為1000元，試求其自然凈保費(fèi)和均衡凈保費(fèi)。例4.4n設(shè)年齡為25歲的人，購買20年限繳的30年儲(chǔ)蓄壽險(xiǎn)，保額為1000元，

14、試求其均衡凈保費(fèi)。例4.5n試證：n 都是在（x）生存的前提下最多支付n年的年繳保費(fèi)，在n年期間兩保險(xiǎn)提供的保障一樣:在（x）死亡年度末支付1. 若（x）生存至x+n年， 對(duì)應(yīng)的保險(xiǎn)是給被保人在n時(shí)支付生存年金1，而 則留給被保人一份單位保額的(x+n)的終身壽險(xiǎn)，且被保人無須再繳費(fèi)。在x+n年往后二者待遇差相當(dāng)于一份 單位的n年期生存保險(xiǎn)，由n年繳費(fèi)，年繳 對(duì)應(yīng)。1,:(1)nxx nx nx nPPPA,nxx nPP, x nPnxP(1)x nA,nxx nPP和 半連續(xù)均衡純保費(fèi)厘定（終身壽險(xiǎn)為例）n條件（x）死亡即刻給付1單位賠償金，而被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。n厘定過程：

15、01022201( )()(2) ()0()0 ()(3)()(1) () TxKxxxxxxxxLl TvP A aAELAP A aP AaPVarLAAd（）常見險(xiǎn)種的半連續(xù)均衡凈保費(fèi)保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)()uddxxxxiP AAaP111:()uddx nx nx nx niP AAaP：11:()uddx nx nx nx nx niP AAaPP：()uddxxhxhx hiP AA aP：11:()x nx nx nP AAa：1:()()xxx mx mxx mmmx

16、mPaAaaNNN11:()uddhhhx nx nx nx nx hiP AAaPP：例4.6n根據(jù)附錄示例生命表及利率6%計(jì)算10:3510:3510:353)(2)(1PAPAP）（）（）（例4.6答案056. 092.9395376.18866369.6657)5427.13396833.1577(3073. 092.9395376.18866369.6657)5427.13396833.1577(0297. 1)()(2075. 0)69.665776.12256(21)92.9395376.188663(69.6657)5427.13396833.1577(0297. 1)(21)

17、()()(1453545453510:354535454535453545453510:3545354535454535453545453510:35NNDMMPNNDMMiNNDMMAPDDNNDMMiNNDMMAP）（）（）（例4.7n(25)購買保額為1000元的半連續(xù)式壽險(xiǎn)保單，年利率6%在udd假設(shè)下計(jì)算下列各保單的年繳凈保費(fèi)。n1 普通終身壽險(xiǎn)；n2 35年定期壽險(xiǎn)；n3 35年儲(chǔ)蓄壽險(xiǎn)；n4 35年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)。4.3 每年繳納數(shù)次的凈保費(fèi)厘定n一：真實(shí)分繳保費(fèi)：年繳m 次，死亡保額不作調(diào)整時(shí)的保費(fèi)。計(jì)算年繳m次，每1/m年初繳納等額的等額年度凈保費(fèi)。nm一般為2,4或12。

18、每年繳納數(shù)次的真實(shí)分繳凈保費(fèi)厘定n條件：在每一保單年度內(nèi)，保費(fèi)分m次繳納。n厘定過程：（終身壽險(xiǎn)為例）()()01()()()0()()2220()1( )()(2) ()0()0 ()(3)()(1) () TmmxKmmmxxxxxmxmxxmLl TvPAaAELAPA aPAaPVarLAAd（）離散型真實(shí)分繳凈保費(fèi)公式總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)()()xxmmxPAa1()1()x nmmx nx nPAa：()()xx hmmxhPAa：()11()xnmmxxnnPAa：()()1()()1:x hmm

19、mmhhhx nx nx nx nPAaPP：()()1()()1:()()x nmmmmx nx nx nx nPAaP AP A：連續(xù)型真實(shí)分繳凈保費(fèi)公式總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn) h 年限繳 n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)()()()xmmxxPAAa11()()()x nmmx nx nPAAa：()()()x hmmxxhPAAa：()11()()x hmmhxxnnPAAa：1()()()()1:()()()x hmmmmx nx nx hhhhx hPAAaPAPA：1()()()()1:()()()x nmmmmx nx nx n

20、x nPAAaPAPA：其中()()()()()()()():():( )( )( ) ( ) 12( )( )(1)1(1)2 mxxmmmmmmxxmnxx nx nmnxx nx nam amidiimmididmaamam amEmaaEm其中：例4.7n對(duì)于（50）的人死亡年末給付1萬元的20年期兩全保險(xiǎn)。計(jì)算按半年分期繳費(fèi)的凈均衡年保費(fèi)，年利率6%。n決定相應(yīng)的死亡即刻給付的凈均衡年保費(fèi)。例4.7答案19.3251000010000096159.11)1)(2() 2(25739081. 0) 2( 0002122. 1) 2(23047353. 0 291832.11361. 0

21、1220502050220505020205022050)2()2()2()2()2(507050205070502050507070502050）（：）（：）（：）（aAPEaadiiidiidDDEDNNaDDMMA 例4.7答案68.32810000)(100003647119. 0)(22205020502050250707050507070502050）（：）（：）（aAAPDDMMiDDMMA 例4.8n（40）的人簽發(fā)保額為5000元的全離散式25年的定期壽險(xiǎn)保單，試?yán)脫Q算函數(shù)表在UDD假設(shè)下計(jì)算（1）普通年繳凈保費(fèi)（2）季繳凈保費(fèi)（3）月繳凈保費(fèi)。例4.9n（20）的人簽發(fā)保額為50000元的壽險(xiǎn)保單，試?yán)脫Q算函