蘇教版高一數(shù)學等差數(shù)列

1、蘇教版高一數(shù)學等差數(shù)列第三課時等差數(shù)列（一）教學目標：明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題；培養(yǎng)學生觀察能力，進一步提高學生推理、歸納能力，培養(yǎng)學生的應用意識.教學重點：1. 等差數(shù)列的概念的理解與掌握.2. 等差數(shù)列的通項公式的推導及應用.教學難點：等差數(shù)列"等差"特點的理解、把握和應用.教學過程：I.復習回顧上兩節(jié)課我們共同學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法-通項公式和遞推公式.這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面我們看這樣一些例子n.講授新課1，2，3，4，5，6；10，8，6，4，2，.；21，2

2、1，22，22，23，23，24，24，252，2，2，2，2，.首先，請同學們仔細觀察這些數(shù)列有什么共同的特點?是否可以寫出這些數(shù)列的通項公式？(引導學生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項公式，并找出其共同特點)數(shù)列是一遞增數(shù)列，后一項總比前一項多1，其通項公式為：an=n(1<nW6).數(shù)列是由一些偶數(shù)組成的數(shù)列，是一遞減數(shù)列，后一項總比前一項少2，其通項公式為：an=12-2n(n>1).數(shù)列是一遞增數(shù)列，后一項總比前一項多，其通項公式為：an=20+n(1WnW9)數(shù)列的通項公式為：an=2(n>1)是一常數(shù)數(shù)列.綜合上述所說，它們的共同特點是什么呢？它們的共同特點是：從第

3、2項起，每一項與它的前一項的"差"都等于同一個常數(shù).也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差"相等"的特點.具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列.1. 定義等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.如：上述4個數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是1，2，0.2.等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得.若一等差數(shù)列an的首項是al,公差是d,則據(jù)其定義可得：(n1)個等式若將這n1個等式左右兩邊分別相加，則可得：anal=(n

4、1)d即：an=al+(n1)d當n=1時，等式兩邊均為al，即上述等式均成立，則對于一切nN*時上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列an的通項公式.或者由定義可得：a2al=d即：a2=al+d;a3a2=d即:a3=a2+d=al+2d;a4a3=d即：a4=a3+d=al+3d;anan1=d,即：an=an1+d=al+(n1)d看來,若已知一數(shù)列為等差數(shù)列,則只要知其首項a1和公差d,便可求得其通項.如數(shù)列：an=1+(n1)x1=n(1<nW6),數(shù)列：an=10+(n1)x(2)=122n(n>1),數(shù)列：an=22+(n1)=21n(n>1),數(shù)列：an=2+(n

5、-1)x0=2(n>1)由通項公式可類推得：am=al+(m-1)d，即：al=am(m-1)d，則：an=a1(n-1)d=am-(m-1)d(n-1)d=am(n-m)d.如：a5=a4d=a32d=a23d=a14d3. 例題講解例1(1)求等差數(shù)列8，5，2.的第20項.分析：由給出的三項先找到首項a1,求出公差d，寫出通項公式，然后求出所要項.解：由題意可知：a1=8，d=5-8=2-5=-3二該數(shù)列通項公式為：an=8+(n-1)x(-3)，即：an=11-3n(n>1)，當n=20時，貝Ua20=11-3x20=-49.答案：這個數(shù)列的第20項為-49.(2)-401

6、是不是等差數(shù)列-5，-9，-13.的項?如果是，是第幾項?分析：要想判斷-401是否為這數(shù)列的一項，關鍵要求出通項公式，看是否存在正整數(shù)n,可使得an=-401.解：由題意可知：a1=-5，d=-9-(-5)=-4,二數(shù)列通項公式為：an=-54(n1)=-4n-1.令-401=-4n-1，解之得n=100.401是這個數(shù)列的第100項.例2在等差數(shù)列an中，已知a5=10，a12=31，求首項a1與公差d.解：由題意可知，這是一個以al和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個方程組，得al=2,d=3.即這個等差數(shù)列的首項是2，公差是3.例3在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a15=25,求a2

7、5.思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項，可求出al和d,然后可得出該數(shù)列的通項公式,便可求出a25.解法一：設數(shù)列an的首項為a1,公差為d,則根據(jù)題意可得：這是一個以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組,解這個方程組,得a1=4,d=.二這個數(shù)列的通項公式為：an=4+x(n1)，即：an=n+.二a25=x25+=40.思路二：若注意到已知項為a5與a15，所求項為a25,則可直接利用關系式an=am+(nm)d.這樣可簡化運算.解法二：由題意可知：a15=a5+10d，即25=10+10d,二10d=15.又va25=a15+10d,=a25=25+15=40.思路三：若注意到在等差數(shù)列an中，

8、a5,a15,a25也成等差數(shù)列，則利用等差中項關系式，便可直接求出a25的值.解法三：在等差數(shù)列an中，a5,a15,a25成等差數(shù)列二2a15=a5+a25,即卩a25=2a15a5,a25=2X25-10=40.例4已知等差數(shù)列an中，a15=33,a45=153，試問217是否為此數(shù)列的項？若是說明是第幾項；若不是，說明理由.分析：這是一個探索性問題，但由于在條件中已知道兩項的值，所以，在求解方法上，可以考慮運用方程思想求解基本量al和d,也可以利用性質求d,再就是考慮運用等差數(shù)列的幾何意義.解法一：由通項公式,知得：由217=-23+4(n-1)，得n=61.解法二：由等差數(shù)列性質，

9、得a45-a15=30d=153-33,即d=4又an=a15+(n-15)d,217=33+4(n15)，解得n=61.解法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列的圖象是一些共線的點由于P(15，33)，Q(45，153)，R(n，217)在同一條直線上.故有=，解得n=61.評述：運用等差數(shù)列的通項公式，知三求一.如果已知兩個條件，就可以列出方程組解之.如果利用等差數(shù)列的性質，幾何意義去考慮也可以，因此要根據(jù)具體問題具體分析.例5已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a3=,a7=，求a15的值.解法一：利用通項公式，設數(shù)列an的首項為a1,公差為d則解之得a15=al+14d=+14X()=解法二：利

10、用等差數(shù)列的性質a7=a3+4d把已知條件代入，得：d=二a15=a7+(157)d=.解法三：Tan為等差數(shù)列，二a3,a7,a11,a15也成等差數(shù)列由a3=,a7=知上述數(shù)列首項為，公差為2二a15=+(31)?(2)=例6兩個等差數(shù)列5，8，11，和3，7，11，都有100項，那么它們共有多少相同的項？分析：顯然，已知的兩數(shù)列的所有相同的項將構成一個新的數(shù)列an，這樣問題就轉化為一個研究數(shù)列an的項數(shù)問題了.解法一：設已知的兩數(shù)列的所有相同的項將構成的新數(shù)列為cn，c1=11,又數(shù)列5,8,11,的通項公式為an=3n+2,數(shù)列3,7，11，的通項公式為bn=4n1.二數(shù)列cn為等差數(shù)

11、列，且d=12n1又va100=302,b100=399,二cn=12n1v302得nW25,可見已知兩數(shù)列共有25個相同的項.解法二：van=3n+2,bn=4n1,設an=bm則有3n+2=4m-1(n,mN*)，即n=m-1(n,mN*)要使n為正整數(shù)，m必須是3的倍數(shù).設m=3k(kN*)，代入前式得n=4k1又v1W3k<100,且1W4k1W100,解得1Wkw25共有25個相同的項.例7一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列,如果前六項均為正數(shù),第七項起為負數(shù),則它的公差是多少？解：由得一4.6vdV答案：一4m.課堂練習課本P34練習1,2,31.(1)求等差數(shù)列3,7,1

12、1,的第4項與第10項.分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差,寫出該數(shù)列的通項公式,從而求出所求項.解：根據(jù)題意可知：a1=3,d=73=4.該數(shù)列的通項公式為：an=3+(n1)x4,即an=4n1(n>1,nN*)a4=4x41=15,a10=4x101=39.評述：關鍵是求出通項公式.（2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20項.解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=810=2.該數(shù)列的通項公式為：an=10+（n1）x（2），即：an=2n12， a20=2x20+12=28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不

13、是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：a1=2，d=92=7.此數(shù)列通項公式為：an=2+（n1）x7=7n5.令7n5=100，解得：n=15, 100是這個數(shù)列的第15項.（4）20是不是等差數(shù)列0，3，7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：由題意可知：a1=0，d=3此數(shù)列的通項公式為：an=n+令n+=20，解得n=因為n+=20沒有正整數(shù)解，所以20不是這個數(shù)列的項.2. 在等差數(shù)列an中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d；已知a3=9,a9=3，求a12.解：(1)由題意得：解之得：(2)解法一：由題意可得：解之得：該數(shù)列的通項公式為：an=11+(n-1)x(1)=12-n二a12=0解法二：由已