結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)講義

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:1414-1 概述概述14-2 結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度 14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 第十四章第十四章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:1414-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 14-8 振型分解法振型分解法14-

2、9 無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)14-10 計(jì)算頻率的近似方法計(jì)算頻率的近似方法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:14 靜力荷載：靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時(shí)間變化，或變大小、方向和作用位置不隨時(shí)間變化，或變化非常緩慢，不會促使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，結(jié)化非常緩慢，不會促使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，結(jié)構(gòu)將處于平衡狀態(tài)。計(jì)算平衡狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形問題構(gòu)將處于平衡狀態(tài)。計(jì)算平衡狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形問題稱為靜力計(jì)算。稱為靜力計(jì)算。 注意：注意：區(qū)分靜力荷載與動(dòng)力荷載，不是單純從荷載本身區(qū)分靜力荷載與動(dòng)力荷載，不是單純從荷載本身性質(zhì)來看，要看其對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影

3、響。性質(zhì)來看，要看其對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和任務(wù)一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和任務(wù)1. 動(dòng)力荷載與靜力荷載的區(qū)別：動(dòng)力荷載與靜力荷載的區(qū)別： 隨時(shí)間變化的結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，稱為動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力，隨時(shí)間變化的結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，稱為動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力，并稱為動(dòng)力反應(yīng)。計(jì)算動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)問題，并稱為動(dòng)力反應(yīng)。計(jì)算動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)問題，稱為動(dòng)力計(jì)算。稱為動(dòng)力計(jì)算。 動(dòng)力荷載（干擾力）：動(dòng)力荷載（干擾力）：隨時(shí)間迅速變化的荷載隨時(shí)間迅速變化的荷載 14-1 概述概述結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:14結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)：在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將

4、產(chǎn)生振動(dòng)，其位移和內(nèi)力都在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生振動(dòng)，其位移和內(nèi)力都 是隨時(shí)間變化的。在運(yùn)動(dòng)過程中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量具有加速是隨時(shí)間變化的。在運(yùn)動(dòng)過程中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量具有加速 度，必須考慮慣性力的作用。度，必須考慮慣性力的作用。考慮慣性力的作用是結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的最主要特征考慮慣性力的作用是結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的最主要特征。 結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力只取決于靜力荷載的大小及其分布結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力只取決于靜力荷載的大小及其分布 規(guī)律，與時(shí)間無關(guān)。規(guī)律，與時(shí)間無關(guān)。2. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)3. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算可分為兩大類：結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算可分為兩大類：自由振動(dòng)：自由振動(dòng)

5、：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在以后的振動(dòng)過程中不再受外結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在以后的振動(dòng)過程中不再受外 部干擾力作用。部干擾力作用。強(qiáng)迫振動(dòng)：強(qiáng)迫振動(dòng)：如果結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強(qiáng)迫如果結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強(qiáng)迫 振動(dòng)。振動(dòng)。 4. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的任務(wù)：結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的任務(wù)：(2) 分析計(jì)算動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)，確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的分析計(jì)算動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)，確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的位位移、內(nèi)力等量值隨時(shí)間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。移、內(nèi)力等量值隨時(shí)間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作

6、為設(shè)計(jì)的依據(jù)。(1) 分析計(jì)算自由振動(dòng)，得到的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析計(jì)算自由振動(dòng)，得到的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性( (自振頻率、振型和阻尼參數(shù)自振頻率、振型和阻尼參數(shù)) )；14-1 概述概述結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:14 周期荷載周期荷載 隨時(shí)間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是隨時(shí)間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是簡諧荷載簡諧荷載( (按弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化按弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化) )。二、動(dòng)力荷載的分類二、動(dòng)力荷載的分類 toF (t)F 簡諧荷載簡諧荷載rml/Ft2l/21. 周期荷載周期荷載非簡諧性周期荷載非簡諧性周期荷載 例：打樁時(shí)落錘撞擊所產(chǎn)生的荷載。例：打樁時(shí)落

7、錘撞擊所產(chǎn)生的荷載。 o周期撞擊荷載F(t)t14-1 概述概述結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇減小在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇減小( (或增加或增加) )，如爆炸時(shí)所產(chǎn)生的荷載。，如爆炸時(shí)所產(chǎn)生的荷載。oF(t)F oF F(t)rttttr2. 沖擊荷載沖擊荷載 3. 突加常量荷載突加常量荷載突然作用于結(jié)構(gòu)上、荷載值在較長時(shí)間內(nèi)保持不變。例：起重機(jī)起吊重突然作用于結(jié)構(gòu)上、荷載值在較長時(shí)間內(nèi)保持不變。例：起重機(jī)起吊重物時(shí)所產(chǎn)生的荷載。物時(shí)所產(chǎn)生的荷載。oF(t)F t上述荷載是時(shí)間的確定函數(shù)，稱之為上述荷載是時(shí)間的確定函數(shù)，稱之為確定性動(dòng)力荷載。確定性動(dòng)力

8、荷載。 14-1 概述概述結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 隨機(jī)荷載（非確定性荷載）隨機(jī)荷載（非確定性荷載）荷載的變化極不規(guī)則，在任荷載的變化極不規(guī)則，在任時(shí)刻的時(shí)刻的數(shù)值無法預(yù)測。地震荷載和風(fēng)荷載都是隨機(jī)荷載。數(shù)值無法預(yù)測。地震荷載和風(fēng)荷載都是隨機(jī)荷載。toF(t)隨機(jī)荷載（非確定性荷載）隨機(jī)荷載（非確定性荷載）4. 隨機(jī)荷載隨機(jī)荷載14-1 概述概述結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度:結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立 參數(shù)的數(shù)目參數(shù)的數(shù)目單自由度結(jié)構(gòu)單自由度結(jié)構(gòu)多自由度結(jié)構(gòu)（自

9、由度大于多自由度結(jié)構(gòu)（自由度大于1的結(jié)構(gòu)）的結(jié)構(gòu)）(a)(b)(c)3 ( )y t ( ) ( )2y ty t1 ( )(a)(b)14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15當(dāng)梁本身的質(zhì)量遠(yuǎn)小于電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量時(shí)，可以不計(jì)梁本身的質(zhì)量，同時(shí)不考當(dāng)梁本身的質(zhì)量遠(yuǎn)小于電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量時(shí)，可以不計(jì)梁本身的質(zhì)量，同時(shí)不考慮梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，則梁上質(zhì)點(diǎn)的位置只需由撓度慮梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，則梁上質(zhì)點(diǎn)的位置只需由撓度y(t)就可確定。就可確定。t( )ymml( )y tm由質(zhì)點(diǎn)豎向撓度為獨(dú)立參數(shù)的單自由度結(jié)構(gòu)由質(zhì)點(diǎn)豎向撓度為獨(dú)立參數(shù)的單自由度結(jié)構(gòu)確定

10、絕對剛性桿件上三個(gè)質(zhì)點(diǎn)確定絕對剛性桿件上三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置只需桿件轉(zhuǎn)角的位置只需桿件轉(zhuǎn)角 (t)便可，便可，故為單自由度結(jié)構(gòu)。故為單自由度結(jié)構(gòu)。aEI=m3am2m1aaaaEI=14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 雖然只有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但其位置需雖然只有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但其位置需由水平位移由水平位移x和豎向位移和豎向位移y兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)才能確定，因此振動(dòng)自由度等于才能確定，因此振動(dòng)自由度等于2，為，為多自由度體系。多自由度體系。 三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮大，結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)橫梁不能豎向移動(dòng)和大，結(jié)構(gòu)振動(dòng)

11、時(shí)橫梁不能豎向移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)而只能作水平移動(dòng)，故振動(dòng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)而只能作水平移動(dòng)，故振動(dòng)自由度等于度等于3，多自由度體系。，多自由度體系。(a)(b)(c)3 ( )y t ( ) ( )2y ty t1 ( )(a)(b)xy14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 分析剛架的振動(dòng)自由度時(shí)，仍可引用受彎直桿任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變分析剛架的振動(dòng)自由度時(shí)，仍可引用受彎直桿任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加剛性鏈桿法剛性鏈桿法來確定結(jié)構(gòu)的來確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度。振動(dòng)自由度。

12、剛性鏈桿法：剛性鏈桿法：在結(jié)構(gòu)上施加最少數(shù)量的剛性鏈桿以限制剛架上所在結(jié)構(gòu)上施加最少數(shù)量的剛性鏈桿以限制剛架上所 有質(zhì)點(diǎn)的位置，有質(zhì)點(diǎn)的位置， 則該剛架的自由度數(shù)即等于所加鏈桿數(shù)目。則該剛架的自由度數(shù)即等于所加鏈桿數(shù)目。具有兩個(gè)集中質(zhì)量，加入三根鏈桿即能具有兩個(gè)集中質(zhì)量，加入三根鏈桿即能使各質(zhì)量固定不動(dòng)其振動(dòng)自由度為使各質(zhì)量固定不動(dòng)其振動(dòng)自由度為3。 注意：注意：體系振動(dòng)自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目，也與體系是否靜定或體系振動(dòng)自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目，也與體系是否靜定或超靜定無關(guān)。體系的自由度數(shù)目與計(jì)算假定和計(jì)算精度有關(guān)。如果考慮質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)超靜定無關(guān)。體系的自由度數(shù)目與計(jì)算假定和

13、計(jì)算精度有關(guān)。如果考慮質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，還應(yīng)增加控制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，才能確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度數(shù)目。動(dòng)慣性，還應(yīng)增加控制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，才能確定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度數(shù)目。14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 實(shí)際結(jié)構(gòu)中，除有較大的集中質(zhì)量外，還有連續(xù)分布的質(zhì)量。對此，實(shí)際結(jié)構(gòu)中，除有較大的集中質(zhì)量外，還有連續(xù)分布的質(zhì)量。對此，需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者有限多自由度的問題進(jìn)行計(jì)算有限多自由度的問題進(jìn)行計(jì)算集中質(zhì)量法：集中質(zhì)量法：把體系的連續(xù)分布質(zhì)量集中為有限個(gè)集中質(zhì)

14、量把體系的連續(xù)分布質(zhì)量集中為有限個(gè)集中質(zhì)量( (實(shí)際上是質(zhì)實(shí)際上是質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)) )，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。 簡化方法有多種，如集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法和有限元法等。本章重點(diǎn)討簡化方法有多種，如集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法和有限元法等。本章重點(diǎn)討論集中質(zhì)量法。論集中質(zhì)量法。 水塔的質(zhì)量大部分集中在塔頂上，可簡化成水塔的質(zhì)量大部分集中在塔頂上，可簡化成以以x(t)為位移參數(shù)的單自由度結(jié)構(gòu)。為位移參數(shù)的單自由度結(jié)構(gòu)。xm14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15凡屬需要考慮桿件本身質(zhì)量（稱

15、為質(zhì)量桿）的結(jié)構(gòu)都是凡屬需要考慮桿件本身質(zhì)量（稱為質(zhì)量桿）的結(jié)構(gòu)都是無限自由度體系無限自由度體系。 例：用集中質(zhì)量法將連續(xù)分例：用集中質(zhì)量法將連續(xù)分布質(zhì)量的簡支梁簡化為有限自布質(zhì)量的簡支梁簡化為有限自由度體系。由度體系。將梁二等分，集中成三個(gè)集將梁二等分，集中成三個(gè)集中質(zhì)量，單自由度體系。中質(zhì)量，單自由度體系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)dd2l/23ml/3ml/6ml/63l/3l/3( )/2ml/4ml/4mllmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/23ml/3ml/6

16、ml/63l/3l/3( )ml/4ml/2 將梁將梁三等分三等分，質(zhì)量集中成四個(gè)，質(zhì)量集中成四個(gè)集中質(zhì)量的集中質(zhì)量的兩個(gè)自由度兩個(gè)自由度體系體系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/2ml/3ml/ml/6l/l/( )ml/4ml/23633314-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15自由振動(dòng)：自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在振動(dòng)進(jìn)程中不受外部干擾力作用的振動(dòng)形式。結(jié)構(gòu)在振動(dòng)進(jìn)程中不受外部干擾力作用的振動(dòng)形式。產(chǎn)生自由振動(dòng)的原因：產(chǎn)生自由振動(dòng)的原因：結(jié)構(gòu)在振動(dòng)初始時(shí)刻受到干擾。結(jié)構(gòu)在振動(dòng)初始時(shí)刻受

17、到干擾。初始干擾的形式初始干擾的形式: （1）結(jié)構(gòu)具有初始位移）結(jié)構(gòu)具有初始位移 （2）結(jié)構(gòu)具有初始速度）結(jié)構(gòu)具有初始速度 （3）上述二者同時(shí)存在）上述二者同時(shí)存在1. 1. 不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng) 對于各種單自由度體系的振動(dòng)狀態(tài)對于各種單自由度體系的振動(dòng)狀態(tài), ,都可以用一個(gè)簡單的都可以用一個(gè)簡單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型質(zhì)點(diǎn)彈簧模型來描來描述。述。 靜平衡位置yxmWF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dyWF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dy梁在梁在質(zhì)點(diǎn)重量質(zhì)點(diǎn)重量W作用下的撓曲線稱為作用下的撓曲線稱為“靜平衡位置靜平衡位置”

18、。WF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dy14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15取圖示質(zhì)點(diǎn)彈簧體系中質(zhì)點(diǎn)的靜力平衡位置為取圖示質(zhì)點(diǎn)彈簧體系中質(zhì)點(diǎn)的靜力平衡位置為計(jì)算位移的原點(diǎn)，并規(guī)定位移計(jì)算位移的原點(diǎn)，并規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的和質(zhì)點(diǎn)所受的力都以向下為正。設(shè)彈簧發(fā)生單位位移時(shí)所需力都以向下為正。設(shè)彈簧發(fā)生單位位移時(shí)所需加的力為加的力為k11，稱為彈簧的，稱為彈簧的剛度剛度；單位力作用下；單位力作用下彈簧產(chǎn)生的位移為彈簧產(chǎn)生的位移為11 ，稱為彈簧的稱為彈簧的柔度柔度，k11與與11二者之間滿足：二者之間滿足：1

19、1111kWF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dy無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時(shí)，彈簧的剛度系數(shù)無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時(shí)，彈簧的剛度系數(shù)k11各各等于多少？等于多少？思考：思考：簡支梁：簡支梁：31148lEIk懸臂梁懸臂梁 ：答：答：3113lEIk14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 為了尋求結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)其位移以及各種量值隨時(shí)間變化的規(guī)律，需要先建立其為了尋求結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)其位移以及各種量值隨時(shí)間變化的規(guī)律，需要先建立其振振動(dòng)微分方程動(dòng)微分方程，然后求解。然后求解。振動(dòng)微分方程的建立方法

20、：振動(dòng)微分方程的建立方法：（1）剛度法。）剛度法。即列動(dòng)力平衡方程。設(shè)質(zhì)點(diǎn)即列動(dòng)力平衡方程。設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在振動(dòng)的任一時(shí)刻位移為在振動(dòng)的任一時(shí)刻位移為y，取質(zhì)點(diǎn)，取質(zhì)點(diǎn) m為隔離體，不考慮質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力，則作用于質(zhì)點(diǎn)為隔離體，不考慮質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力，則作用于質(zhì)點(diǎn)m上上 的力有：的力有：(a) 彈簧恢復(fù)力彈簧恢復(fù)力11k y cF該力有將質(zhì)點(diǎn)拉回靜力平衡位置的趨勢，負(fù)號表示其方該力有將質(zhì)點(diǎn)拉回靜力平衡位置的趨勢，負(fù)號表示其方向恒與位移向恒與位移y的方向相反，即永遠(yuǎn)指向靜力平衡位置。的方向相反，即永遠(yuǎn)指向靜力平衡位置。(b) 慣性力慣性力my 1F負(fù)號表示其方向恒與加速度負(fù)號表示其方向恒與加速

21、度 的方向相反的方向相反22d yydt對于彈簧處于靜力平衡位置時(shí)的初拉力，恒與質(zhì)點(diǎn)的重量對于彈簧處于靜力平衡位置時(shí)的初拉力，恒與質(zhì)點(diǎn)的重量mg向平衡而抵消，故向平衡而抵消，故振動(dòng)過程中這兩個(gè)力都毋須考慮。振動(dòng)過程中這兩個(gè)力都毋須考慮。14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15m( )1F t ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyy質(zhì)點(diǎn)在慣性力質(zhì)點(diǎn)在慣性力F1和恢復(fù)力和恢復(fù)力Fc作用下維持平衡，則有：作用下維持平衡，則有：10cFF110myk y或或110myk y將將F1和和Fc的表達(dá)式代入的表達(dá)式代入令令211km（14

22、-1）有有20yy（14-2）單自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)微分方程單自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)微分方程14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15（2）柔度法。）柔度法。即列位移方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)即列位移方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí)，把慣性力看作靜力荷載作用在體振動(dòng)時(shí)，把慣性力看作靜力荷載作用在體 系的質(zhì)量上，則在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移系的質(zhì)量上，則在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移y應(yīng)當(dāng)為：應(yīng)當(dāng)為：1 1111yFmy 即即110myk y同剛度法所得方程同剛度法所得方程此二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為：此二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為： 12cossiny t

23、AtAt(a)(a) 12sincosy tAtAt (b)(b)由初始條件由初始條件t=0t=0時(shí)，有時(shí)，有0yy0yy02vA10Ay可得到可得到有有00cossinyyytt(14-3)(14-3)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15可見可見: :單自由度體系無阻尼的自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。單自由度體系無阻尼的自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。 令令 , 0cosva0sinya有有 sin()yat（14-4） 2200100tanvayyv（14-6） 其中其中cos()yat（14-5） ()( )y tTy t位移滿足周期運(yùn)動(dòng)的下列條件

24、：位移滿足周期運(yùn)動(dòng)的下列條件： a表示質(zhì)量表示質(zhì)量m 的最大動(dòng)位移，稱的最大動(dòng)位移，稱為振幅。其由為振幅。其由常數(shù)常數(shù) 、初始條件、初始條件 y0 和和 v0 決定的決定的。是初始位置的相位是初始位置的相位角，稱為初相角。它也取決于常角，稱為初相角。它也取決于常數(shù)數(shù) 、初始條件、初始條件 y0 和和 v0 。 T 稱為結(jié)構(gòu)的自振周期，其常用稱為結(jié)構(gòu)的自振周期，其常用的單位為秒的單位為秒(s)。自振周期的倒數(shù)代自振周期的倒數(shù)代表每秒鐘內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，稱為表每秒鐘內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，稱為工程工程頻率，頻率，記作記作f，其單位為其單位為1秒秒(s-1)，或稱為或稱為赫茲赫茲(Hz)。2T( (14-7) )

25、12fT14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15表示表示2秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)很重要的標(biāo)志秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)很重要的標(biāo)志。 的單位為的單位為弧度秒弧度秒(rads)，亦常簡寫為亦常簡寫為1s (s-1)。從圓周運(yùn)動(dòng)的角度來看，。從圓周運(yùn)動(dòng)的角度來看，稱它為稱它為圓頻率圓頻率，一般稱一般稱為為自振頻率自振頻率。22fT 根據(jù)式根據(jù)式(14-1)，可給出結(jié)構(gòu)自振頻率，可給出結(jié)構(gòu)自振頻率的計(jì)算公式如下：的計(jì)算公式如下：111111st1kggmmWst1122mTkg相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)的自振周期相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)的自振周

26、期T T的計(jì)算公式為：的計(jì)算公式為：式中式中g(shù)表示重力加速度，表示重力加速度，st 表示由于重量表示由于重量mg所產(chǎn)生的靜力位移。所產(chǎn)生的靜力位移。 結(jié)構(gòu)的自振頻率和周期只取決于它自身的質(zhì)量和剛度，與初始結(jié)構(gòu)的自振頻率和周期只取決于它自身的質(zhì)量和剛度，與初始條件及外界的干擾因素?zé)o關(guān)，它反映著結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性。條件及外界的干擾因素?zé)o關(guān)，它反映著結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性。（14-8） 14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。例例14-1 圖示為三種不同支承情況的單跨梁，

27、圖示為三種不同支承情況的單跨梁，EI常數(shù)，在梁中點(diǎn)有一集中質(zhì)常數(shù)，在梁中點(diǎn)有一集中質(zhì) 量量m，當(dāng)不考慮梁的質(zhì)量時(shí)，試比較三者的自振頻率。，當(dāng)不考慮梁的質(zhì)量時(shí)，試比較三者的自振頻率。1348 E Im l31st48mglEI237867EIml32st7768mglEI33192EIml33st192mglEI據(jù)此可得據(jù)此可得 123:1 :1.51 : 2隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。ll 2 2ll 2 2mm 2ll 2m111111st1kggmmW14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返

28、 回退 出8:152. 2. 考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)物體的自由振動(dòng)由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去而不能無限延續(xù)。物體的自由振動(dòng)由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去而不能無限延續(xù)。 阻力可分為兩種：一種是外部介質(zhì)的阻力；另一種來源于物體內(nèi)部的阻力可分為兩種：一種是外部介質(zhì)的阻力；另一種來源于物體內(nèi)部的作用。這些統(tǒng)稱為阻尼力。通常引用福格第假定，即近似認(rèn)為振動(dòng)中物體作用。這些統(tǒng)稱為阻尼力。通常引用福格第假定，即近似認(rèn)為振動(dòng)中物體所受阻尼力與其振動(dòng)速度成正比，稱為粘滯阻尼力，即：所受阻尼力與其振動(dòng)速度成正比，稱為粘滯阻尼力，即：RFy 其中：其中：為阻尼系數(shù)，負(fù)號表示阻尼力的方向恒與

29、速度方向相反為阻尼系數(shù)，負(fù)號表示阻尼力的方向恒與速度方向相反考慮阻尼時(shí)，質(zhì)點(diǎn)考慮阻尼時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)力平衡方程為的動(dòng)力平衡方程為F t R( )m( )1F t ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyy10RcFFF即：即：110myyk y令令211km2km有有220ykyy ( (14-9) ) 14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 這是一個(gè)常系數(shù)齊次線性微分方程，設(shè)其解的形式為這是一個(gè)常系數(shù)齊次線性微分方程，設(shè)其解的形式為( )r ty tCe2220rkr 解得解得 221,2rkk 其特征方程為：其特征方程為：根

30、據(jù)阻尼大小不同，現(xiàn)分以下根據(jù)阻尼大小不同，現(xiàn)分以下3種情況討論：種情況討論：(1) k，即大阻尼情況即大阻尼情況，此時(shí)，此時(shí)r1和和r2為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，式式 (14-9)通通 解為：解為： y(t)不是一個(gè)周期函數(shù)不是一個(gè)周期函數(shù), , 即在大阻尼情況下不會發(fā)生振動(dòng)。即在大阻尼情況下不會發(fā)生振動(dòng)。（14-13） 222212( )(coshsinh)kty teCktCkt12( )()kty teCC t（14-14） (3) k=，即臨界阻尼情況即臨界阻尼情況 此時(shí)此時(shí)r1,2=-k ，方程，方程(14-9)的解為的解為00yy= vtanot00y-t 曲線曲線 以上兩種情況

31、均不屬振動(dòng)，位移以上兩種情況均不屬振動(dòng)，位移時(shí)程曲線（時(shí)程曲線（y-t 曲線曲線）表示體系從初始表示體系從初始位移出發(fā)，逐漸返回到靜平衡位置而位移出發(fā)，逐漸返回到靜平衡位置而無振動(dòng)發(fā)生。無振動(dòng)發(fā)生。 y(t)不是周期函數(shù)，亦即在臨界阻尼情況下不會發(fā)生振動(dòng)。此時(shí)，臨界阻不是周期函數(shù)，亦即在臨界阻尼情況下不會發(fā)生振動(dòng)。此時(shí)，臨界阻尼系數(shù)尼系數(shù)2crm14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15強(qiáng)迫振動(dòng)：強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載即外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載即外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。( )F t F t R( )m( )1F t

32、 ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyym( )1F t ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyy設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m受干擾力受干擾力F（t）作用，則質(zhì)點(diǎn)）作用，則質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)力平衡方程為：的動(dòng)力平衡方程為：1( )0RcFFFF t即：即：11( )myyk yF t或或212( )yyyF tm ( (14-18) ) 14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15方程的解包括兩部分：對應(yīng)齊次方程的通解和對應(yīng)干擾力方程的解包括兩部分：對應(yīng)齊次方程的通解和對應(yīng)干擾力F(t)的特解的特解212(

33、)yyyF tm ( (14-18) ) 通解通解012(cossin)tyeBtBt 特解特解 隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡諧周期荷載時(shí)的情況，如隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡諧周期荷載時(shí)的情況，如具有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的機(jī)器勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力的豎直或水平分具有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的機(jī)器勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力的豎直或水平分力等，表達(dá)為：力等，表達(dá)為：y( )sinF tFt(14-19) 其中其中 為干擾力的頻率，為干擾力的頻率，F(xiàn)為干擾力最大值。此時(shí)式為干擾力最大值。此時(shí)式(14-18)寫為：寫為：22sinFyyytm ( (14-20) ) 設(shè)方程的特解

34、為：設(shè)方程的特解為：12sincosyCtCt（b）（a）14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15式式(b) 代入式代入式(14 -20)，得到，得到2212222222222222()()42()4FCmFCm 式式(a)+式式(b) ，并引入初始條件，得到，并引入初始條件，得到000222222222222222222cossin2() 2cossin()4 ()sin2cos()4ttyyyeyttFettmFttm (14-21)由初始條件決定的自由初始條件決定的自由振動(dòng)由振動(dòng)伴生自由振動(dòng)伴生自由

35、振動(dòng)按干擾力頻率按干擾力頻率振動(dòng)的純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)的純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)由初始條件決定的自由振動(dòng)階段和伴生自由振動(dòng)階段會隨時(shí)間很快由初始條件決定的自由振動(dòng)階段和伴生自由振動(dòng)階段會隨時(shí)間很快衰減掉，故稱為過渡階段；最后只剩下按干擾力頻率振動(dòng)的純強(qiáng)迫衰減掉，故稱為過渡階段；最后只剩下按干擾力頻率振動(dòng)的純強(qiáng)迫振動(dòng)，故稱為平穩(wěn)階段。實(shí)際問題中，一般只討論純強(qiáng)迫振動(dòng)。振動(dòng)，故稱為平穩(wěn)階段。實(shí)際問題中，一般只討論純強(qiáng)迫振動(dòng)。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:151. 1. 不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)不考

36、慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)22 sin()Fytm 0(14-22)因此，最大動(dòng)力位移（振幅）為因此，最大動(dòng)力位移（振幅）為2222211221 ()11 =1stFFAmmFy(14-23)11 styF其中其中:代表將干擾力最大值代表將干擾力最大值F作為靜載作用于結(jié)構(gòu)上作為靜載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)引起的靜力位移時(shí)引起的靜力位移221 1stAy位移動(dòng)力系數(shù)位移動(dòng)力系數(shù)，代表最大動(dòng)力位移與靜力位移之比，代表最大動(dòng)力位移與靜力位移之比當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，值為負(fù)，表示動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載的指向值為負(fù)，表示動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載的指向相反相反, 這種現(xiàn)象僅在不計(jì)阻尼時(shí)出現(xiàn)。這種現(xiàn)象僅在不計(jì)阻尼時(shí)出現(xiàn)。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在

37、簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15o31240.511.523 動(dòng)力反應(yīng)譜（動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力反應(yīng)譜（動(dòng)力放大系數(shù)隨頻比隨頻比/變化的關(guān)系曲線）變化的關(guān)系曲線）動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)的大小反映了結(jié)構(gòu)動(dòng)力反的大小反映了結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的強(qiáng)弱。單自由度結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力與應(yīng)的強(qiáng)弱。單自由度結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力與慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是完全一樣的。與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是完全一樣的。041. 1242525111當(dāng)當(dāng) ，51 通常通常, ,當(dāng)動(dòng)力荷載當(dāng)動(dòng)力荷載(即干擾力即干擾力)的的周期周期

38、大于結(jié)構(gòu)自振周期的大于結(jié)構(gòu)自振周期的五、六倍五、六倍以上以上時(shí)，可將其時(shí)，可將其視為靜力荷載視為靜力荷載。 (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即/0，這時(shí)，這時(shí)1。這種情況相當(dāng)于靜力作用。這種情況相當(dāng)于靜力作用。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15321.510.54321o 動(dòng)力反應(yīng)譜動(dòng)力反應(yīng)譜 (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即/1，這時(shí)，這時(shí)。即振幅趨于無限大。即振幅趨于無限大,這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為共振。共振。2) 實(shí)際上由于阻尼的存在共振時(shí)振幅不會無限增大。實(shí)際上由于阻尼的存在共振時(shí)振幅不會無限增大。 t0y1

39、) 共振現(xiàn)象的形成有一個(gè)過程，振幅是由小逐漸變大的。共振現(xiàn)象的形成有一個(gè)過程，振幅是由小逐漸變大的。 注意注意: :3) 應(yīng)避開應(yīng)避開0.75/ 時(shí)，即時(shí)，即/1，這時(shí)，這時(shí)值為負(fù)值為負(fù)值值, ,并且趨近于零。并且趨近于零。 這表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨近于零，體系處于靜止這表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨近于零，體系處于靜止 狀態(tài)。狀態(tài)。 工程設(shè)計(jì)中，要求的是振幅絕對值工程設(shè)計(jì)中，要求的是振幅絕對值, ,動(dòng)力反應(yīng)譜中動(dòng)力反應(yīng)譜中/1 1 部部分的分的畫在橫坐標(biāo)的上方。畫在橫坐標(biāo)的上方。注意注意: :14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力

40、學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15在單自由度體系上，當(dāng)干擾力作用在質(zhì)量上、擾力作用線與質(zhì)體的振在單自由度體系上，當(dāng)干擾力作用在質(zhì)量上、擾力作用線與質(zhì)體的振動(dòng)位移方向重合時(shí)，其位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是完全相同的，動(dòng)位移方向重合時(shí)，其位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是完全相同的，結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力可以采用動(dòng)力系數(shù)法求得。結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力可以采用動(dòng)力系數(shù)法求得。如果干擾力不作用在質(zhì)量上，體系的位移和內(nèi)力沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)如果干擾力不作用在質(zhì)量上，體系的位移和內(nèi)力沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。這種情況下的結(jié)構(gòu)動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移的計(jì)算，可用力系數(shù)。這種情況下的結(jié)構(gòu)動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移的計(jì)算，可用建立動(dòng)力建立動(dòng)力微分方程的

41、微分方程的方法計(jì)算。方法計(jì)算。見書見書P89P89圖圖14-1514-15 tFsinm14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15解：在發(fā)電機(jī)重量作用下，梁中解：在發(fā)電機(jī)重量作用下，梁中 點(diǎn)的最大靜力位移為：點(diǎn)的最大靜力位移為：3st113925434835 10448 210 10/8.8 102.53 10 mGlGEINmN mm33st9.81/62.3rad/s2.53 10gm sm故自振頻率為故自振頻率為例例14-2 簡支梁中點(diǎn)裝有一臺電動(dòng)機(jī)，電動(dòng)機(jī)重量簡支梁中點(diǎn)裝有一臺電動(dòng)機(jī)，電動(dòng)機(jī)重量G=

42、35kN。已知梁的慣性矩。已知梁的慣性矩 I=8.810-5 m4， E=210GPa。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)離心力的垂直分力為。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)離心力的垂直分力為F=sint， 且且F=10KN。不計(jì)阻尼，求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為。不計(jì)阻尼，求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時(shí)，時(shí)，梁的最大彎矩和撓度。梁的最大彎矩和撓度。rml/Ft2l/22250052.3rad/s6060n干擾力頻率干擾力頻率:22113.452.31162.3動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù):梁中點(diǎn)的最大彎矩為梁中點(diǎn)的最大彎矩為max69GFstMMMKN m梁中點(diǎn)的最大撓度為梁中點(diǎn)的最大撓度為max4.98GFstyyymm14-4 單自

43、由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15stxmy靜平衡位置 質(zhì)體的動(dòng)位移質(zhì)體的動(dòng)位移 y(t) 是以靜力平衡位置為零是以靜力平衡位置為零點(diǎn)來計(jì)算的，因此點(diǎn)來計(jì)算的，因此 y(t) 中不包括質(zhì)體的重力影中不包括質(zhì)體的重力影響，但在確定質(zhì)體的最大豎向位移時(shí)，應(yīng)加上響，但在確定質(zhì)體的最大豎向位移時(shí)，應(yīng)加上這部分（這部分（st=11G）的影響。）的影響。注意：注意：14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15運(yùn)用運(yùn)用圖乘法圖乘法可求得可求得

44、EIl48311EIl322EIl1622112 (a) (1) 設(shè)慣性力和動(dòng)力荷載分別為單位力和設(shè)慣性力和動(dòng)力荷載分別為單位力和單位力偶作用在體系上，并繪出相應(yīng)的彎矩圖單位力偶作用在體系上，并繪出相應(yīng)的彎矩圖. 例例14-3 圖示簡支梁跨中有一集中質(zhì)量圖示簡支梁跨中有一集中質(zhì)量m，支座，支座A 處受動(dòng)力矩處受動(dòng)力矩Msint 的作用，的作用， 不計(jì)梁的質(zhì)量，試求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移和支座不計(jì)梁的質(zhì)量，試求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移和支座A 處的動(dòng)轉(zhuǎn)角的幅值。處的動(dòng)轉(zhuǎn)角的幅值。 解：該體系不能直接用放大系數(shù)求動(dòng)位移，可解：該體系不能直接用放大系數(shù)求動(dòng)位移，可由建立體系的振動(dòng)方程來求解。由建立體系的振動(dòng)方程來求解。m

45、l/MEIAB1411MMABABl/2l/212ml/MEIAB1411MMABABl/2l/21214-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15tMymtMtFtysin)( sin)()(121112I11 lMMF311123248mlEI式中式中 代代ij入上式，經(jīng)整理后得入上式，經(jīng)整理后得tmFyysin2 (b)解式解式(b)得穩(wěn)態(tài)解為得穩(wěn)態(tài)解為tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)(2) 根據(jù)根據(jù)疊加原理疊加原理列出動(dòng)位移列出動(dòng)位移 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移是慣性力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移是慣性力F

46、I(t) 和動(dòng)力荷載共同作用下產(chǎn)生的，按疊和動(dòng)力荷載共同作用下產(chǎn)生的，按疊加原理可表示為加原理可表示為14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15這說明質(zhì)體動(dòng)位移尚可應(yīng)用放大系數(shù)計(jì)算這說明質(zhì)體動(dòng)位移尚可應(yīng)用放大系數(shù)計(jì)算。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移幅值為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移幅值為 ，其中，其中 為動(dòng)荷載幅為動(dòng)荷載幅值值M所引起的質(zhì)點(diǎn)靜位移所引起的質(zhì)點(diǎn)靜位移yst，動(dòng)力系數(shù)。動(dòng)力系數(shù)。EIMl162EIMl162 支座支座A處的動(dòng)轉(zhuǎn)角也是由慣性力處的動(dòng)轉(zhuǎn)角也是由慣性力FI(t)和動(dòng)力荷載共同作用下產(chǎn)生和動(dòng)力荷載共同作用下產(chǎn)生的，按疊

47、加原理可表示為的，按疊加原理可表示為tMtymtMtFtAsin)(sin)()(222122I21 由穩(wěn)態(tài)解式由穩(wěn)態(tài)解式(c)可知可知14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222對式對式(c)求導(dǎo)兩次后代入上式，可得求導(dǎo)兩次后代入上式，可得tMFtAsin)()(222221將式將式(a)和和F *=3M/l代入上式代入上式, 得得tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)14-4 單

48、自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 可見可見, 質(zhì)點(diǎn)位移的動(dòng)力系數(shù)質(zhì)點(diǎn)位移的動(dòng)力系數(shù)和支座處動(dòng)轉(zhuǎn)角的動(dòng)力系數(shù)和支座處動(dòng)轉(zhuǎn)角的動(dòng)力系數(shù)是不同的。是不同的。tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222)(1)(1671(22 支座支座A處的動(dòng)轉(zhuǎn)角幅值為處的動(dòng)轉(zhuǎn)角幅值為 , 為動(dòng)荷載幅值為動(dòng)荷載幅值M所引起的靜轉(zhuǎn)角，所引起的靜轉(zhuǎn)角，為該動(dòng)力系數(shù)。為該動(dòng)力系數(shù)。EIMl3EIMl3其中其中2211而而 動(dòng)荷載不作用在質(zhì)量上動(dòng)荷載不作用在質(zhì)量上時(shí)，體系不能用

49、一個(gè)統(tǒng)時(shí)，體系不能用一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)來表示。一的動(dòng)力系數(shù)來表示。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:1522222222()sin2cos()4Fyttm 由式由式(14-21)的第三項(xiàng)，有：的第三項(xiàng)，有：命命222222122142FAmtg （14-27）（14-28）令令 和和 ，則振幅，則振幅A可寫為可寫為22222114stFAym （14-29） st2Fym2. 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中

50、南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)不僅與頻不僅與頻比比有關(guān)，而且還與阻尼有關(guān)，而且還與阻尼比比 有關(guān)。有關(guān)。 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與頻比與頻比和阻尼比和阻尼比的關(guān)系圖的關(guān)系圖222222114 在在0.75時(shí)，則時(shí)，則很小，表明質(zhì)量很小，表明質(zhì)量m接近于不動(dòng)或只作極微小的振動(dòng)接近于不動(dòng)或只作極微小的振動(dòng)。 (1) 阻尼對簡諧荷載的動(dòng)力系數(shù)阻尼對簡諧荷載的動(dòng)力系數(shù)影響較大影響較大簡諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的主要特點(diǎn)：簡諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的主要特點(diǎn)：14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自

51、由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:1512(2) 在在=1的共振情況下的共振情況下, 動(dòng)力系數(shù)為動(dòng)力系數(shù)為 2222114 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與頻比與頻比和阻尼比和阻尼比的關(guān)系圖的關(guān)系圖 在考慮阻尼的影響時(shí)，在考慮阻尼的影響時(shí)，共振時(shí)動(dòng)力系數(shù)不是無窮共振時(shí)動(dòng)力系數(shù)不是無窮大大, 而是一個(gè)有限值。在研而是一個(gè)有限值。在研究共振時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，究共振時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，阻尼的影響是不容忽略的。阻尼的影響是不容忽略的。 14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用

52、下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 用求極值的方法確定用求極值的方法確定的最大值發(fā)生在的最大值發(fā)生在 處處, 因因的值通常都很小，近似地將的值通常都很小，近似地將=1時(shí)的值作為最大值。時(shí)的值作為最大值。221(3) 最大值并不發(fā)生在最大值并不發(fā)生在=1處。處。2222114 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與頻比與頻比和阻尼比和阻尼比的關(guān)系圖的關(guān)系圖14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15當(dāng)當(dāng)1時(shí)，時(shí)，01時(shí)，時(shí)，/ /2；當(dāng)

53、當(dāng)=1時(shí)，時(shí)， =/2。 (4) 阻尼體系的位移阻尼體系的位移y(t)=Asin(t-)和干擾力和干擾力F(t)=sint 不同步，不同步， 其相位角為其相位角為。1122222tantan1 只要有阻尼存在只要有阻尼存在, 位移總是滯后于振動(dòng)荷載。位移總是滯后于振動(dòng)荷載。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15共振時(shí)共振時(shí), =/2, 位移方程式為位移方程式為 y(t)= ystcos st tytysinst tFtymtymtyctFsinsinsin212st2stD= 1/(2)，=，c=cc=

54、2m阻尼力為阻尼力為注意到共振時(shí)注意到共振時(shí)可見共振時(shí)干擾力與阻尼力互相平衡?？梢姽舱駮r(shí)干擾力與阻尼力互相平衡。共振時(shí)受力特點(diǎn)討論共振時(shí)受力特點(diǎn)討論:14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 為了減小動(dòng)力放大系數(shù)為了減小動(dòng)力放大系數(shù)， 當(dāng)當(dāng) =/ 1時(shí)稱時(shí)稱為為(共振后區(qū)共振后區(qū)) ，這時(shí)，應(yīng)設(shè)法減小結(jié)構(gòu)的自振頻，這時(shí)，應(yīng)設(shè)法減小結(jié)構(gòu)的自振頻率率。這種方法稱為。這種方法稱為“柔性方案柔性方案”。0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與頻比與頻比和阻尼比和

55、阻尼比的關(guān)系圖的關(guān)系圖討論：討論：14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15采用沖量方法首先討論瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)，在此基礎(chǔ)上討采用沖量方法首先討論瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)，在此基礎(chǔ)上討論一般動(dòng)力荷載下的動(dòng)力反應(yīng)。論一般動(dòng)力荷載下的動(dòng)力反應(yīng)。1. 強(qiáng)迫力為一般動(dòng)力荷載強(qiáng)迫力為一般動(dòng)力荷載-無阻尼無阻尼(1) 瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)F tF(t)S沖量Ft o=t假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。由于荷載作用時(shí)間極短，可以認(rèn)由于荷載作用時(shí)間

56、極短，可以認(rèn)為在沖擊荷載作用為在沖擊荷載作用完畢的瞬間，完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止?fàn)顟B(tài)的有沖量，可以使處于靜止?fàn)顟B(tài)的質(zhì)點(diǎn)獲得速度而引起自由振動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)獲得速度而引起自由振動(dòng)。 思考：思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？還是速度？ 14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 根據(jù)動(dòng)量定律，質(zhì)點(diǎn)在瞬時(shí)沖量根據(jù)動(dòng)量定律，質(zhì)點(diǎn)在瞬時(shí)沖量F t 作用下作用下的動(dòng)量變化為的動(dòng)量變化為tFmvmv0mtFv由于由于v

57、0=0, 所以有所以有 原來初位移、初速度為零的體系原來初位移、初速度為零的體系, ,在沖擊荷載作用在沖擊荷載作用后的瞬間后的瞬間, ,變成了初位移為零變成了初位移為零, ,初速度為初速度為 的自由振的自由振動(dòng)問題。動(dòng)問題。mtFtvtytysincos)(00由由tmtFysin(14-30)得得F tF(t)S沖量Ft o=t14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 若沖擊荷載不是在若沖擊荷載不是在t0，而，而是在是在t時(shí)作用，則上式中的時(shí)作用，則上式中的t 應(yīng)改為應(yīng)改為(t - )。)(t)(sin

58、tmtFy(14-31) t dS=F ttFodF(t) 由式由式(14-30)可得在可得在t 時(shí)作用瞬時(shí)沖量時(shí)作用瞬時(shí)沖量S引起的動(dòng)力反引起的動(dòng)力反應(yīng)。應(yīng)。tmtFysin(14-30)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15oF (t)=StF (t)F(t)tddd(2)一般動(dòng)力荷載一般動(dòng)力荷載F(t)的動(dòng)力反應(yīng)。的動(dòng)力反應(yīng)。 把整個(gè)加載過程看成是由一把整個(gè)加載過程看成是由一系列瞬時(shí)沖量所組成的。在時(shí)刻系列瞬時(shí)沖量所組成的。在時(shí)刻t 作用的荷載為作用的荷載為F(t) ，此荷載，此荷載在微分時(shí)段在微

59、分時(shí)段 d內(nèi)產(chǎn)生的沖量為內(nèi)產(chǎn)生的沖量為dS=F(t)d 。根據(jù)式。根據(jù)式(14-31)，此，此微分沖量引起的動(dòng)力反應(yīng)為：微分沖量引起的動(dòng)力反應(yīng)為：)(sind)(dtmtFy(g)對加載過程中產(chǎn)生的微分反應(yīng)進(jìn)行疊加，得出總反應(yīng)如下：對加載過程中產(chǎn)生的微分反應(yīng)進(jìn)行疊加，得出總反應(yīng)如下：稱為稱為杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分。d)(sin)(1)(0ttFmtyt (14-32)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:15 d)(sin)(1sincos)(000ttFmtvtytyt(14-33) 式中

60、第一、二項(xiàng)代表自由振動(dòng)部分，第三項(xiàng)代式中第一、二項(xiàng)代表自由振動(dòng)部分，第三項(xiàng)代表強(qiáng)迫振動(dòng)部分。表強(qiáng)迫振動(dòng)部分。d)(sin)(1)(0ttFmtyt(14-32)如果初始位移如果初始位移y0和初始速度和初始速度v0 不為零，則總位移應(yīng)為：不為零，則總位移應(yīng)為：14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出8:152.幾種動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)幾種動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng) (1) 突加長期荷載突加長期荷載 o F(t)t0F 突加長期荷載就是指突然施突加長期荷載就是指突然施加于結(jié)構(gòu)并繼續(xù)作用在結(jié)構(gòu)上的加于結(jié)構(gòu)并繼續(xù)作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，它