天圓地方放樣方法

1、1天圓地方及其放樣過程概述天圓地方又名方圓變徑管，被廣泛應(yīng)用于圓斷面與矩形斷面的風(fēng)管與設(shè)備間的連接。如圓通風(fēng)管與風(fēng)機(jī)出口，空調(diào)機(jī)組與風(fēng)機(jī)進(jìn)口等場合的連接。其放樣過程簡要如下：（1）先將上圓均分為若干等分，并將上圓各等分點(diǎn)與矩形角點(diǎn)依次相連，即將其分成若干個小三角形（如圖1）。（2）利用直角三角形定理先求出其在投影面上的長，再利用該值與天圓地方的高求出各連線空間實長。并同時求出圓上任意兩個相鄰點(diǎn)間的弧長。（3）用（2）中求得的空間實長與圓上任意兩個相鄰點(diǎn)間的弧長作展開圖（如圖2）。由上述步驟可知傳統(tǒng)放樣過程的確較為繁瑣，當(dāng)天圓地方為偏心或制作精度要求較高的情形時則更為繁瑣。因此，尋找其快捷方式具

2、有一定的現(xiàn)實意義。2. 計算公式的推導(dǎo)本文以兩個方向偏心的天圓地方為例進(jìn)行推導(dǎo)，以求出天圓地方放樣參數(shù)的通用公式。假設(shè)現(xiàn)需制作一天圓地方，其上圓半徑為r，矩形長為a 寬為b，其上下端面在長邊方向上的偏心矩為e1，在短邊方向上的偏心矩e2，天圓地方的高為h，同時結(jié)合實際將上圓等分?jǐn)?shù)定為n（n一般為4的倍數(shù)，圖中取為12）。2.1 建立三維坐標(biāo)本文通過建立三維坐標(biāo)將原來所需的兩次計算減為經(jīng)一次計算即可得出結(jié)果。先以X軸平行于矩形長邊，Y軸平等于矩形短邊，Z軸過圓心并平行于天圓地方的高，建立三維直角坐標(biāo)系。同時根據(jù)實際情況將圓周進(jìn)行n等分，并將各等分點(diǎn)與矩形角點(diǎn)相連（如圖1）。則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

3、：A（，0）；B（，0）；C（，0）；D（，0）；E(，0，0)； Fi（rcosi，rsini,h）其中i=0，1，n；=2/n。如圖所示A、B、C、D為矩形角點(diǎn)，E為AD與X軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為圓上等分點(diǎn)。2.2 公式推導(dǎo)：結(jié)合上述各點(diǎn)坐標(biāo)再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式可求出各連線在空間實長：AFi= 其中i=0，1，n/4；BFi= 其中i=n/4，n/4+1，n/2；CFi= 其中i=n/2，n/2+1，n/4；DFi= 其中i=3n/4，3n/4+1，n；EF0= ；FiFi+1= 其中i=0， 1，n-1。2.3 計算公式優(yōu)化：由于圓的等分量n為可變量故要在Excel中逐行編輯公式顯然行不通

4、，而對矩形角點(diǎn)A、B、C、D分區(qū)域編輯又因其區(qū)域分界點(diǎn)不甚明顯，且若所編輯的內(nèi)容過于繁瑣既影響運(yùn)算速度又易出錯。故有必要對公式進(jìn)行優(yōu)化，以利于對其進(jìn)行編輯。表1：j與K1、K2、i關(guān)系表： j K1 K2 i 1n/4+1 1 1 0n/4 n/4+2n/2+2 -1 1 n/4n/2 n/2+33n/4+3 -1 -1 n/23n/4 3n/4+4n+4 1 -1 3n/4n 將各連線自E0起逆時針進(jìn)行編號并記為j（j=0，1，n+4）如圖1。并引入?yún)?shù)K1、K2，使矩形各角點(diǎn)坐標(biāo)可統(tǒng)一標(biāo)為（，0）。顯然對于點(diǎn)A有K1=K2=1，對于點(diǎn)B有-K1=K2=1，對于點(diǎn)C有K1=K2=-1，對于點(diǎn)

5、D有K1= -K2=1。則j與K1、K2、i關(guān)系如表1所示。則其空間各連線計算公式可簡化為：shj=式中j=1,2,，n+4;：3.Excel電子表格的制作：根據(jù)需要先建立一Excel電子表格的模板，在具體應(yīng)用時可根據(jù)實際將其再作調(diào)整。首先制作出如圖3所示的表頭。表格中灰底格是計算機(jī)自動計算結(jié)果顯示處。下面分步介紹自動計算表格的設(shè)計過程。3.1 線段編號列（A列）的編輯：由于線段編號從0至n+4依次遞增，故該列單元格中數(shù)值為行號減5，所以該列可作如下編輯。先單擊單元格A5，然后在編輯欄中輸入：=ROW（A5）-5再按ENTER鍵完成該單元格的編輯。接著將A5選中，然后用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住A5右下腳的

6、小黑方塊，向下拖拽至A（n+8）的下端，抬起左鍵。其中ROW（A5）表示求單元格A5的行號。3.2 線段j對應(yīng)的圓上等分點(diǎn)編號列（B列）的編輯：由表1可知：當(dāng)線段編號j=0,1時對應(yīng)圓上點(diǎn)i=0；當(dāng)線段編號j=n/4+2時，對應(yīng)圓上點(diǎn)I=n/4；當(dāng)線段編號j=n/2+3時，對應(yīng)圓上點(diǎn)i=n/2；當(dāng)線段編號j=3*n/4+4時，對應(yīng)圓上點(diǎn)i=3*n/4；其余i值均為上一個i值加1。故在B5上可編輯為：=IF(OR(ROW(B5)=5,ROW(B5)=6),0,IF(A5=I5/4+2,I5/4,IF(A5=I5/2+3,I5/2,IF(A5=3*I5/4+4,3*I5/4,B4+1)，之后操作同

7、3.1。其中IF（t1，t2，t3）為判斷函數(shù)，當(dāng)t1真時取t2，t1為假時取t3。其他函數(shù)意義同上。3.3 天圓地方參數(shù)列（CH列）及等分?jǐn)?shù)列（I列）的編輯：參數(shù)r、a、b、e1、e2、h為某一天圓地方的固有屬性，而n則為圓周等分?jǐn)?shù)，n的具體取值與天圓地方尺寸大小及制作精度要求有關(guān)，一般取為12。其編輯過程如下：先在D5I5單元格中先按實輸入數(shù)值，并將D4中編輯為：=D5，編輯完成后單擊D6，然后用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住D6右下腳的小黑方塊拖拽至I6，之后操作同3.1。3.4 K1、K2列的編輯：由表1可知：當(dāng)n/4+2=j=3*n/4+3時K1= -1，其余K1值為1；同時當(dāng)j=n/2+2時K2=1

8、，其余K2值為-1。故在J5中可編輯為：=IF(A5=I5/4+1,1,IF(A53*I5/4+4,-1,1)。在K5中可編輯為： =IF(A50時，shj= 。則在L3中可編輯為：=IF(ROW(A5)=5,ROUND(SQRT(POWER(D5/2+F5-C5,2)+H5*H5),0),ROUND(SQRT(POWER(J5*D5/2+F5-C5*COS(B5*2*PI()/I5),2)+POWER(K5*E5/2+G5-C5*SIN(B5*2*PI()/I5),2)+H5*H5),0)。之后操作同3.1。而圓上任意兩點(diǎn)間的弧長為2r/n，故M5可編輯為：=2*PI（）*C5/I5，之后操

9、作同3.1。其中函數(shù)ROUND（t1，t2）表示將t1值保留t2們小數(shù)其后的數(shù)值四舍五入；SQRT（t）表示為t的正平方根函數(shù)，COS（t）、SIN（t）分別表示t的余弦值與正弦值；POWER（t1，t2）表示為求t1 的t2次方函數(shù)，PI（）為求值。4、Excel電子表格的應(yīng)用至此已將整個Excel電子表格模板編輯完成，其結(jié)果如圖4所示。應(yīng)用時只須修改天圓地方各相關(guān)參數(shù)與圓上等分?jǐn)?shù)，計算機(jī)便會立刻給出各連線實長與圓上任意兩點(diǎn)間的圓弧長。其中若n值大于12，則先點(diǎn)擊最后一行的行號使該行變黑，然后用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住行號右下腳的小黑方塊向下拖拽，拖拽行數(shù)與所增加的等分?jǐn)?shù)同。若n值小于12，則只需將多余行選取，然后右擊鼠標(biāo)并選中“刪除”項即可。圖45.結(jié)語：本文經(jīng)兩個方向偏移的天圓地方為例，