微積分課后題答案 高等教育出版社1

1、習(xí) 題 一（A） 1解下列不等式，并用區(qū)間表示不等式的解集：（1）x-4<7；（3）（5）（2）1£x-2<3； x-a<e(e>0)； （4）（6）ax-x0<d(a,d>0)； x2-x-6>0； x2+x-2£0解：.j即(-3,11). 1)由題意去掉絕對值符號可得：-7<x-4<7，可解得-3<x<112）由題意去掉絕對值符號可得-3<x-2£-1或1£x-2<3，可解得 -1<x£1,3£x<5.即(-1，1)È3,53）由

2、題意去掉絕對值符號可得-e<x-<e,解得a-e<x<a+e.即(a-e , a+e)；4）由題意去掉絕對值符號可得-d<ax-x0<d,解得x-da<x<x+da，即(x-d , x+d) aa-2）È（3， +¥）. 5）由題意原不等式可化為(x-3)(x+2)>0,x>3或x<-2即(-¥ ，6）由題意原不等式可化為(x+2)(x-1)£0,解得-2£x£1.既-2 , 1. 判斷下列各對函數(shù)是否相同，說明理由：（1）y=x與y=10lgx；（3）y=arcsin

3、(sinx)與y=x； （2）y=+cos2x與2cosx； （4）y=tan(arctanx)與y=x；1+x（5）y=lg(x2-1)與y=lg(x+1)+lg(x-1)； （6）y=lg1-x與x=lg(1-x)-lg(1+x) 解：1)不同，因前者的定義域為(-¥ , +¥)，后者的定義域為(0 , +¥)；2)不同,因為當(dāng)xÎk-¥U(2k+2)p , (2k+2)p)時，22+¥13 1+cos2x>0,而2cosx<0； 3）不同，因為只有在-p, p上成立；4）相同；5)不同，因前者的定義域為(-¥

4、; , -1)È(1 , +¥)，后者的定義域為(1 , +¥)；6）相同3求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）： （1）y=lg(4-x)x-1； （2）y= lg5x-x24；（3）y=（5）y=1-x1+x2； （4）y=；（6）y=3x-2+11+lg(5-x)； x-3x-4x+3x-11-lgx；（7）y= 解：12x+arccoslg 1-x； （8）2x-1y=x2-x-61)原函數(shù)若想有意義必須滿足(-¥ , -1)È(1 , 4)x-1>0和4-x>0可解得ìx<-1íî 1<

5、;x<4,即.5x-x22)原函數(shù)若想有意義必須滿足>0,可解得 0<x<5,即(0 , 5).43)原函數(shù)若想有意義必須滿足1-x1+x³0,可解得 -1<x£1,即(-1 , 1).ìx-2³0ì2£x<34)原函數(shù)若想有意義必須滿足ï,即 2 , 3 È( 3 , 5 ),3. íx-3¹0,可解得 íî3<x<5ï5-x>0îììx£-1ïx2-4x+3&

6、#179;05)原函數(shù)若想有意義必須滿足í,可解得 í,即(-¥ , 1È 3 , +¥ ).x³3ï(x-3)(x-1)³0îîìx>0ì0<x<106)原函數(shù)若想有意義必須滿足ï,即(0 , 10)È(10 , +¥). íx¹0,可解得íx>10îï1-lgx¹0î7)原函數(shù)若想有意義必須滿足1-102£x£0可解得0<x

7、£1-10-2即1-102 , 0)È(0 , 1-10-2 8)原函數(shù)若想有意義必須滿足x2-x-6>0,2x-1£1可解得 -3 , -2 È( 3 , 4 )7. 4求下列分段函數(shù)的定義域及指定的函數(shù)值，并畫出它們的圖形： （1）y=ïíì-x2,2x<33£x<4ïîx-1,，求y(0) , y(3)；（2） 解： ì1x<0ïx,ïy=íx-3 ,0£x£1ï-2x+1 ,1<x<

8、¥ïî，求y(-3) , y(0) , y(5)1）原函數(shù)定義域為：(-4 , 4) y=(0)=3 y=(3)=8.圖略2)原函數(shù)定義域為：(-¥ , +¥) y(-3)=-1 y=(0)=-3 y(5)=-9y(5)-9.圖略 3 5利用y=sinx的圖形，畫出下列函數(shù)的圖形：pö(1)y=sinx+1； （2）y=2sinx； （3）y=sinæçx+÷ è6ø解：y=sinx的圖形如下y1 -1 2 x(1)y=sinx+1的圖形是將y=sinx的圖形沿沿y軸向上平移1個單位2

9、 y10 p 3p 2 x (2)y=2sinx是將y=sinx的值域擴(kuò)大2倍。 y -2 2 2 p 3p（3）y=sin(x+p)是將y=sinx向2移動p個單值。 6 y1-p 0-1 5p 11p x 6在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=xsin(x-2)x(x-1)(x-2)2 無界的為（A）(-1 , 0) B(0 , 1) C(1 , 2) D(2 , 3)解：f(x)是基本初等函數(shù)的組合，在其定義域 B(-1 , 1) C(-2 , -1) D(-3 , 0)解：7.C. 可畫出函數(shù)圖像判斷，圖略 8指出下列函數(shù)單調(diào)增加和單調(diào)減少的區(qū)間：（1）y= 解：（1）在0 , 2上­

10、;，在2 , 4上¯；（2）在(-¥ , +¥)上­；（3）在(0 , +¥)上­；（4）在(-¥ , 0)上­，在(0 , +¥)上­ 9設(shè)f(x)x4x-x2； （2）y=x5+2 （3）y=x+log2x； （4）y=1-3x2 在(0 , +¥)上單調(diào)減少，a , b是任意正數(shù)，則有（C）f(a)+f(b) Bf(a+b)<Af(a+b)<f(a)+f(b)a+bf(a+b)> 解:C； f(a)+f(b) f(a+b)>f(a)+f(b)a+bf(a+

11、b)f(a)f(a+b)f(b)<<a+baa+bba+baf(a)f(b)+aa設(shè)a£b則f(a+b)f(b)<a+baa 2f(a+b)< 2f(a+b)<a+bf(a)+f(b) f(a)+f(b) a+b>2 f(a+b)<10指出下列函數(shù)的奇偶性：（1）sinx+cosx； （2）xx x4-1+tanx；x<0 ，ì1-x ， 1+x , x³0 .î（3）lg( x+1-x)；2 （4）ax+a-xa-a（5）coslgx； （6）f(x)=í 解：1）偶函數(shù)；f(-x)=sin(-

12、x)+cos(-x)=sinx+cosx=-xxf(x)2）奇函數(shù)；f(-x)=-x3）奇函數(shù)；f(-x)=1g(éùx4-1+tan(-x)=êxx4-1+tan(x)ú=-f(x)ëû x2+1+x)=1g1x+1-x2=-f(x)4）奇函數(shù)；f(-x)=a-x+axa-x-ax=-f(x)5）非奇非偶函數(shù)；f(x)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱6）偶函數(shù). ì1+x x<0 f(-x)=íî1-x x³0 11判別下列函數(shù)是否是周期函數(shù)，若是則求出其周期：（1）sin2x； （2）3-sin4

13、x；（3）xcosx； （3）2cosx-3sinx. 23 解：1）是周期函數(shù)，因為sin2(x+p)=sin2x ,所以周期T=p。2）是周期函數(shù)，因為3-sin4(x+p)4=3-sin4x，所以周期T=p. 43)不是周期函數(shù)。4）因為 12設(shè)f(x)和g(x)均為周期函數(shù)，f(x)的周期為2，g(x)的周期為3，問：f(x)±g(x) ，f(x)g(x)cosx2的周期為4p，而sinx的周期為6p，所以符合函數(shù)周期為12p。 3是否是周期函數(shù)，若是，求出它們的周期. 解：是周期函數(shù)，且周期都是6。 13求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域：（1）y=x+3x-3，x¹1

14、； （2）y=x3+7，xÎR；25-x2 , 0<x<5 ；ì2x-1 , 0<x£1 ,2ïî2-(x-2) , 1<x£2 . （3）y=lg(1-2x) , x<0 ； （4）y= （5）y=ïí 解：1).Y(x-1)=x+3 , (x¹1)x(1-7)=-y-3所以x=y+3 y¹1. y-1 x<0 ；ìx-1 ，2ï x³0 ；îx ， （6）y=ïí2).y=x3+7 , x

15、6;Rx=y-7 yÎR3).y=lg(1-2x) , x<010y=1-2xx=1(1-10y) Y>0 24).y=25-x2 ， 0<x<5y2=25-x2x-25-y2 0<y<5.5).y=ïíìx-1 , x<0.2ïîx , x³0.x=ïíì2x-1 , 0<x£1.2ïî2-(x-2) , 1<x£2.6).y=ïíì2x-1 , 0<x£

16、1.2ïî2-(x-2) , 1<x£2.ìy+1 ， -1<y£1ïx=í2ï2-2-y , 1<y£2.î 14設(shè)函數(shù)y=1-3x與y=g(x)的圖形關(guān)于直線y=x對稱，求g(x). x-2 解：因為函數(shù)y=1-3x與y=g(x)的圖形關(guān)于直線y=x對稱，所以g(x)是f(x)的反函x-2數(shù)，所以Hg(x)=f-1(x)=2x+1， (x¹-3). x+315設(shè)f(x)是定義在(-¥ , +¥)上的單調(diào)奇函數(shù)，問其反函數(shù)y=函數(shù)，何故？ 解：因

17、為f(x)與其反函數(shù)f-1(x)是否是單調(diào)奇f-1(x)關(guān)于直線y=x對稱，所以，當(dāng)f(x)單調(diào)增加時f-1(x)f-1(x)也單減，所以f-1(x)是單調(diào)函數(shù)。 也單增，同理f(x)但減時， 16求由下列函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)：u=u2+1 ， u=secx； （2）y=cosu ， u= （1）y=lgu ， ，u=2x+1. 解：1).lgu=lg(v2+l)=lg(sec2+1) 2).y=cosu=cos 17設(shè)f(x)和g(x)如下，求fg(x)和gf(x).g(x)= （1）f(x)=x2 , g(x)=x2； （2）f(x)=1gx+1 ，x+1. =cos2x+1 gf(x)

18、=2x. 解：1).fg(x)=22x=4x 22).f(g(x)=lg(x+1)+1 ， x³0gf(x)=lgx+1+1 ，lgx+1³0 =>x³110. 18將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合：（1）y=lgtan2x； （2）y=arcsinax；（3）y=2 解：1).y=lgu , u=v2 , v=tanx. 2).Y=arcsinu , u=av , v=3).y=2u , u=xcosx2； （4）y=lg2arctanx3. . ,v=cosw , w=x2.4).y=u2 , u=1gv ,v=arctanw ,w=x3. 19在下列

19、函數(shù)對y=（1）f(u)=f(u) , u=g(x)中，哪些可復(fù)合成fg(x)，其定義域為何？ u , g(x)=1g12+x2；（2）f(u)=lg(1-u) , g(x)=sinx；（3）f(u)=arccosu , g(x)=lgx；（4）f(u)=arcsinu , g(x)=x1+x2. 解：1).令u=g(x)=lg12+x2<0，所以f(u)=u無意見。2).fg(x)=lg(1-sinx) ，因為1-sinx¹1，所以x¹(2k+1)p，kÎz.3). fg(x)=arcos(lgx)，-1£lgx£1=>10-1&

20、#163;x£.104). fg(x)=arcsin 20設(shè)f(x)= xx1=， (x¹1 ， x¹) 解：ff(x)=1-2xx1-1-xxx11fff(x)=, (x¹ , x¹ , x¹)x1-3x231-1-2xx1+x ， -p2£x1+x£p2=>xÎR. x1-x，求ff(x)和ff(x). ìïx2 , 0£x£1 , 求g(x)21設(shè)g(x+1)=íï2x , 1<x£2î. 解：設(shè)u=x+1,

21、則x=u-1.所以g(x+1)=g(u), 當(dāng)0£x£1時，g(u)=(u-1)2，1£u£2. 當(dāng)1<x£2時，g(u)=2(u-1)，2<u£3.(x-1)所以g(x)=ïíì , 1£x£2. ï2(x-1) , 2<x£3.î2 22設(shè) 解：當(dāng)x>0時，f(x)+f(-x)=(x2-1)+1-(-x)2=0. 當(dāng)x<0時，f(x)+f(-x)=(-x)2-1+1-x2=0. 2ì x³0ï

22、x-1 ，f(x)=í , 求f(x)+f(-x). 2ï1-x ， x<0î當(dāng)x=0時，f(x)+f(-x)=-2.所以f(x)+f(-x)=í 23設(shè)解：f(x-1)=xx21+x4ì0 , x¹0. -2 , x=0.î1x2f(x-)=x1+x4，求f(x). =1(x-)2+2x 令u=x-1 x所以f(u)-1u+2，所以f(x)=1x+2.24設(shè)f(x2-1)=lgx2x-2，且fj(x)=lgx，求j(x).解：令u=x2-1，則f(u)=lgu+1， u-1所以f(u)=lgx+1. x-1令j(x)

23、=x，則fj(x)=lgj(x)+1=lgx , (x>0). j(x)-1所以j(x)+1=x. j(x)-1所以j(x)=x+1(x>0 , x¹1). x-1 25在半徑為R的球中 (0<x<R). 所以V=px2*2S=2px(x+2R2-x2).關(guān)于y的函數(shù)時y2x=R- ， 0<y<2R)42.V=p(R2-y2)*y. 4y2y2-) , 0<y<2R. 44S=2p(R2+yR2-26某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品2000噸，其銷售策略如下：購買800噸以下時按每噸130元出售超過800噸的部分按九折出售，求銷售收入與銷量之間的關(guān)系解：

24、設(shè)銷量為x（噸），則銷售收入為（元），0£x£800ì130x y=í (元)，800<x£2000î117x+1040027設(shè)某商品的供給函數(shù)為S(p)=a+bcp，已知S(2)=30，S(3)=50，S(4)=90求a，b，c 解：由題意可得：ì S(2)=a+bc2=30ïa=10ïï3íS(3)=a+bc=50b=5可以解得ïc=2ïï S(4)=a+bc4=90îìa=10ïíb=5 ïc=

25、2î28設(shè)一商場某商品售價為500元/臺時每月可消售1500臺，每臺降價50元時每月可增銷250臺，該商品的成本為400元/臺，求商場經(jīng)營該商品的利潤與售價的函數(shù)關(guān)系 解：設(shè)每臺售價為P，則銷量Q=500-P*250+1500 50(400<=4000-5Pp£500)則利潤函數(shù)L(P)=(P-400)(400-5P)=6000P-5P2-1600000(400<P£500)29某商場每月需購進(jìn)某商品2400件進(jìn)價為150元/件，分批進(jìn)貨，每批進(jìn)貨量相同，每次進(jìn)貨需500元，設(shè)商品的年平均庫存量為每批進(jìn)貨量之半，而每年每臺的庫存費(fèi)為進(jìn)價的6%，試將商場

26、每月在該商品上的投資總額表示為每批進(jìn)貨量的函數(shù) 解：設(shè)一批進(jìn)貨x件，則每月投資總額y=(150x+500)*24001x+*150*6% x122x =360000+3x+1200000(0<x£2400) 830如圖1-40，設(shè)AB=b公里，C是倉庫，C到鐵路的距離AC=a公里，現(xiàn)欲在鐵路上修一車站D，在C，設(shè)公路運(yùn)費(fèi)為m元/噸-公里，鐵路運(yùn)D間修一公路，費(fèi)為n元/噸-公里，求每噸貨物從C運(yùn)至B的總運(yùn)費(fèi)與AD=x的函數(shù)關(guān)系解：總運(yùn)費(fèi)y=a2+x2+n(b-x)(0£x£b).(B) 1單項選擇題(1)函數(shù)arcsin(sinx)與x在其上相等的區(qū)間是(B)

27、öéùAæç-÷ Bê-ú è22øë22û圖 1-40 C0， D-1，1(2)設(shè)f(x)的定義域為1，2，則f(1-lgx)的定義域為(C)1ùA1，1-lg2 B(0，1) Cé，1êú D(1，10) ë10û(3)函數(shù)y=x5與y=x對稱于(A)A直線y=x Bx軸 Cy軸 D原點(diǎn)O(4)設(shè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的定義域和值域依次為D(f)，R(f)和D(g)，R(g)，則復(fù)合函數(shù)fg(x)有意義的

28、充分必要條件是(A)AD(f)IR(g)¹f BD(f)ID(g)¹fCR(f)ID(g)¹f DR(f)IR(g)¹f (5)y=sin2x的最小正周期為(D)A4 B2 C D 2(6)y=(xsinx)5cosx在(-¥，¥)上是(C)A有界函數(shù) B周期函數(shù) C偶函數(shù) D單調(diào)函數(shù)(7)函數(shù)y=1x在區(qū)間(0，1)上是(D)A遞增、有界的 B遞增，無界的C遞減、有界的 D遞減、無界的(8)設(shè)f(x)=xtanxesinx則f(x)是(B)A偶函數(shù) B無界函數(shù) C周期函數(shù) D單調(diào)函數(shù)解：(1)arcsin(sinx)與x相等區(qū)間;選

29、單調(diào)區(qū)間-pp 22故選擇B(2)有題意知1£1-logx£2 ，-1£lgx£0 110£x£1；所以選擇C(3)由題意畫圖像選A(4)fg(x)有意義的充要條件,為g(x)的值域為f(x)的定義域 即D(f)IR(g)¹f選A (5)y=sin2x最小正周期2p=pxy=sin2x T= y=sin2x所以T=p 2選D(6)f(-x)=(-xsin-x)5cos-x=(xsinx)5cosx=(7)y=1x2f(x) 選C. 在(0,1)1x2當(dāng)x®0時,y=當(dāng)x®1時,y=所以y=1x®

30、¥ ®1 1x無界0&lt;x1&lt;x2&lt;1 1(x1)yx=2=()2>1 y2x2(x2)則所以遞減故選D(8)f(-x)=-xtan(-x)esin-x=xtan xe-sinxg(x)¹f(x)f(x)不是偶函數(shù) =x沒有周期，f(x)不是周期函數(shù)是周期函數(shù)，f(x)不是單調(diào)函數(shù) g(x)=tan xesinx2填空題(1)設(shè)f(x)=í(2)設(shè)ì1+x x<0則ff(x) 1， x³0îìx , -¥<x<1ï-1f(x)=&#

31、237;x2， 1 £x£4則其反函數(shù)f(x)= ïx 4£x£+¥î2，èxøx-1ö(3)設(shè)f(x)+fæç÷=2x，x¹0，1，則f(x)=(4)已知f(x)=sinx，fj(x)=1-x2，則j(x)=的定義域是 解：(1)當(dāng)x&lt;0時，u=f(x)&lt;1. 當(dāng)x&gt;0時，u=f(x)=1.所以ff(x)=f(u)=í所以ff(x)=íì1+u，u<0 1，u³0&#

32、238;ì2+x，x<-1； 1，x³-1î（2）由題意可知當(dāng)-1&lt;x&lt;1時,y=f(x)Î(-¥ ，1）. 由題意可知當(dāng)1£x£4時,y=f(x)Î1 ，16. 由題意可知當(dāng)4&lt;x&lt;+¥時,y=f(x)Î16 ，+¥. 所以f(x)的反函數(shù)g(y)為 ìy ，-¥<y<1g(y)=ïy，1££16 íïlog ，16<y<+

33、65;î2即ìx ，-¥<x<1ïf-1(x)=íx ，1£x£16 ïlog x，î216<x<+¥x（3） f(x)+f(x-1)=2xæx-1ö-1÷çç÷x-1f()+fçx-1÷=fxç÷xç÷èø (x-1)+fæçx1öx-1) ÷=2(1-xxèøæ

34、1ö-1÷çç÷x-1f()+fç÷=fxç1-x÷ç÷èø(x-1)+f(x)=x21-x x-1ùéx-1éf(x)+f()ú-êf()+êxxëûëùx-12æ1öùéæ1öfç)+÷ú+êfç÷+f(x)ú=2f(x)=2x-2(x

35、1-xè1-xøûëè1-xøû f(x)=x-(x-1)+x111=x+-1 1-xx1-x(4)fu(x)=sin(u(x)=1-x2 所以u(x)=arcsin(1-x2) -x2£1ÞxÎ0 2 習(xí) 題 二 1.列數(shù)列xnn®¥時的變化趨勢，判定它們是否收斂，在收斂時指出它們的極限：（1）xn=1an(a>1) ; （2）xn1n=3(-1)n ; 1n（3）xn=1g ; （4）xn=(-1)n(1+) ;（5）xn=3+(-1)n ; （6）xn=sec ;

36、11+L+1+3+5+L+(2n-1)2. （7）lim; （8）limn®¥n®¥2+4+6+L+2n1+L+221+1n1n 解：1）收斂.因為當(dāng)n®¥時,an®¥(a>1) ;所以xn®0 ;所以lim xn=lim x®¥x®¥1a=0 .ì3 n為偶數(shù)2)因為xn=xn=ïí1ïn為奇數(shù)î3 所以xn是發(fā)散的;3)發(fā)散的.因為當(dāng)n®¥時,4)因為xn=íì1 n

37、為偶數(shù)î-1 n為奇數(shù)11®0;所以xn=1g®-¥ nnxn是發(fā)散的; 所以5)收斂的.因為當(dāng)n®¥時,6)收斂的.當(dāng)n®¥時, 11®0;所以xn=3+(-1)n®3;即limxn=3; nnx®¥11®0;sec®1;即limxn=1; nnx®¥n(1+2n-1)1+3+5L+(2n-1)n=7)因為; 2+4+6+L+2n1+n2所以limx®¥n=1; 1+n所以是收斂的;111+L+1-1328)因為

38、= n-121+2n-11+L+1-()221-221-1 所以lim313=; x®¥21+22所以是收斂的; 2.據(jù)我國古書記載，公元前三世紀(jì)戰(zhàn)國時代的思想家莊子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的樸素極限思想，將一尺長的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成數(shù)列，并考察其極限.解：數(shù)列為1, 2, K ,所以通項為an=12112212n-1 ; ;所以liman=0; x®¥ 3.由函數(shù)圖形判別函數(shù)極限是否存在，如存在則求出其值：（1）limxm(m>0) ; （2）limxm(m<0) ; x®0x®

39、;¥（3）limax(a>0 , ¹1) ; （4）limax(a>0 , ¹1) ; x®0x®¥（5）limlogax(a>0 , ¹1) ; （6）limarccosx ; x®1x®-1（7）limarctanx ; （8）limcosx . x®1x®¥ 解：1）當(dāng)x®0時,limxu(u>0)=0 ; x®¥2）limxu(u<0)=limx®¥1xx®¥(u<

40、;0)=0 ;3）limax(a>0 , a¹1)=1 x®¥4） 0ì0 a<1 .limax(a>0 , a¹1)=íx®¥î1 a>1 .a<1 ; 所以1 a>1 ;5)limlogax(a>0 , a¹1)=0 x®-16)limarccosx=p所以cosp=-1 ; x®-17)limarctanx=. x®-1p48)limcosx的極限不存在 x®¥ 4求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限，

41、并判定函數(shù)在該點(diǎn)的極限是否存在：（1）f(x)=xx , x=0 ; （2）f(x)=1 3x, x=0 ;（3）f(x)= , x=0 ;1ì, x<1ï , x=1 . （4）f(x)=í1g(1+x)ïarcsin(x-1) , 1£x£2î1x 解：1)lim-1f(x)=-1¹lim+f(x)=1 ;所以該點(diǎn)的極限不存在 x®0x®02)lim-1f(x)=0¹lim+f(x)=¥ ;所以該點(diǎn)的極限不存在 x®0x®03)lim-1f(x)

42、=-x®0p2¹limf(x)=x®0+p2;所以該點(diǎn)的極限不存在 4)lim-f(x)=x®11¹limf(x)=0 ; 所以該點(diǎn)的極限不存在 1g2x®1+ 5用e-d或e-N的方法陳述下列極限：（1）lim+f(x)=A ; （2）lim-f(x)=A ; x®ax®a（3）limf(x)=A ; （4）limf(x)=A . x®+¥x®-¥解：1)當(dāng)0<x-a<d時 f(x)-A<x2)當(dāng)0<a-x<d時 f(x)-A<x3)當(dāng)x

43、>M時 f(x)-A<x4)當(dāng)x<-M時 f(x)-A<x 6用極限的嚴(yán)格定義（即e-d或e-N的方法）證明下列極限：（1）lim1n®¥=0 ; （2）lim1=-; n®¥3n2+135-n2（3）lim+x+1=0 ; （4）lim10x=0 . x®-1x®-¥解：1)對于任意給定的x,要使dyx成立,只要使n>所以對于任意給定的x,存在N=11x1n即n>1x成立 1n=0 x4當(dāng)n>N時恒有-0<x成立,故limx®¥ 2)對于任意給定的x,要使

44、5-n23n2+1+116-3x1=+¥ n><x成立即lim成立 x®xof(x)39x2所以對于正數(shù)x,存在N=16-3x9x2成立當(dāng)n>N時恒有5-n25-n23n+12+1<x成立 3所以lim1 =-x®¥3n+133)由于f(x)-0=x+1所以對于任意給定的x>0,存在d=x2當(dāng)0<x+<d時 恒有f(x)-0<x成立故lim+x+1=0 x®-14)對于任意給定的正數(shù)x要使x-0<x成立即x>1gx成立 所以存在X=1gx .當(dāng)x>X時恒有x>1gx成立即l

45、im10x=0 . x®¥ 7求下列極限：(x+h)3-x3xn-1（1）lim ; （2）lim; h®0x®1x-1h（3）limx®+¥1(arctanx+2x) ; （4）limçç1öæx-÷÷ ; x®1èx-1x-xø-x-32+x（5）limx21-+x2x®0; （6）limx®¥ ;（7）limx+1-3x-2-2x®4 ; （8）lim(x2+x+1-x2-x-3) . x®

46、¥(x+h)3-h3x3+3x2h+3xh2+h3-x3解：1）lim=lim=lim(3x2+3xh+h2)=3x2 h®0h®0h®0hhxn-12)lim=n x®1x-11öæpç3）limçarctanx+2x÷=lim(arctanx+1)=+1 ÷x®+¥ç2÷x®+¥èø4)lim(x®1x1(x-1)(x+1)x+1 -)=lim=limx®1x(x-1)x®

47、1xx-1x-xx2=limx2(1+x2)-x25)limx®01-+x2x®0=-lim(1+x2)=-2 x®06)lim-x-32+xx®-¥=1-x-9(2+x)(-x+3) =(2+x)(x2-2x+4)(2+x)(-x+3)=-2 7)lim2x+1-3x-2-2x®4=lim(x+1-3)(2x+1+3)x-2-2)(2x+1+3)x®4(=lim=lim =2(x-4)x-2-2)(2x+1+3)(2x+1+3)x®4(2(x-2+2)x®4 2 38)lim(x2+x+1-x2-x-3

48、) x®¥=lim(x®¥2x+4x+x+1+x-x-32+422) =lim(x®¥+1113+-xxxx)=1 8求lim5-4nn-15n-4n-1n®¥5+3. 解：limn®¥5+314n()=1 =limn®¥55+9()n51- 9下列數(shù)列xn，當(dāng)n®¥時是否是無窮小量？（1）xn=10503n; （2）xn=1+(-1)n1n;（3）xn=n . 解：1)是無窮小量 因為limxn=0 n®¥2)是,因為limxn=0(

49、n為奇數(shù)或者偶數(shù)) n®¥3)不是. 10當(dāng)x®0時下列變量中哪些是無窮小量？哪些是無窮大量？（1）y=100x3 ; （2）y=110x ;（3）y=log2(1+x) ; （4）y=cot4x ;ö（5）y=secæç-x÷ ; （6）y=sin. è2øp1x1x 解：1)是無窮小,因為limy=0 x®02)是無窮大量,因為limy=+¥ x®03)是無窮小量,因為limy=0 x®04)是無窮大量,因為limy=+¥ x®05)是無窮大

50、量,因為limy=+¥ x®06)非大非小 11已知lim解：因為lim2arctanx2x2=lim= , x®0x®05x5x5x®x0f(x)存在，而limg(x)=0，證明limf(x)=0 . g(x)x®x0x®x0limf(x)f(x)x®x0lim=存在 x®x0g(x)limg(x)x®x0而limg(x)=0 x®x0所以limf(x)=0 ; x®x0 12設(shè)limx2+ax+b解：因為lim=limx+y=3 x®1x®1x-1x2

51、+ax+b=3，求a，b. x®1x-1所以x2+ax+b(x-1)(x-2) =x-1x-1所以a=1,b=-2 -ax-b÷=0，求a，b . 13設(shè)limçç÷x®¥x+1èøæx2+1ö x2+1x2+1-ax2-ax-bx-b解：lim(-ax-b)=lim=0 x®¥x+1x®¥x+1所以即x2+1-ax2-ax-bx-b為一常數(shù)所以a=1 b=-1 14當(dāng)x®0時，下列變量中與3x2+x4相比為同階無窮小的是（B）.Ax

52、Bx2 Cx3 Dx4解：B 因為lim 15求lim解：lim3n-9n82x2+x4x®03x2=lim1x®03+x2=1 3-9n28n®¥. 5n-81n+21n5-9=3 n®¥=lim5n-81n+2n®¥52-+8nn 16設(shè)x®a時f(x)®¥，g(x)®¥，則下列各式中成立的是（D）.Af(x)+g(x)®¥ Bf(x)-g(x)®0C11®0 D®0 f(x)+g(x)f(x)解：D.因為x&#

53、174;a時f(x)®¥,g(x)®¥，所以 17求下列極限（1）lim 解：1)lim(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)11®0，®0. f(x)g(x)(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)x®¥ （2）lim(100+cosx) . x®¥x3+xx2+1(2x+1)10(3x-4)5=limx®¥x®¥15(2x-7)15x15=21035215=243 3211+x+1x(100+105x) 2)lim(100+105x)=limx&

54、#174;¥x+xx®¥1+2x2 18求下列極限：（1）limsin2xx-sinx; （2）lim; x®0sin3xx®0x+sinx（3）lim2arctanxpöæ ; （4）limçnsin÷ ; x®05xn®¥ènøsinxx ; （6）lim; x®pp-xx®0+-cosx-cosx2tanx-sinx; （8）lim; 1-cosxx®0x（5）lim（7）limx®0（9）limx-xcosx

55、sin(x-1) ; （10）lim . x®0tanx-sinxx®1x+5x-6解：1)limsin2x2x2=lim= x®0sin3xx®03x31-sinxx-sinx=0 =lim2)limx®0x+sinxx®01+x3)lim2arctanx2x2=lim= x®0x®05x5x5sinnpp4)lim(nsin)=limn®¥pnn®¥=lim=p n®¥nsinx(sinx)cosx=lim=lim=1 5)limx®pp-x

56、x®p(p-x) x®p-16)lim+x®0x-cosx=limx2sin2x®0+=lim(x)(2sin)2x®0+=2 7)2 8)lim9)limtanx-sinx(tanx-sinx)1=lim=lim(2-cosx)=0 x®0x®0x®0cosxxxx-cosxx(1-cosx)=lim=limcosx=1 x®0tanx-sinxx®0sinx()x®0cosx10)limsin(x-1)+5x-6x®1x=limx-111=lim= x®1(x-

57、1)(x+6)x®1x+1719設(shè)limx2+ax+bsin(x2-1)x®1=3，求a，b .解：因為limx2+ax+bsin(x2-1)x®1=limx2+ax+b=3 x®1(x-1)(x+1)所以x2+ax+b=(x-1)(x+5)所以a=4 . b=-5 20設(shè)xn=解：因為n而limnn®¥1n+11n+122+1n+22+L+1n+n2，用極限存在的夾逼準(zhǔn)則求limxn . n®¥£xn£n1n+n1n+n22 =1 1n+12=1，limnn®¥所以limx

58、n=1 n®¥ 21求下列極限：2+13öæ（1）limç1+÷ ; （2）lim(1-)3 ; x®¥xx®¥èxø3xx（3）lim3+2x ; （4）lim(1+tanx)1-2cotx ; x®0x®0æ2x+3ö（5）limç÷x®¥è2x+1øx+1 ; （6）limç÷ . x®0è3x-1ø1æ2x-1

59、öx33解：1)lim(1+)3x=lim(1+)39=e9 . x®¥x®¥xx-2+12-2 2)lim(1-)3=lim(1-)23*(1-)=e3 . x®¥x®¥xxxxx22x3)lim3x®0+2x=122lim(1+2x)x3x®0=2 .e34)lim(1+tanx)x®01-2cotx=lim(1+tanx)x®02x+11+22x1tanx-2*(1+tanx)=e-2 . 2x+3x+12)=lim(1+) 5)lim(x®

60、5;2x+1x®¥2x+111+1=e . 2x-1xxx)=lim(1-) 6)lim(x®03x-1x®03x-1=lim(1+x®01-3x1-3+3)x=e . æx-kö22設(shè)limç÷x®¥èxø-2x=limxsinx®¥2，求k . x解：因為limxsinx®¥2=limxx®¥2sin2x2x=2.xx-k-2xk-*2k)=lim(1-)k=e2k=2 . 所以lim(x®&

61、#165;x®¥xx所以k=1n2 . 23判定下列函數(shù)在定義域上是否連續(xù)（說明理由）：ìsinx1ì2 , x¹0 ,xsin , x¹0 ,（1）f(x)=ï （2）f(x)=ï xííxï0 , x=0 ;ïîî1 , x=0 . 12 解：1)因為limf(x)=0，而f(0)=0.所以f(x)在定義域上是連續(xù)的。 x®02)因為limf(x)=íx®0ì1 , x>0，而f(0)=1.所以f(x)在定

62、義域上不連續(xù). -1 , x<0î 24求下列極限：（1）limln(1+3x)-tanx-+tanx ; （2）lim ; x®0sin4xx®psin2x1æx-1ösin() limç÷x ; x®¥èxø（3）aöæ （4）limçcos÷ (a¹0) ; x®¥èxøarctan2xtanx+(x+2)x2（5）limln(ex+ex)3+1+arccosxln(1+2x)x2x&

63、#174;1; （6）limx®0; (1+x)a-(1+x)b; （8）lim（7）lim(a , b¹0) ; x®+¥ln(1+4x)x®0xln(1+x)+ln(1-x)x2-1（9）lim. ; （10）limx2x®0x®1lnxe-1 解：1)lim2)lim=limln(1+3x)3x3=lim=. x®0sin4xx®04x4-tanx-+tanx-2tanx=lim x®xsin2x(-tanx+tanx)sin2xx®x-1-tanx+tanx)x®xc

64、ox2x(=-1 21x-1sin()()11sin()lim1+(-)x®¥x3)limx®¥x=-=lim1+(-)x®¥1x1-x=e-1 ax2ax2lim(cos)=lim(1+(cos-1)4) x®¥x®¥xx=lim(1-ç÷)x®¥æxö2-2ç÷1æaöèaø2é1æaöê-ç÷2xê&#

65、235;èø2ùúx2úû2èxø =e5)limln(ex+ex)3+1+arccosxx2-a22 x®1=ln(e1+e1)3+1+arccosl1=(1+ln2) 6)limarctan2xtanx+(x+2)=limarctan20tan0+(0+2)12x®0x®0=7)limln(1+2x)ln(1+4x)p 8ln1*ln2xlnl*ln4xx®+¥=limx®+¥=lim= 12x*ln2 x®+¥2x*ln

66、2(1+x)a-(1+x)b 8)lim(a , b¹0) x®0x(1+x)a-(1+x)b=lim x®0x=lima(1+x)a-1-b(1+x)b-1 x®01x2-1(x-1)=lim(x+1) x®1lnxx®1ln1+(x-1)=a-b 9)lim=1*(1+x)=2 10)limln(1+x)+ln(1-x)ex-1x®0=limln(1-x2)ex-1x®0=-1-x2x225設(shè)limççæf(x)-2sinxölimf(x) . -÷÷

67、=2，求x®0x®0èxxøf(x)-3f(x)-2sinx=2 . -=2，所以可以推出limx®0xxx解：因為limx®0所以f(x)=2x+3 .所以limf(x)=3 . x®0 26對數(shù)列xn，設(shè)0<x1<0<xn<1(" n) .并求limxn . 2n®¥1，且xn+1=xn(1-2xn)(n=1, 2 ,L) .證明：xn單調(diào)減少，且2 解：因為xn+1-xn=-2xn2<0 .所以xn+1<xn .所以數(shù)列xn單調(diào)減少。 當(dāng)n=1時,x2=x1(1-2x1)>0,而且x2<. 假設(shè)當(dāng)n=k時也成立，即xk+1=xk(1-2xk)>0,且x