(課件1)13空間幾何體的表面積與體積

1、1.3.1 1.3.1 柱體、錐體、臺柱體、錐體、臺體的表面積和體積體的表面積和體積 在初中已經(jīng)學(xué)過正方體和長方體的表面積，你知道正在初中已經(jīng)學(xué)過正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖的面積與其表面積的關(guān)系嗎？方體和長方體的展開圖的面積與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題多面體的平面展開圖多面體的平面展開圖多面體是由一些平面多邊形圍成的幾何體，沿多面體是由一些平面多邊形圍成的幾何體，沿著多面體的某些棱將它剪開，各個面就可展開著多面體的某些棱將它剪開，各個面就可展開在一個平面內(nèi)，得到一個平面圖形在一個平面內(nèi)

2、，得到一個平面圖形, ,這個平面這個平面圖形叫做該多面體的圖形叫做該多面體的平面展開圖平面展開圖. . 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？如何計(jì)算它們的表面積？chhdbaS )（直棱拄側(cè)直棱拄側(cè)habdabdhh直三棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它直三棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖底側(cè)表面積SSS2棱柱的表面積棱柱的表面積正五棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表正五棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面

3、積？面積？側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖21chS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)底側(cè)表面積SSS正四棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表正四棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？側(cè)面展開hh正棱臺的側(cè)面展開圖正棱臺的側(cè)面展開圖) 21hccS （正棱臺側(cè)正棱臺側(cè)下底上底側(cè)表面積SSSS 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)算它們的算它們的表面積就是計(jì)算它的各個側(cè)面面積和底表面積就是計(jì)算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和面面積之和h 例例1 已知棱長為已知棱長為a

4、，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 D 分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成組成,因此只要求因此只要求.因?yàn)橐驗(yàn)镾B=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC 因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積 交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過點(diǎn)的面積，過點(diǎn)S作作SBCBCSD BCASaOOr)(2222lrrrlrS圓柱表面積lr2圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形)(

5、2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr 參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么圓臺的側(cè)面展開圖是什么 )(22rllrrrS圓臺表面積r2lOrO r2 r圓臺的側(cè)面展開圖是扇圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)環(huán)lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺 圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？這種關(guān)系是巧合還是存在必然聯(lián)系？什么關(guān)系？這種關(guān)系是巧合還是存在必然聯(lián)系？rrr0 例例2 2 如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底

6、直徑為底直徑為10cm10cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為2cm2cm，盆壁長，盆壁長15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm10 解：由圓臺的表面積公式得解：由圓臺的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：222222201522015210210S)(10962cm答：花盆的表面積約是答：花盆的表面積約是1096 1096 2cm柱體、錐體、臺體的表面積柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖)(22rllrrrS

7、圓臺圓臺圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐幾何體占有空間部分的大小叫做它的幾何體占有空間部分的大小叫做它的體體積積公理公理1 1、長方體的體積等于它的長、寬、高的長方體的體積等于它的長、寬、高的積積。V長方體長方體= abc推論推論1 1、長方體的體積等于它的底面積長方體的體積等于它的底面積s s和高和高h(yuǎn) h的積的積。V長方體長方體= sh推論推論2 2、正方體的體積等于它的棱長正方體的體積等于它的棱長a a 的立方。的立方。V正方體正方體= a3公理公理2 2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截于

8、這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。PQ祖暅原理祖暅原理公式公式1 1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積的底面積 s s 和高和高 h h 的積。的積。V柱體柱體= sh推論推論1 1： 底面半徑為底面半徑為r r，高為高為h h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h2 2、錐體體積、錐體體積如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S,S,高為高為h.h. ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答

9、: :可分成可分成棱錐棱錐A-DA-D1 1DCDC, , 棱錐棱錐A-DA-D1 1C C1 1C C, , 棱錐棱錐A-BCDA-BCD. . 問：（問：（1 1）從）從A A點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割成幾個三棱錐？點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割成幾個三棱錐？ 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點(diǎn)到面的距離shV31三棱錐公式公式2 2如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論推論2 2：如果圓錐的底面半徑是：如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hS

10、S錐體錐體 31圓錐圓錐 Sh31ss/ss/hx3 3、臺體的體積、臺體的體積V V臺體臺體= =公式公式3 3：上下底面積分別是：上下底面積分別是s s/ /,s,s,高是高是h h，則，則1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3推論推論3 3：如果圓臺的上：如果圓臺的上, ,下底面半徑是下底面半徑是r r1 1.r.r2,2,高高是是，那么它的體積是：，那么它的體積是：31圓臺圓臺 h)(222121rrrr 三、柱體、錐體、臺體的體積公式之間三、柱體、錐體、臺體的體積公式之間 的關(guān)系的關(guān)系hSSSSV)(31 S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0 SS分別

11、為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺體高為臺體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小 例3.有一堆規(guī)格相同的鐵制六角螺帽共重5.8kg（鐵的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六邊形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個？ V2956（mm3）=2.956（cm3） 5.81007.82.956 252（個） 解答： 1 1求空間幾何體的體積除利用公式法外，求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何

12、體體積計(jì)算問題的常用解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問題的常用方法方法幾何體的體積小結(jié)幾何體的體積小結(jié)2 2計(jì)算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵計(jì)算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題334RV O B A24 RS 設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R R，則有體積公式和表面積公，則有體積公式和表面積公式式R球體的體積與表面積球體的體積與表面積例例1.1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .333612

13、5)25(3434cmRV 例題講解例題講解解解: :設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R R，則圓柱的底面半徑為，則圓柱的底面半徑為R R，高為高為2R.2R. 例例2 2 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：（徑，求證：（1 1）球的體積等于圓柱體積的）球的體積等于圓柱體積的 ；（2 2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積. .32，球球334RV 圓柱圓柱球球所以，所以，VV32 1)1)因?yàn)橐驗(yàn)?222RRRV 圓圓柱柱，球球24 RS 圓圓柱柱側(cè)側(cè)球球所所以以，SS 2)2)因?yàn)橐驗(yàn)?422RRRS 圓柱側(cè)圓柱側(cè)例例3.3.如圖

14、，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a a, ,它的各個頂點(diǎn)都在球它的各個頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表的表面積和體積面積和體積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。合，則正方體對角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC

15、 CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O33a23a2334V ）（球球小結(jié)：1.1.正棱柱的中心是正棱柱外接球，正棱柱的中心是正棱柱外接球， 內(nèi)切球的球心；內(nèi)切球的球心； 2 2、正棱錐的外接球，內(nèi)切球的球、正棱錐的外接球，內(nèi)切球的球 心在正棱錐底面的高上。心在正棱錐底面的高上。 例4 已知A、B、C為球面上三點(diǎn)，AC=BC=6，AB=4，球心O與ABC的外心M的距離等于球半徑的一半，求這個球的表面積和體積.ABCOM 627,54,263 VSR解答：解答：2.2.一個正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個正方體的頂點(diǎn)都在球面上, ,它它 的棱長是的棱長是4cm,4cm,這個球

16、的體積為這個球的體積為cmcm3 3. . 8 3321.1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2 2倍倍, ,體積變體積變 為原來的倍為原來的倍. .練習(xí)一練習(xí)提升練習(xí)提升A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O3.3.有三個球有三個球, ,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面, ,一一球切于此正方體的各側(cè)棱球切于此正方體的各側(cè)棱, ,一球過此正方一球過此正方體的各頂點(diǎn)體的各頂點(diǎn), ,求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比_._.33:22:14.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_._.練習(xí)二練習(xí)二2422:134:11.1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍倍. .2.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍倍. .3.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積