常微分方程練習(xí)題及答案

1、填空題。1.方程金dt2(線性、非線性)微分方程.2.方不52dxydxf(xy)經(jīng)變換,可以化為變量分離方程3.,3一dy微分方程-dx30滿足條件y(0)i,y(0)2的解有4.設(shè)常系數(shù)方程yxe的一個(gè)特解*y(x)2xexxexe，則此方程的系數(shù)5.朗斯基行列式W(t)0是函數(shù)組xi(t),x2(t),L,xn(t)在b上線性相關(guān)的6.22方不axydx(2x3y20)dy0的只與y有關(guān)的積分因子為7.已知XA(t)X的基解矩陣為(t)的，則A(t)8.方程組x20x的基解矩陣為059 .可用變換將伯努利方程化為線，卜方程.10 .是滿足方程y2y5yy1和初始條件的唯一解.11 .方程

2、的待定特解可取的形式：12 .三階常系數(shù)齊線性方程y2yy0的特征根是計(jì)算題1 .求平面上過原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直dyxy12 .求解方程dxxy33.求解方程d2xx2dt2d)204,用比較系數(shù)法解方程.5 .求方程yysinx的通解./22、6驗(yàn)證微分方程(cosxsinxxy)dxy(1x)dy0是恰當(dāng)方程并求出它的通解.7.設(shè)a8.求方程dydx9.求10.若三、證明題1.若(t),2.設(shè)(x)(dX,試求方程組dtAX的一個(gè)基解基解矩陣,求呸AX滿足初始條件x(0)2x13y2通過點(diǎn)(1,0)的第二次近似解.的通解(t)是XX0,X

3、試求方程組的解,(0)的皮卡逐步逼近函數(shù)序列3.(i)(ii)(iii)并求expAtA(t)X的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣C)是積分方程y(x)v。n(X)在使得(t)C.x22y()dX0上一致收斂所得的解，而(x)是這積分方程在設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程的一個(gè)基本解組.試證明：和都只能有簡單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零)；和沒有共同的零點(diǎn)；和沒有共同的零點(diǎn).4.試證：如果dX(t)是AX滿足初始條件答案一.填空題。1.二，非線性2.5.必要6.7.xy(t)(t。)的解，那么(t)u(f(u)1)du工dx3.x無窮多4.Xo,X上的連續(xù)解，試用

4、逐步逼近法證明：在exDA(tt。)3,2,上(X)(X)At1(t)8.e2te05t0e9.10.11.12.1,二、計(jì)算題1.求平面上過原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直.解：設(shè)曲線方程為，切點(diǎn)為(x,y),切點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的連線的斜率為則由題意可得如下初值問題分離變量,積分并整理后可得.代入初始條件可得,因此得所求曲線為1,y2令y1,2,dyxy12.求解方程.dxxy3xy10,解：由求得xxy30d則有一d.令z,解得(1z)dz1zd1一,積分得arctanzln(12z2)ln|Cln(x1)2(y2)2Cy2故原方程的解為arctan

5、x1d2x3.求解方程xdt2凈2解令，直接計(jì)算可得，于是原方程化為故有或，積分后得，即，所以就是原方程的通解，這里為任意常數(shù)。4 .用比較系數(shù)法解方程.解：特征方程為，特征卞M為.對(duì)應(yīng)齊方程的通解為.設(shè)原方程的特解有形如代如原方程可得利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得，故.原方程的通解可以表示為(是任意常數(shù))5 .求方程yysinx的通解.xx解：先解yy得通解為yce,令yc(x)e為原方程的解，代人得c(x)exc(x)exc(x)exsinx,即有c(x)exsinx積分得c(x)1ex(sinxcosx)所以ycex1(sinxcosx)為原方程的通解.2、.6驗(yàn)證微分方程(cosxsinxxy)

6、dx2、y(1x)dy0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解.2xy22、一M所以原方程為恰當(dāng)方程.解由于M(x,y)cosxsinxxy,N(x,y)y(1x)因?yàn)閥2.2,、把原萬程分項(xiàng)組合得cosxsinxdx(xydxyxdy)或?qū)懗蒬(gsin2x)122d(2x2y2)12d(1)0,.2故原萬程的通解為sinxC.7.設(shè)A,試求方程組dXAX的一個(gè)基解基解矩陣解：特征方程為det(AE)求得特征值2,2,可得一個(gè)基解矩陣(t)于是，所求的解為dy8.求萬程dx2x2t2t(t)5te2e5t1(0)3y通過點(diǎn)dt(t)dXAX滿足初始條件x(0)的解.2te2te2)(5)0.5的特征向量

7、分別為1_1(0)5te5t2e(1,0)的第二次近似解.V12t2t2e5t5t4e0).解：令0(x)9.求1(x)2(x)解：方程可化為yoy。x12xxJ2x的通解令則有(*),32(x)dxx2312(x)dx10x,35-x,5(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)得,即，由得，即.將y代入(*)得,即方程的含參數(shù)形式的通解為：，p為參數(shù);又由得代入(*)得也是方程的解10.若試求方程組的解(t),(0)并求expAt解：特征方程，解得，此時(shí)k=1,。由公式expAt二得三、證明題1.若(t),(t)是XA(t)X的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣證:(t)是基解矩陣，故1(t)存在，令X(t

8、)1(t)C，使得(t)C.則X(t)可微且detX(t)0,易知(t)(t)X(t).所以(t)(t)X(t)(t)X(t)A(t)(t)X(t)(t)XA(t)(t)X(t)(t)A(t)(t)，所以(t)X(t)0,X(t)0,X(t)C(常數(shù)矩陣)，故2.設(shè)(x)(Xo,X)是積分方程y(x)V。x2xy(x0)d,Xo,X的皮卡逐步逼近函數(shù)序列n(x)在,上一致收斂所得的解，而(x)是這積分方程在,上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在,上(X)(x).證明：由題設(shè)，有(x)vd,x00(x)V0,n(x)y。1()d,Xo,x,(n1,2,).X。下面只就區(qū)間X0上討論，對(duì)于X0的討論

9、完全一樣。因?yàn)閨(x)0(X)|X(2|)1Il)dM(xx。),其中Mx0所以|(x)1(x)|(2|()0()l)dLM(xjdMLX0X02!(x，2-maxx|(x)|x|，X,%)2,2其中Lmaxx，設(shè)對(duì)正整數(shù)x,(x)nl(x)|MLn1n!(xx0)n，則有I(x)n(x)|2|1()I)dxn1LMLxoxon!xo)ndnML/(x(n1)!n1x0)故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)k,有I(x)ki(x)|MLkk!(xxo)kMLk1k!)k.而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng)時(shí),0,因而函數(shù)序列n(x)在xox上一致收斂于(x).根據(jù)極限的唯一性，即得(x)(x)，xox3.設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程的一個(gè)基本解組.試證明：(i) 和都只能有簡單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零);(ii) 和沒有共同的零點(diǎn)；(iii) 和沒有共同的零點(diǎn).證明：和的伏朗斯基行列式為因和是基本解組，故.若存在，使彳#,則由行列式，性質(zhì)可得，矛盾.即最多只能有簡單零點(diǎn).同理對(duì)有同樣的性質(zhì)，故(i)得證.若存在，使彳#,則由行列式，性質(zhì)可得，矛盾.即與無共同零點(diǎn).故(ii)得證.若存在，使彳#,則同樣由行列式性質(zhì)可得，矛盾.即與無共同零點(diǎn).故(iii)得證.4.試證：