妙用平幾知識解決解幾高考試題--89

1、妙用平幾知識解決解幾高考試題一前言眾所周知，圓錐曲線試題是高考的一大“攔路虎”.不管是教師還是學生，在解決方法上往往過分強調(diào)“純代數(shù)”的解法.即通過引進坐標系，建立點與坐標，曲線與方程之間的對應關系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而用代數(shù)方法研究幾何問題.這些方法屬于通性通法，固然是必須重點講解和掌握的，但是它們的計算量偏大，很多考生就是因為冗長的計算半途而廢.因此，如何另辟蹊徑，減少運算量是高三一線老師必須認真思考的問題圓錐曲線屬于解析幾何的內(nèi)容，幾何是學生在初中就已經(jīng)接觸到的知識.學生在初中就已經(jīng)學習了平面幾何的一些性質(zhì)，再加上高中幾何知識的補充與強化，學生有了較為全面的平面幾何知識，較好的

2、應用平面幾何的能力.因此，在解決圓錐曲線的相關問題中，如果我們能夠?qū)⑵矫鎺缀蔚闹R應用上去，抓住解析幾何問題的本質(zhì)特征“幾何性”，結(jié)合圓錐曲線的知識進行求解，那么可以使問題的解決變得清爽簡明，自然簡約，收到事半功倍的效果.二舉例類型1:三角形或梯形中位線的性質(zhì)例1:2019年浙江卷理科第15題X2V2已知橢圓一+-=1的左焦點為F,點P在橢圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點在95以原點O為圓心，OF為半徑的圓上，則直線PF的斜率是解析：如圖1,設橢圓的右焦點為F1,線段PF的中點為M,連接OM,PF1.由已知有OF|=|0耳=OM=2,PFj=4.由PF|+|PF=2a可得PF=2.故MF=

3、1.作OH_LMF,則tan/OFH=OH=J15，所以直線OF的斜率是壓.HF分析：觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)OM是三角形FFP的中位線，結(jié)合中位線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)，將直線PF的斜率轉(zhuǎn)化成tan/OFH.例2.2017年全國II卷第16已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則FN圖2解析：如圖2所示，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線與x軸交于點F',作MB_Ll于點B,NAU于點A,由拋物線的解析式可得準線方程為X=2，則AN=2,FF'=4,ANFF'在直角梯形ANFF'中，中位線BM=3,由拋物線的定義

4、有MF=MB=3,結(jié)2合題意有MN=MF=3,故FN=|FM|+|NM|=3+3=6分析：借助梯形中位線的性質(zhì)，充分運用平幾知識，結(jié)合拋物線性質(zhì)求解.類型2:等腰三角形的性質(zhì)或判定例3:2019年江蘇卷理科第17題x2y2.八一一如圖3,在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:二十七=1(abA0)的焦點為E(1,0),ab222、52(1,0).過52作x軸的垂線l,在x軸的上萬，l與圓F2:(x1)+y=4a交于點A,與橢圓C交于點D.連接AFi并延長交圓F2于點B,連接BF2交橢圓C于點E,連接DR.已知_5DFi=.(1)求橢圓C的標準方程；(2)求點E的坐標.2圖322解析：由知橢圓方程為

5、x-+L=1.如圖3,連接EF1.由于BF2=2a,EF1+EF2=2a,43所以EF=EB故/B=/BF1E.又BF2=AF2,所以/B=ZBAF故有3/BFE=ZBAF2,所以EFi/AF2,故EF_Lx軸，所以點E-1,-I.2分析：充分挖掘圖形中隱含的幾何關系，緊扣三角形BF2A和BEF1是等腰三角形，等量代換得到NBF1E=/BAF2,從而有EF1/AF2例4:2016年全國I卷理科解幾壓軸試題設圓x2+y2+2x15=0的圓心為A,直線l過點B(10)且與x軸不重合.l交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.證明EA+|EB為定值，并寫出點E的軌跡方程.(2)略.圖4解

6、析：顯然圓A的圓心為A(1,0),半徑為4.如圖4所示，由于AC=AD,故&ACD為等腰三角形，所以/ACD=/ED.取AC/BE,所以/ACD=/EB,DH此有/EBD=/EDBED=EB/W4EA+|EB=|EA+|ED=AD|=4為定值.因為A(1,0)B(1,0)為定點，E為動點，EA+|EB=4AB,根據(jù)橢圓的定義，點E的軌跡是以A(-1,0),B(1,0)為焦點，4為長軸長的橢圓.即a=2,c=1,b=J3,點E的軌22跡方程為=1.43分析：本題既運用等腰三角形的性質(zhì)，又運用等腰三角形的判定，結(jié)合橢圓性質(zhì)求解.類型3:圓的性質(zhì)例5:2019年全國I卷文科第21題已知A,B

7、關于坐標原點O對稱，AB=4,圓M過點A,B且與直線x+2=0相切.(1)略.(2)是否存在定點P,使得當A運動時，MA_MP為定值？并說明理由解析：設M(x,y).由已知有r=|MA=|x+2,AO=2,MO=Jx2+y2.在直角三角形2222MOA中，由MO+AO=AM得y2=4x.故圓心M的軌跡是拋物線，軌跡方程為2y=4x.分析:對于第二問，解決的關鍵在于求出動圓圓心M的軌跡方程.要抓住題目所給的幾何特征.由題目條件可知A,B兩點是圓x2+y2=4直徑的兩個端點，是運動的.由于圓M經(jīng)過A,B所以圓心M必定在線段AB的垂直平分線上.又圓與直線x+2=0相切，所以動圓M必須滿足以下三個條件

8、：1圓心在線段AB的垂直平分線上；2圓過點A,B;3圓與直線x=-2相切.例6.2018年江蘇卷第12題B(5,0),以AB為直在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y=2x上再等一象限內(nèi)的點徑的圓C與直線l交于另一點D.若福CD=0,則點A的橫坐標為圖5解析：如圖5所示，由已知可得/BAO=二.設直線l的傾斜角為e,則tane=2且4/ABx=二十日，故kAB=tan!日+二=一3，因而直線AB方程為y=3x+15,與直線l:4.4y=2x聯(lián)立得點A的橫坐標為3.分析：結(jié)合圖形運用平幾知識可知MBD為等腰直角三角形.觀察圖形發(fā)現(xiàn)直線AB的傾斜角與直線l的傾斜角滿足關系式/ABx=+8,從而巧

9、妙求出直線AB方程.本題充分運用平幾知識，解題思路十分簡潔，大道至簡.類型4:三角形內(nèi)角平分線定理例7:2013年山東高考理科第22題橢圓C:二十£=1(a>b>0)的左，右焦點分別是Fi,F2，離心率為近，過Fi且垂直于ab2X軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.2(I)求橢圓C的方程(+y2=1)4(n)點p是橢圓C上除長軸端點外的任一點,連接PF1,PF2，設/F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0),求m的取值范圍；解析：如圖6所示，在APFF2中，因為PM平分NF1PF2,所以由三角形內(nèi)角平分線定理可得pFi|_|PF2|PF1|+|PF2|2=m>

10、;33-m2,3:32.l.解得PF1=-y=(m+8)又點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，所以a-c<PF1<a+c2 一一33即ac<=(m+J3)<a+c,解得m='I3 .22分析：抓住圖形特征，將幾何中的“內(nèi)角平分線定理”，“合分比定理”，“橢圓上的點到焦點的距離范圍”巧妙地聯(lián)系起來.類型5:正弦定理或余弦定理例8:2012年遼寧高考理科第20題22xy_設橢圓C:二十，=1(aAb>0)的右焦點為F,過點F的直線l與C相交于A,B兩點，abT一直線l的傾斜角為60：,AF=2FB15(1)求橢圓的離心率.(2)如果AB=一，求橢圓方程(略)4

11、圖7解析：設C為橢圓的左焦點.由已知有ZBFC=120、NAFC=60，,BC+BF=AC+AF=2a設BF=m，則AF=2m在ABFC中，由余弦定理有(2amj=(2cj+m22，2cm，cos120,解得222a2-c2m=2ac在MFC中，由余弦定理有(2a2mj=(2c/+(2m-22c2mcos60c,解得2a-c故2(a-c)=a-c,解得$=22ac2a-c3分析：本題巧妙地在兩個三角形中運用余弦定理，得到a和c的關系式，從而求出e.整個解題過程避開了復雜的坐標運算，聯(lián)立直線方程與橢圓方程等等，給人一種耳目一新，清新脫俗的感覺.這就啟發(fā)我們，當用常規(guī)解法比較難以入手時，不妨轉(zhuǎn)而觀

12、察圖形的幾何特征，將幾何元素研究清楚，運用相關的幾何知識加以解決，這樣往往會有出其不意的效果.類型6：三角形三邊長的關系例9:2012年四川高考理科第19題22已知橢圓+L=1的左焦點為F,直線x=m與橢圓相交于點A,B,當AFAB的周長最43大時，AFAB的面積是圖8解析：設橢圓的右焦點為C,根據(jù)橢圓的定義有AFBF+AC十BC=4IIAF=4-AC,解得=4QBF=4-BCFAB的周長c=AF+bf|+|ab=8+|ab-(|ac+|bc)觀察圖形,有AC+BC|>|AB,當且僅當直線x=m過右焦點C時取等號.故cW8,即AFAB的周長的最大值為8.此時，A1,3I：因此面積為3.2

13、分析：本題用到幾何中“三角形的兩邊之和大于第三邊”這個重要結(jié)論來做.整個過程沒有很復雜煩瑣的計算，但是卻處處洋溢著思維的火花.整個過程自然明了，大道至簡.類型7:綜合性問題例10.2017年全國I卷第15題22已知雙曲線C:與一與=1的右頂點為A,以A為圓心，b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的ab一條漸近線交于M,N兩點.若/MAN=60：,則C的離心率為.圖9解析：如圖9所示，作AP_LMN,因為圓A與雙曲線C的一條漸近線b交于M,N兩點，則MN為雙曲線的漸近線y=一x上的點，且A(a,0),a|AMRAN|=b,而AP_LMN,所以/PAN=30、點A(a,0)到直線y=x的a距離|AP|二

14、JbJ_.在RtAPAN中，cos/PAN=PA1：2|NA|.一22，代入計算得a=3b,2b2、3.3b3即a=J3b，由c2=a2+b2得c=2b,所以e=ca例11:2013年全國卷高考理科第21題22已知雙曲線C:xr4=1的左右焦點分別為F1,F2,離心率為3,y=2與C的兩個交點間ab的距離為展.(1)求a,b(略)(2)設過F2的直線l與C的左右兩支分別相交于A,B兩點,且AFj=|BFj.證明：AF2,AB,BF2成等比數(shù)列22解析：由第一步可知,雙曲線C的方程為-y-=1.18-fiBFi-BF2=2.(1)根據(jù)雙曲線的定義，有111,(1)+(2)得AF2BF2=4.觀察

15、圖形可jjAFzl-AFi=2.知AB=4.作F1D_LAB,則D為AB中點.故BD=2由(1)有BF1|=2+|BF2=BD+|BF2=DF2222222在直角AF1DF2中,|F1F2=|F1D|+|DF2=|BF1-BD|+|DF2即IBF12_4+BF=36，解得|BF；2=20故BF2AF2=(|BF1_2)(2+|AF1|)=BF1-2)|BF1+2)=16八一一一2一顯然BF2AF2=AB，得證.分析：本題涉及眾多幾何元素，將平面幾何元素的特征發(fā)揮得淋漓盡致.求解過程精彩紛呈，環(huán)環(huán)相扣.通過本題，我們進一步體會到幾何法的價值，感受到幾何法在圓錐曲線中的妙用例12:2019年全國I卷理科第16題22已知雙曲線C:4=1(a>0,bA0)的左右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的ab兩條漸近線分別交于A,B兩點.若F1A=AB,F1BF2B=0,則C的離心率為圖11解析：如圖11所示，由于O為F1F2中點，A為F1B中點，所以AF1_LAO,OA/F2B.由/AOF1=/BF2O,ZOBF2=ZBF2O,ZAOF1=/BOF2,可得AOBF2為正三角形.b一故=J3,則C的離心率為2.a三