經(jīng)典控制原理第八章

1、 前面幾章討論的系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)前面幾章討論的系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，即滿足疊加即滿足疊加性和齊次性性和齊次性。實(shí)際上，。實(shí)際上，由于控制元件或多或少地由于控制元件或多或少地帶有非線性特性帶有非線性特性， 所以嚴(yán)格地說實(shí)際的自動控制所以嚴(yán)格地說實(shí)際的自動控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。 如果一個(gè)控制系統(tǒng)包含一如果一個(gè)控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)，則則此系統(tǒng)即為此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)。非線性對象指其運(yùn)動規(guī)律要用非線性代數(shù)方程或非線性對象指其運(yùn)動規(guī)律要用非線性代數(shù)方程或微分方程描述微分方程描述，而不能由線性方程描述而不能由線

2、性方程描述?？刂葡??？刂葡到y(tǒng)中若含有非線性部件或環(huán)節(jié)統(tǒng)中若含有非線性部件或環(huán)節(jié)，就成為就成為非線性控非線性控制系統(tǒng)制系統(tǒng)。一些一些非線性系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析非線性系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析，這是由于這是由于：系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)；某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進(jìn)行線性化處理件下，可進(jìn)行線性化處理，作為線性系統(tǒng)來分析作為線性系統(tǒng)來分析。這類系統(tǒng)統(tǒng)稱為這類系統(tǒng)統(tǒng)稱為非本質(zhì)非線性非本質(zhì)非線性系統(tǒng)系統(tǒng)。但是但是當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯而且而且不能進(jìn)行線性不能進(jìn)行線性化處理

3、化處理，或者它的或者它的時(shí)域響應(yīng)不能用線性微分方程時(shí)域響應(yīng)不能用線性微分方程（一般只能用非線性微分方程來描述（一般只能用非線性微分方程來描述，具有非線具有非線性數(shù)學(xué)模型）來描述性數(shù)學(xué)模型）來描述，則稱為則稱為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，或稱，或稱為為本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性系統(tǒng)系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)的特性非線性系統(tǒng)的特性一、穩(wěn)定性一、穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)參數(shù)，與輸入信與輸入信號及初始條件無關(guān)號及初始條件無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號及初始條件有關(guān)，還與輸入信號及初始條件有

4、關(guān)。即，即，可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定，而在另一個(gè)初始條件下系而在另一個(gè)初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定統(tǒng)可能不穩(wěn)定。例如，例如，某系統(tǒng)某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為非線性方程的數(shù)學(xué)模型為非線性方程 描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即x1=0和和x2=1。將上式改寫為將上式改寫為 。設(shè)。設(shè)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為為x0，積分上式得，積分上式得(1)0 xx x（1）當(dāng)初始條件）當(dāng)初始條件x01時(shí)時(shí)，1x00，上式具有負(fù)的特上式具有負(fù)的特征根征根，其暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減其暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減，該系統(tǒng)穩(wěn)定該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)）當(dāng)x

5、0=1時(shí)時(shí)，1x0=0，上式的特征根為零上式的特征根為零，其暫其暫態(tài)過程為一常量態(tài)過程為一常量。（3）當(dāng)）當(dāng)x01時(shí)時(shí)，1x00，上式的特征根為正值上式的特征根為正值，系系統(tǒng)暫態(tài)過程統(tǒng)暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律發(fā)散，按指數(shù)規(guī)律發(fā)散， 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)系統(tǒng)的暫態(tài)過程如圖所示的暫態(tài)過程如圖所示。由于非線性系統(tǒng)的這種性質(zhì)由于非線性系統(tǒng)的這種性質(zhì)， 在分析它的運(yùn)動時(shí)不能應(yīng)用在分析它的運(yùn)動時(shí)不能應(yīng)用 線性疊加原理線性疊加原理，這是與線性，這是與線性 系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。二二、響應(yīng)過程響應(yīng)過程線性系統(tǒng)響應(yīng)過程與輸入信號的大小及初始條件無線性系統(tǒng)響應(yīng)過程與輸入信號的大小及初始條件無關(guān)。如果某系

6、統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減關(guān)。如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。 非線性系統(tǒng)可能會出非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過程為單調(diào)衰減過程為單調(diào)衰減，而在另而在另一初始條件下則為衰減振一初始條件下則為衰減振蕩蕩，如圖所示，如圖所示。 在靜態(tài)下，非線性系在靜態(tài)下，非線性系統(tǒng)的輸出量中可能含有輸統(tǒng)的輸出量中可能含有輸入信號中沒有的模態(tài)入信號中沒有的模態(tài)。三三、自持振蕩自持振蕩線性二階系統(tǒng)只在阻尼比線性二階系統(tǒng)只在阻尼比=0=

7、0時(shí)給予階躍作用，將時(shí)給予階躍作用，將產(chǎn)生周期性響應(yīng)過程產(chǎn)生周期性響應(yīng)過程, ,此時(shí)系統(tǒng)此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)際上實(shí)際上, ,一旦該系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化一旦該系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化, ,該周期性狀該周期性狀態(tài)就無法維持態(tài)就無法維持, ,要么發(fā)散至無窮大要么發(fā)散至無窮大, ,要么衰減至零。要么衰減至零。而而非線性系統(tǒng)即使在非線性系統(tǒng)即使在沒有外作用時(shí)沒有外作用時(shí), ,也有也有可能產(chǎn)生可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過程物理程物理上是可實(shí)現(xiàn)并上是可實(shí)現(xiàn)并 可保持的可保持的, ,通常將其稱通常將其稱 為為自持振蕩自持

8、振蕩或自或自振蕩振蕩, , 如右圖如右圖所示所示。如果自振蕩的幅值在允許范圍內(nèi)，按照李雅普諾夫如果自振蕩的幅值在允許范圍內(nèi)，按照李雅普諾夫(Lyapunov)關(guān)于關(guān)于穩(wěn)定性的定義（第十一章），系統(tǒng)是穩(wěn)穩(wěn)定性的定義（第十一章），系統(tǒng)是穩(wěn)定的。定的。自振蕩是人們特別感興趣的一個(gè)問題，對它的研究有自振蕩是人們特別感興趣的一個(gè)問題，對它的研究有很大的實(shí)際意義。如火炮系統(tǒng)若發(fā)生自振，當(dāng)瞄準(zhǔn)具很大的實(shí)際意義。如火炮系統(tǒng)若發(fā)生自振，當(dāng)瞄準(zhǔn)具對準(zhǔn)一個(gè)目標(biāo)，炮口由于自振而不停擺動，是打不中對準(zhǔn)一個(gè)目標(biāo)，炮口由于自振而不停擺動，是打不中目標(biāo)的，另外對系統(tǒng)本身磨損也很厲害，所以有必要目標(biāo)的，另外對系統(tǒng)本身磨損也很厲

9、害，所以有必要專門研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自振問題。專門研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自振問題。 在多數(shù)情況下在多數(shù)情況下, ,正常工作時(shí)不希望有振蕩存在，必須設(shè)正常工作時(shí)不希望有振蕩存在，必須設(shè)法消除它。但在某些情況下，特意引入自振蕩，將使法消除它。但在某些情況下，特意引入自振蕩，將使系統(tǒng)有良好的穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)性能。系統(tǒng)有良好的穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)性能。四四、正弦輸入響應(yīng)正弦輸入響應(yīng)在正弦信號作用下，線性系統(tǒng)的輸出是與輸入信號在正弦信號作用下，線性系統(tǒng)的輸出是與輸入信號同頻率的正弦信號。而非線性系統(tǒng)在正弦信號作用同頻率的正弦信號。而非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下的響應(yīng)則很復(fù)雜，有時(shí)輸出信號頻率為輸入頻率下的響應(yīng)則很

10、復(fù)雜，有時(shí)輸出信號頻率為輸入頻率的倍頻、分頻等現(xiàn)象。的倍頻、分頻等現(xiàn)象。非線性系統(tǒng)的倍頻振蕩和分頻振蕩非線性系統(tǒng)的倍頻振蕩和分頻振蕩一些非線性系統(tǒng)的幅頻特性會出現(xiàn)跳躍諧振及多值一些非線性系統(tǒng)的幅頻特性會出現(xiàn)跳躍諧振及多值響應(yīng)現(xiàn)象。響應(yīng)現(xiàn)象。非線性系統(tǒng)響應(yīng)還有其他與線性系統(tǒng)不同的現(xiàn)象，非線性系統(tǒng)響應(yīng)還有其他與線性系統(tǒng)不同的現(xiàn)象，無法用線性系統(tǒng)的理論來解釋。無法用線性系統(tǒng)的理論來解釋。在一些情況下，引入某些非線性環(huán)節(jié)，可以使系統(tǒng)在一些情況下，引入某些非線性環(huán)節(jié)，可以使系統(tǒng)獲得比線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。獲得比線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。實(shí)際上大多數(shù)智能控制都屬于非線性控制范疇。實(shí)際上大多數(shù)智能控制都屬于

11、非線性控制范疇。非線性彈簧輸出的幅頻特性非線性彈簧輸出的幅頻特性實(shí)際中常見的非線性例子實(shí)際中常見的非線性例子實(shí)際實(shí)際的非線性例子：晶體管放大器有一個(gè)線性工作范圍，的非線性例子：晶體管放大器有一個(gè)線性工作范圍，超出這個(gè)范圍超出這個(gè)范圍，放大器就會出現(xiàn)放大器就會出現(xiàn)飽和飽和現(xiàn)象現(xiàn)象；有時(shí)，工程上有時(shí)，工程上還人為引入飽和特性用以限制過載。還人為引入飽和特性用以限制過載。電動機(jī)輸出軸上總是存在摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在輸電動機(jī)輸出軸上總是存在摩擦力矩和負(fù)載力矩，只有在輸入超過啟動電壓后，電動機(jī)才會轉(zhuǎn)動，存在不靈敏區(qū)入超過啟動電壓后，電動機(jī)才會轉(zhuǎn)動，存在不靈敏區(qū)（死死區(qū)區(qū)）；當(dāng)輸入達(dá)到飽和電壓時(shí)，由于

12、電動機(jī)磁性材料的非）；當(dāng)輸入達(dá)到飽和電壓時(shí)，由于電動機(jī)磁性材料的非線性，線性，輸出轉(zhuǎn)矩會出現(xiàn)輸出轉(zhuǎn)矩會出現(xiàn)飽和飽和，限制了電動機(jī)的最大轉(zhuǎn)速限制了電動機(jī)的最大轉(zhuǎn)速。各種傳動機(jī)構(gòu)由于機(jī)械加工和裝配上的缺陷，在傳動過程各種傳動機(jī)構(gòu)由于機(jī)械加工和裝配上的缺陷，在傳動過程中總存在著中總存在著間隙間隙。開關(guān)或開關(guān)或繼電繼電器會導(dǎo)致信號的跳變器會導(dǎo)致信號的跳變。常見非線性因素對系統(tǒng)運(yùn)動特性的影響常見非線性因素對系統(tǒng)運(yùn)動特性的影響一、一、死區(qū)死區(qū)死區(qū)又叫死區(qū)又叫不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所造的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所

13、造成的成的。有時(shí)人為地引入死區(qū)特性有時(shí)人為地引入死區(qū)特性，可可用于消除高頻小幅用于消除高頻小幅度振蕩，減少系統(tǒng)中器件的磨損度振蕩，減少系統(tǒng)中器件的磨損。sse(K%跟蹤階躍信號有穩(wěn)態(tài)誤差），能濾去小幅值噪聲，提高抗干擾能力。等效振蕩性，原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)，此時(shí)可能穩(wěn)定（初始擾動不大時(shí)）。二二、飽和飽和飽和特性也是系統(tǒng)中最常見的一種非線性特性飽和特性也是系統(tǒng)中最常見的一種非線性特性，幾乎所有的幾乎所有的放大器放大器都存在飽和現(xiàn)象都存在飽和現(xiàn)象。飽和飽和特性及其信號的等效放大倍數(shù)如下圖所示。特性及其信號的等效放大倍數(shù)如下圖所示。粗略看粗略看，飽和特性的存在相當(dāng)于飽和特性的存在相當(dāng)于在較大信號作用在較

14、大信號作用時(shí)時(shí)，系統(tǒng)系統(tǒng)增益下降增益下降。設(shè)隨動系統(tǒng)如設(shè)隨動系統(tǒng)如下圖所示下圖所示當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個(gè)幅值較大當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個(gè)幅值較大的階躍信號時(shí)，若放大器無飽和的階躍信號時(shí)，若放大器無飽和限制，系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖限制，系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖中的曲線中的曲線1 1；放大器有飽和限制；放大器有飽和限制時(shí)的時(shí)間響應(yīng)曲線如曲線時(shí)的時(shí)間響應(yīng)曲線如曲線2 2。若隨動系統(tǒng)的方塊圖如若隨動系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示下圖所示若系統(tǒng)中不存在飽和特性若系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的（曲線（曲線1 1）；若系統(tǒng)中存在）；若系統(tǒng)中存在飽和特性的限制，則系統(tǒng)飽和特性的限制，則系

15、統(tǒng)不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定的等幅振蕩，如曲線的等幅振蕩，如曲線2 2。，快速性差限制跟蹤速度，跟蹤誤統(tǒng)最多是等幅振蕩）（原來不穩(wěn)，非線性系振蕩性統(tǒng)一定穩(wěn)定）原來系統(tǒng)穩(wěn)定，此時(shí)系(%三三、間隙間隙間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般來說間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般來說，間隙的存在間隙的存在對系統(tǒng)總是不利的對系統(tǒng)總是不利的: (1)首先，它使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴(kuò)大；首先，它使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴(kuò)大；(2) 使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差，使振蕩加劇使振蕩加劇，穩(wěn)定性變差穩(wěn)定性變差。齒輪傳動系統(tǒng)齒輪傳動系統(tǒng)中，中，為了保證轉(zhuǎn)動靈活不至于卡死為了保證轉(zhuǎn)動靈活不至于卡死，必須有

16、必須有少量的間隙。由于存在間隙少量的間隙。由于存在間隙，當(dāng)主動輪的轉(zhuǎn)向開始改變時(shí)當(dāng)主動輪的轉(zhuǎn)向開始改變時(shí)，從動輪仍保持原有的位置從動輪仍保持原有的位置，直到主動輪轉(zhuǎn)過了直到主動輪轉(zhuǎn)過了2b間隙間隙，在在相反方向與從動輪相嚙合后相反方向與從動輪相嚙合后，從動輪才開始轉(zhuǎn)動從動輪才開始轉(zhuǎn)動。四四、摩擦摩擦摩擦非線性對小功率角度隨動系統(tǒng)來說，是一個(gè)摩擦非線性對小功率角度隨動系統(tǒng)來說，是一個(gè)很重要的非線性因素。它的影響，從靜態(tài)上看，很重要的非線性因素。它的影響，從靜態(tài)上看，相當(dāng)于在執(zhí)行機(jī)構(gòu)中引入了死區(qū)，從而造成了系相當(dāng)于在執(zhí)行機(jī)構(gòu)中引入了死區(qū)，從而造成了系統(tǒng)的靜差，這一點(diǎn)和死區(qū)的影響相類似。統(tǒng)的靜差，這

17、一點(diǎn)和死區(qū)的影響相類似。直流電動機(jī)的方框圖直流電動機(jī)的方框圖摩擦力矩示意圖摩擦力矩示意圖小功率隨動系統(tǒng)方框圖低速爬行現(xiàn)象改善慢變化過程平穩(wěn)性的方法1)2)3)、良好潤滑、采用干擾補(bǔ)償、增加阻尼， 減少脈沖，提高平衡性五五、繼電繼電為了改善系統(tǒng)的性能，常常在為了改善系統(tǒng)的性能，常常在 系統(tǒng)中引入繼電器特性。系統(tǒng)中引入繼電器特性。如圖是用極化繼電器控制伺服如圖是用極化繼電器控制伺服 電動機(jī)的原理圖。當(dāng)繼電器線電動機(jī)的原理圖。當(dāng)繼電器線 圈中的電流圈中的電流i=0時(shí)，其觸點(diǎn)位于時(shí)，其觸點(diǎn)位于 中間位置，電動機(jī)斷電。當(dāng)中間位置，電動機(jī)斷電。當(dāng)0ii1時(shí)時(shí),（i1是極化繼電是極化繼電器的吸合動作電流）觸

18、頭仍不動作，當(dāng)器的吸合動作電流）觸頭仍不動作，當(dāng)ii1時(shí)，觸頭時(shí)，觸頭動作，電動機(jī)電樞電壓動作，電動機(jī)電樞電壓U=Um。當(dāng)繼電器線圈中電流減。當(dāng)繼電器線圈中電流減小時(shí)，由于返回電流小時(shí)，由于返回電流i2小于動作電流小于動作電流i1，故僅當(dāng)，故僅當(dāng)ii2時(shí)時(shí)觸點(diǎn)才斷開，電動機(jī)斷電。當(dāng)繼電器線圈電流反向變觸點(diǎn)才斷開，電動機(jī)斷電。當(dāng)繼電器線圈電流反向變化時(shí)也會出現(xiàn)類似的情況?；瘯r(shí)也會出現(xiàn)類似的情況。繼電器的輸入輸出特性若若i=0，即繼電器的動作電流及返回電流均為零值切換，即繼電器的動作電流及返回電流均為零值切換，則稱這種特性為則稱這種特性為理想繼電器特性理想繼電器特性，如右圖所示。，如右圖所示。理想

19、繼電器特性( , )( , )nmnmd ydyd rdrf tyg trdtdtdtdt x(t) y(t)(1) 死區(qū)特性（不死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）靈敏區(qū)特性）調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)各類液壓閥的正重疊量各類液壓閥的正重疊量系統(tǒng)的庫倫摩擦系統(tǒng)的庫倫摩擦測量變送裝置的不靈敏區(qū)測量變送裝置的不靈敏區(qū)彈簧預(yù)緊力等彈簧預(yù)緊力等死區(qū)或不靈敏區(qū)死區(qū)或不靈敏區(qū)( )0( ) ( ) ( )sgn ( )x tay tx tak x tax t x(t) y(t)放大器的飽和輸出特性放大器的飽和輸出特性磁飽和磁飽和元件的行程限制元件的行程限制功率限制等功率限制等(2)飽和特性飽和特性

20、( )( )( ) ( )sgn ( )x takx ty tx takax t(3)間隙特性間隙特性齒輪傳動中的齒隙齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙液壓傳動中的油隙 ( )( )0( ) ( ) ( )0sgn ( )( )0k x tay ty tk x tay tcx ty t y(t) x(t)c y(t) x(t)(4) 繼電器特性繼電器特性理想繼電器理想繼電器 具有死區(qū)的單值繼電器具有死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性 y(t) x(t) y(t) x(t) x(t) y(

21、t) y(t) x(t)y(t)奇函數(shù)奇函數(shù)（斜對稱）（斜對稱）輸出的一次輸出的一次諧波分量諧波分量( )sinx tAt輸：入0011( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn t穩(wěn)態(tài)輸出：非正弦周期信號，可展開成傅立葉級數(shù)。00A ：直流分量201( )cosd()nAy tn tt201( )sind()nBy tn tt22nnnYABarctannnnAB11111( )c( )sin(osin)sy tAtBy tYtt22111YAB111arctanAB22111111( )arctanABYAN AAAB穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比

22、：描述函數(shù)舉例說明：舉例說明：34121xxy 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)tAtx sin)( y(t)為非正弦周期函數(shù)為非正弦周期函數(shù)，tBtAty sincos)(111 則則非線性特性為單值奇對稱，非線性特性為單值奇對稱，為為奇奇函函數(shù)數(shù)，)(1ty1100A，1212123412340 xy。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）2310111()sind24Bxxtt則330211(sinsin)sind24AtAttt32430023sindsind24216AAAttttA tBty sin)(11tAA sin)1632(3 tAA sin)16321(2 2116321)(AABA

23、N 則則（只與（只與A有關(guān)）。有關(guān)）。)()()(1txANty 又又只要只要x(t)的的A一定，一定，)()(1tyAN和和描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）也就完全確定了。也就完全確定了。，如如ttx sin2)( ，即即2 A，則25. 1)( AN；)(25. 1)(1txty 相當(dāng)于用相當(dāng)于用斜率為斜率為1.25的直線的直線代替了元件的非線性特征代替了元件的非線性特征 ，ttx sin4)( ，則則5 . 3)( AN。)(5 . 3)(1txty ，即即4 A描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）描述函數(shù)的物理意義（續(xù)） )()(1tytx與與顯然顯然時(shí)時(shí)，2 A之間成為之間成為線

24、性關(guān)系，即當(dāng)線性關(guān)系，即當(dāng)1212123412340 xy。 同理，同理，A4 時(shí)，相當(dāng)于用時(shí)，相當(dāng)于用斜率為斜率為3.5 的直線代替；即的直線代替；即進(jìn)行了線性化處理。進(jìn)行了線性化處理。)()(1txty與與則則的線性關(guān)系也隨之改變。的線性關(guān)系也隨之改變。 描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）1212123412340 xy。并且說明：當(dāng)并且說明：當(dāng) A 改變時(shí)，改變時(shí)，N(A) 也隨之改變，也隨之改變，描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）1. 理想繼電器特性理想繼電器特性( )sinx tAt(0)( )(2 )Mty tMt傅氏展開傅氏展開01( )(cossin

25、)nnny tAAn tBn t斜對稱、奇函數(shù)斜對稱、奇函數(shù)A0=An=011( )siny tBt210001224( )sind()( )sind()sind()MBy ttty tttMtt14( )0YMN AAA2. 一般繼電特性的描述函數(shù)一般繼電特性的描述函數(shù)22222( )1 ()1 ( )(1),()MmhhMhN AjmA hAAAA4( )MN AA理想繼電特性：理想繼電特性：死區(qū)繼電特性：死區(qū)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：純滯環(huán)繼電特性：0 h1 m1 m24( )1MhN AAA2244( )1jMhMhN AAAA ttdtyAcos)(11y(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)102

26、( )sindBy ttt02( )sind( )sind( )sind aaaay ttty ttty tt tAc當(dāng)時(shí)sin,(0, )( ),( ,)sin,(, )kAttay tkctaakAtta01 A3. 飽和特性飽和特性2102sindaBkAtt2sindsindaaakcttkAttkAaAcacos2 Aca1sin 211)(1sin2AcAcAckAB 112112sin1 ( )BABN AkcccAAjAAAA故有 (條件：條件：Ac) A c時(shí)為線性，求時(shí)為線性，求N(A) 無意義無意義； 可見可見: N與與無關(guān)。無關(guān)。1)( )0Aay t時(shí)，12)sina

27、AaA時(shí)，21001224( )sind() ( sin)sind()2sin1 () ()2By tttk AtattaaakAAaAAA，122( )sin1 () 2()kaaaN AAAAAa，可見：可見：N與與也無關(guān)。也無關(guān)。4. 死區(qū)特性死區(qū)特性5. 死區(qū)飽和特性死區(qū)飽和特性11222( )sinsin1()1() ()ksassaaN AAsAAAAAA6. 間隙特性間隙特性1224sin (1)2(1)(1)()1)2)(kaaaaka ajAAAAAN AAAa y(t) x(t)c一般而言一般而言, 描述函數(shù)描述函數(shù) N(A) 是是 A 的函數(shù)的函數(shù), 與頻率與頻率 無無關(guān)

28、；關(guān)；非線性環(huán)節(jié)為單（非單）值函數(shù)時(shí)非線性環(huán)節(jié)為單（非單）值函數(shù)時(shí), N(A)是實(shí)（復(fù)）是實(shí)（復(fù)）數(shù)，虛部為（不為）數(shù)，虛部為（不為）0 ；如果某一非線性可以看作是兩個(gè)非線性的疊加、即如果某一非線性可以看作是兩個(gè)非線性的疊加、即（并聯(lián)）（并聯(lián)）12yyy設(shè)設(shè) y1、y2、y 分別有分別有N1(A)、N2(A)、N(A）12( )( )( )N ANANA()( ) ()()1( ) ()C jN A G jR jN A G j1( ) ()0N A G jNyquist判據(jù)判據(jù)：若開環(huán)穩(wěn)定，則閉若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件環(huán)穩(wěn)定的充要條件是是G(j )的軌跡不的軌跡不包圍包圍G平面的平面的

29、(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)特性（描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)特性) )線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)( )1N A 1()0G j()1G j 1()( )G jN A 1( )N A(-1, j0)? G(j ) 與負(fù)倒描述函數(shù)相交與負(fù)倒描述函數(shù)相交 閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩極限環(huán)振蕩) ？穩(wěn)定？穩(wěn)定 ？不穩(wěn)定？不穩(wěn)定 ?! 振幅（振幅（A） ?! 頻率頻率( )假設(shè)假設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j )穩(wěn)定穩(wěn)定 G(j )不包圍負(fù)倒描述不包圍負(fù)倒描述函數(shù)函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定 G(j )包圍負(fù)倒描述包圍負(fù)倒描述函數(shù)函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)

30、系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定當(dāng)微小擾動使振幅當(dāng)微小擾動使振幅A增大到增大到c點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， c點(diǎn)被點(diǎn)被G(j )軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅振幅A繼續(xù)增大；繼續(xù)增大；不返回到不返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅當(dāng)微小擾動使振幅A減小到減小到d點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， d點(diǎn)未被點(diǎn)未被G(j )軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅振幅A繼續(xù)減小；繼續(xù)減?。徊环祷氐讲环祷氐絘。 a點(diǎn)為不穩(wěn)定的自振交點(diǎn)點(diǎn)為不穩(wěn)定的自振交點(diǎn)，無法觀察到。，無法觀察到。 微小擾動微小擾動穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)當(dāng)微小擾動使振幅當(dāng)微小擾動使振幅A增大到增大到e點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， e點(diǎn)未被點(diǎn)未被G(j )軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅振幅A減小；減??；返回到返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅當(dāng)微小擾動使振幅A減小到減小到f點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)， f點(diǎn)被點(diǎn)被G(j )軌跡包圍，軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅振幅A增大；增大；返回到返回到b。 b點(diǎn)為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)點(diǎn)為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)，形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。，形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)2212121 2()(1)(1)()(1)KKG jjjTjTTTjTT軌跡和非線性部分的軌跡相交，這可以通過加校正實(shí)現(xiàn)。 例例：試判斷圖中各系統(tǒng)是否穩(wěn)定；：試判斷圖中各系統(tǒng)是否穩(wěn)定；- -1/N(