線性代數(shù)知識點歸納

1、線性代數(shù)復(fù)習要點第一部分行列式1.排列的逆序數(shù)2.行列式按行（列）展開法則3.行列式的性質(zhì)及行列式的計算行列式的定義1行列式的計算:aiiai2ain（定義法）Dna2iMa22Ma2nM(jij2Ljn)(i)aijia2j2Lanjnjij2Ljnanian2ann思丐題：用定義計算行列式012-1-1010t)3-2031-1解;用樹圖分析丿3一17r(2143)=2r(2413)=331故Z?=-3+2-12+9=-4t(2431)=4（降階法）行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元

2、素的代數(shù)余子式乘積之和等于零aaaaLaAA，ij,aiiAjiai2Aj2LainAjn0,ij.（化為三角型行列式）上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上兀素的乘積b11»b22Lbnn0bnn若A與B都是方陣（不必同階）AOAOBOBOAABOBO,則AB1)mnABa1nOa1na2n1a2n1NNan1Oan1O11L1關(guān)于副對角線:X2Xn2XnX12X1XiXjn(n1)(1)ama2nKaM范德蒙德行列式:ab型公式:abbMMn1X1LMn1X2Mn1XibbbMa(n1)b(an1b)（升階法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法（遞推公式法）對n

3、階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn1,Dn2之間的一種關(guān)系稱為遞推公式，其中Dn,Dn1,Dn2等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法拆分法）把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和,使問題簡化以例計算.（數(shù)學歸納法）2.對于n階行列式A，恒有：EAnn（1）kSknk，其中Sk為k階主子式;3. 證明A0的方法:、A|A；、反證法;、構(gòu)造齊次方程組Ax0，證明其有非零解;、利用秩，證明r(A)n；、證明0是其特征值.4.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij(1)iJAijAij(1)ijM,第二部分矩陣1.矩陣的運算性質(zhì)2.矩陣求逆3.矩

4、陣的秩的性質(zhì)4.矩陣方程的求解a11La1n1.矩陣的定義由mn個數(shù)排成的m行n列的表Aa21a22La2n稱為mMMMam1am2Lamn記作：Aaij或Amnmnn矩陣.同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等矩陣相等：兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等矩陣運算a. 矩陣加(減)法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加(減)b. 數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣A的乘積記作A或A，規(guī)定為A(aj)c. 矩陣與矩陣相乘：設(shè)A(aij)ms,B(bj)sn,則CAB(Cj)mn，其中bjbjCij(ai1,ai2,L,as)Mai1bljai2b2jLVsQjbsjABba注：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律，即公式AB

5、BA不成立.AB0A0或B=0a.分塊對角陣相乘:An,BBiiABAiiBiiAnb.用對角矩陣乘一個矩陣，相當于用的對角線上的各兀素依次乘此矩陣的(行向量;a0L0LbinLa1blnB0a2L0b22Lb2na221*2匕22La2b2nMMOMMMOMMMOM00Lambm1bm2L'mnambm1ambm2LabmMmnc.用對角矩陣(右右乘一個矩陣，相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的(列)向量.£LDna10L0a1bl1a2bl2LamdnBb21鳥2Lb2n0a2L0瞼1*2匕22Lamb2nMMOMMMOMMMOM“1bm2Lbmn00Lama1m1a

6、2Um2LambmnA22B22d.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘方陣的幕的性質(zhì)：AmAnAmn，(Am)n(A)mn矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A.a.對稱矩陣和反對稱矩陣：A是對稱矩陣=>Aat.b.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:伴隨矩陣：AAjA是反對稱矩陣A11A2MAnAtBtCTDtAt.AA*A*AAE,An分塊對角陣的伴隨矩陣:A21A22MA2nAnn*BA*ABAj為A中各個元素的代數(shù)余子式(1)mnBA1)mnAB矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(at)tA(AB)TbtatATIA(A1)T(AT)1(at)(A)t矩陣可逆的

7、性質(zhì)：(A1)1A111(AB)BAA1IIA1/n1、k/nk、1.k(A)(A)A伴隨矩陣的性質(zhì)：(A)|An2A(AB)BAAl|An1(A1)(A)1Hkk(A)(A)n若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1|AB|A|BAk|IAkAAAA|AE（無條件恒成立）伴隨矩陣法Aadbeca主L換位副L變號2.逆矩陣的求法方陣A可逆A0.初等變換法（AhE）初等行變換(EIA1)分塊矩陣的逆矩陣：A1A11AB1BB1BA1A1CA1A1CB1A1OA1OOBOBCBB1CA1B1111a1a1a215a21a3丄a3丄配方法或者待定系數(shù)法（逆矩陣的定義ABBAEA1B）3行

8、階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為0;每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零當非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時,稱為行最簡形矩陣4. 初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式rirj(CiC)E(i,j)1E(i,j)E(i,j)|E(i,j)|1rik(Cik)E(i(k)Ei(k)1Ei(k)|Ei(k)|kEi,j(k)15.矩陣的秩rirjkgCjk)對A施行一次初等（行行變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣（左乘A；對A施行一次初等（列）變換得到的矩陣，

9、等于用相應(yīng)的初等矩陣（右右乘A.注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:關(guān)于A矩陣秩的描述:、r(A)、r(A)r(A)A中有r階子式不為0,r1階子式A的r階子式全部為0;A中存在r階子式不為0;（存在的話）全部為0；?矩陣的秩的性質(zhì):r(A)r(kA)r(A)>1；AOr(AT)r(ATA)r(A)其中k0若Amn,Bns,若r(AB)0r(AB)wminr(A),r(B)P、Q可逆,r(A)r(PA)r(A)0;0wr(Amn)wmin(m,n)r(B)nr（A）B的列向量全部是r(AQ)r(PAQ);r(A

10、mn)Ax只有零解r(AB)r(B)A在矩陣乘法中有左消去律r(Bns)r（AB）r（B）B在矩陣乘法中有右消去律若r(A)rA與唯一的OrO等價稱r(AB)wr(A)r(B),maxr(A),r(B)wAar(A)r(B),rAx0的解ErO即：可逆矩陣不影響矩陣的秩ABABOBOACBC為矩陣A的等價標準型r(A,B)wr(A)r(B)Cr(A)r(B)求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6矩陣方程的解法(A0):設(shè)法化成(I)AXB(II)XAB(I)的解法：構(gòu)造(AMB)初等行變換(EMX)(II)的解法:AE構(gòu)造L初等列變換L(II)的解法:將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atxtbt,用的方法求出

11、xt,再轉(zhuǎn)置得X第三部分線性方程組1.向量組的線性表示2.向量組的線性相關(guān)性3.向量組的秩4.向量空間5. 線性方程組的解的判定6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)(通解)(1)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)(基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系)(2)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)(通解)1.線性表示：對于給定向量組2丄，n,若存在一組數(shù)k1,k2丄,kn使得k11k22Lknn,則稱是1,2,L,n的線性組合，或稱稱可由1,2,L,n的線性表示線性表示的判別定理：可由1,2,L,n的線性表示由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程a1X1a12X2La1nXnb1、a21X1a22X2La2nXnb2有解LLLLLLLL

12、LLLam1X1am2X2LanmXnbna1a12La1nX1b1、a21a22La2nX2b2AxMMOMMMam1am2LamnXmbm2.設(shè)Amn，Bns，A的列向量為1,2,n，B的列向量為i,2,s，biiLbisb)2ib)22Lb2s則ABCms1,2,nG，C2丄,OsMMMbnibn2LbnsAic，(i1,2,L,s)Xi、ai.X2日2LanM（全部按列分塊，其中Xn、axa?X2LanXn（線性表出）、有解的充要條件:bib2)；Mr（A）r（A,）n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）為Axc的解Ai,2,sAi,A2,AsCi,C2,L,CsC|,C2,L,Cs可由i,2:

13、,n線性表示.即：C的列向量能由A的列向量線性表示，B為系數(shù)矩陣同理：C的行向量能由B的行向量線性表示，A為系數(shù)矩陣aia2LainiCiaiiiai22Lain2q即：a2ia22La2n2C2a2iia222La2n2C2MMMMMLLLanian2Lamnncmamiiam22Lamn2Cm向量b能山向駅組/線性表示線性方程組Ax冇解向疑組占能曲向昴組/線性表示AX=8有解WJt®玉兀暫向最紐A與向量組J?等價數(shù)臥島，砥*使得杓叭*斎碼+（零向屋）3.線性相關(guān)性向量組/：夕1*嶼*Sx線性相關(guān)則稱向?qū)面鵉1/是線性相蕓的，否則稱它是線件1義的.腳元齊次線性方稈組Ax0匸）JKA

14、）jn有非零解判別方法:法1對于向量組碼%,%+馬$+上舁珂=0的線性相關(guān)性等價丁齊次線性方程組你占+碣蟲+十斫丿”=0是否有非零解(1齊欲線件方程組有非宙解Q向毘細線性相艮:(2齊次線性方程組乂冇零解O向試紐役性無關(guān)-關(guān)于向量組辰，,設(shè)矩陣A=(dfj(Z.+(7;)(1) 7*(-4)<W7O向量組塢卒,錢性相關(guān);(2) r(A)=mo向量組aa2am線性無關(guān).法3推論定理3向量組召幾(皿沏銭性相關(guān)的充分必要集件是該向雖纟n屮至少宵個向暈可由其余向量銭性表示.設(shè)孑r?個澀向8a-=(如倚"心)(/=1,2,，處rtlara2,%構(gòu)成的并階彳f列式5如氣5fl*i2DhOu&

15、gt;向竝組匕心線性無關(guān);D二0o向量組ai9a29.yax線性相關(guān).線性相關(guān)性判別法（歸納）向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組4丐,線性無關(guān)如果拚町+為昭+力耳=0零向量）貝!J必有A-A-Ar-®*朋元齊次線性方程組r=0只有零解.輛肺陣（為幻，槽丿的秩等于向帛的個數(shù)酬.向量組/中任何一個向量都不能由其余刪-1個向量線性表示.?線性相關(guān)性的性質(zhì) 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān) 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必無關(guān).（向量個數(shù)變動） 原向量組無關(guān)，接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān)，原向量組相關(guān).（向量維數(shù)

16、變動） 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)向量組1,2,n中任一向量i（1wiwn）都是此向量組的線性組合燧大無關(guān)組若在向0俎川中找到向戟內(nèi)*色*，礙滿足（1）鬲:儀j*性*叫綫性丄關(guān)，強）A中懺一問邱戰(zhàn)可山.和童爭，剛耐用祖“圧同帚坦丿旳拘ia向量空間的基設(shè)卩為向制簾的.ATT尸個向氷旳，*“卩、月滿足 "牡斗線性無黃; 尸中任向謚梆可由“町蜒性表示則稱向圮紐角衛(wèi)亠就稱為向址空阿F的一個基.棊礎(chǔ)解系若齊次城性方&紺五=0的一創(chuàng)1解向城f-點渦足烷農(nóng)一心線性無矩（2）彳工二伽勺任解那可山二蟲上線性表示*則稱如張皿稱為缶=a時一個甚礎(chǔ)解禮若1,2,n線

17、性無關(guān)，而1,2,n,線性相關(guān),則可由1,2,n線性表示，且表示法唯一4. 最大無關(guān)組相關(guān)知識向量組的秩|向量組1,2,L,n的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩記作r（1,2,L,n）|矩陣等價A經(jīng)過有限次初等變換化為B.向量組等價1,2,n和1,2,n可以相互線性表示記作：1,2,n%1,2矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù) 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行(列)向量間的線性關(guān)系 向量組1,2,s可由向量組1,2,n線性表示,且Sn，則1,2,s線性相關(guān)向量組1,2,s線性無關(guān)，且可由1,2,n線性表示，則S門. 向量組1,2,s

18、可由向量組1,2,n線性表示，且r(1,2,s)r(1,2,n),則兩向量組等價; 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定 若兩個線性無關(guān)的向量組等價，則它們包含的向量個數(shù)相等 設(shè)A是mn矩陣,若r(A)m,A的行向量線性無關(guān)；5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式Ax向量式X11X22LXnn&1312LainX1bl1j321322L32nX2b2jA,x,其中j,j1,2,L,nMMMMMMam1am2Lamnxnbmmj(1)解得判別定理定理：序元線性方程組 無解的充分必耍條件是環(huán); 有唯一解的充

19、分必婆條件杲爲心£外=為； 有無限多解的充分必要條件是凰勁血4囪并(1)1,2是Ax的解,12也是它的解(2)是Ax的解,對任意k,k也是它的解齊次方程組(3)1,2,L,k是Ax的解,對任意k個常數(shù)1,2,L,k,1122kk也是它的解(4)是Ax的解,是其導(dǎo)出組Ax的解,是Ax的解(5)i,2是Ax的兩個解,12是其導(dǎo)出組Ax的解(6)2是Ax的解,則1也是它的解12是其導(dǎo)出組Ax的解(7)1,2,L,k是Ax的解，則1122Lkk也是Ax的解12Lk2)線性方程組解的性質(zhì)：12112L12Lkk是Ax0的解k0判斷1,2丄，s是Ax的基礎(chǔ)解系的條件： 1,2,L,s線性無關(guān)；

20、1,2,L,s都是Ax的解；snr(A)每個解向量中自由未知量的個數(shù)(4)求非齊次線性方程組Ax=b的通解的步驟(1)將增廣矩陣(Ab)通過初等行變換化為階梯形矩陣；當r(Ab)r(A)rn時，把不是首非零元所在列對應(yīng)的nr個變量作為自由元；令所有自由元為零，求得Axb的一個特解0；(4) 不計最后一列，分別令一個自由元為1，其余自由元為零，得到Ax0的基礎(chǔ)解系1,2,.,n-r;(5) 寫出非齊次線性方程組Axb的通解x0k11k22.knrnr其中k1,k2,.,knr為任意常數(shù)（5）其他性質(zhì)一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一1,丄，s,線性無關(guān)VAx與Bx同解（代B列向量個數(shù)相同）ArB

21、r（A）r（B），且有結(jié)果: 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等; 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系V矩陣Amn與Bln的行向量組等價齊次方程組Ax與Bx同解PAB（左乘可逆矩陣P）;矩陣Amn與Bin的列向量組等價AQB（右乘可逆矩陣Q）第四部分方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計算3. 矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1.標準正交基n個n維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個向量長度為1.亠=TT向量a,a2,L,an與b,b2丄，bn的內(nèi)積(n)abvaib_a2br_L_anbni1與正交（，）0記為:向量q,a

22、2,L,anT的長度|,)a2腐afL訂i1I是單位向可II,）1.即長度為1的向量.2.內(nèi)積的性質(zhì)：正定性：（，）0,且（，）0對稱性：（，）（，）"若是Ax的一個解，iL,s是Ax的一個解線性性：(12,)(1,)(2,)(k,)k(,)3.設(shè)A是一個n階方陣，若存在數(shù)和n維非零列向量x,使得Axx，則稱是方陣A的一個特征值,X為方陣A的對應(yīng)于特征值的一個特征向量A的特征矩陣EA0(或AE0)A的特征多項式()(或AE()()是矩陣A的特征多項式(A)OA12LntrA，trA稱為矩陣A的跡.上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n各元素.若A0,則0為A的特征值，且

23、Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量n，f(A)是多項式,則:r(A)1A疋可分解為A=a2“b,b2,ML2,bn、A(印a?b2Lang)A,從而A的特征值an為：1trAa?b?Lanbn,23Ln0.邈a1,a2,L,anT為A各行的公比，b,b2丄,bn為A各列的公比.ai若A的全部特征值1,2丄 若A滿足f(A)OA的任何一個特征值必滿足f(i)0 f(A)的全部特征值為f(1),f(2)L,f(n)；If(A)f(i)f(2)Lf(n).A與At有相同的特征值，但特征向量不一定相同4. 特征值與特征向量的求法(1)寫出矩陣A的特征方程AE0，求出特征值根據(jù)(AiE)x0得

24、到A對應(yīng)于特征值i的特征向量設(shè)(AiE)x0的基礎(chǔ)解系為1,2丄nri,其中rir(AiE).knrinri,則A對應(yīng)于特征值i的全部特征向量為k11k22L其中ki,k2,L,心為任意不全為零的數(shù)5.A與B相似P1APB（P為可逆矩陣）6.A與B正交相似A可以相似對角化相似矩陣的性質(zhì):P1APBA與對角陣（P為正交矩陣）相似（稱是A的相似標準形）EB,從而代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同囲是A關(guān)于o的特征向量,P1是B關(guān)于o的特征向量.trAtr從而代B同時可逆或不可逆r(A)r(B)若A與B相似，則A的多項式f（A）與B的多項式f（A）相似.7.矩陣對角化的判定方法n階矩陣A可對角

25、化（即相似于對角陣）的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量,主對角線上的元素為A的特征值.這時，P為A的特征向量拼成的矩陣，P1AP為對角陣i為對應(yīng)于j的線性無關(guān)的特征向量,則有:P1APA可相似對角化nr(iEA)ki，其中kj為的重數(shù)A恰有n個線性無關(guān)的特征向量.：當i0為A的重的特征值時,A可相似對角化i的重數(shù)nr（A）Ax基礎(chǔ)解系的個數(shù).若n階矩陣A有n個互異的特征值A(chǔ)可相似對角化8.實對稱矩陣的性質(zhì): 特征值全是實數(shù)，特征向量是實向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 一定有n個線性無關(guān)的特征向量若A有重的特征值，該特征值i的

26、重數(shù)=nr(iEA); 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形； 與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形； 兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值9.正交矩陣aAE正交矩陣的性質(zhì)：Aa1； aAatae； 正交陣的行列式等于1或-1； A是正交陣,則A,A1也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； A的行(列)向量都是單位正交向量組10.求正交矩陣把實對稱矩陣化為對角陣的方法；1. 解特征方程A-AE=O,求出對稱陣A的全部不同的特征值人.心,心2. 對每個特征值人，求出對應(yīng)的特征向量，即求齊次線性方程組-ZtE)x=0的基礎(chǔ)解系。3. 將屬于每個人的特

27、征向屋先正交化，再單位化。這樣共可得到"個兩兩正交的單位特征向量坯，羽,4. 以為列向量構(gòu)成正交矩陣T=有TAT=A11.施密特正交規(guī)范化3線性無關(guān),正交化2,1,3,1,2)1)1)(3,2)2)單位化:2-技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。代入方程，確定其自由變量讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量第四部分二次型1.二次型及其矩陣形式1.2.3.二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式正定矩陣的判定二次型f(X1,X2丄,Xn)其中A為對稱矩陣,A與B合同CtACB.naXj(X1,X2丄,Xn)j1a11a,2LainX1a21a22La2nX2LLLLLan1an2LannXnxtAx(X1,X2丄,Xn)T(代B為實對稱矩陣,C為可逆矩陣正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)符號差2pr(r為二次型的秩)負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數(shù)兩個矩陣合同的充分條件是：A與B等價兩個矩陣合同的必要條件是：r(A)r(B)疋：他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等:正交變換diyi2標準形12.f（xX2丄，人）xtAx經(jīng)過：'合同變換xCy化為f可逆線性變換正交變換法用正交變換化二次型為標準形（規(guī)范形）的具體步驟1將一次即衷咗她即也式/三xtAx.出占2求出且的所召特征值舛爲人:良求H對應(yīng)于特征值的