對頂角、余角和補角

1、北師大七年級(下)扶手扶手雙杠雙杠鐵軌鐵軌一、兩直線位置關系一、兩直線位置關系閱讀課本閱讀課本38頁至頁至“議一議議一議”前，完成以下問題：前，完成以下問題：1. ， 的兩條直線叫的兩條直線叫做相交線。做相交線。2. ， 的兩條直線叫做平行線的兩條直線叫做平行線.3.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有_和和_兩種。兩種。4.不相交的兩條直線一定是平行線嗎？不相交的兩條直線一定是平行線嗎？在同一個平面內(nèi)在同一個平面內(nèi)不相交不相交檢測檢測只有一個交點只有一個交點在同一個平面內(nèi)在同一個平面內(nèi)相交相交平行平行 判斷下面說法是否正確判斷下面說法是否正確: （1）不相交的兩條

2、直線叫做平行線。）不相交的兩條直線叫做平行線。 （ ）（2）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段 是平行線是平行線 。 （ ）（3）兩條直線，要么平行，要么相交。）兩條直線，要么平行，要么相交。 （ ）同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)直線直線 1.判斷題判斷題: （1）不相交的兩條直線叫做平行線。）不相交的兩條直線叫做平行線。 （ ）（2）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段 是平行線是平行線 。 （ ）（3）兩條直線，要么平行，要么相交。）兩條直線，要么平行，要么相交。 （ ）2.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有、在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只

3、有、 兩種。兩種。平行平行相交相交同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)直線直線如圖，直線如圖，直線AB、CD相交于相交于O21ABCDO34觀察觀察發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)1 11和和2有什么位置關系？有什么位置關系？直線直線ABAB與與CDCD相交于點相交于點O O，11與與22有有公共頂點公共頂點O O，它們的，它們的兩邊互兩邊互為反向延長線為反向延長線，這樣的兩個角叫，這樣的兩個角叫做做對頂角對頂角。圖中還有沒有圖中還有沒有其他對頂角？其他對頂角？探索一探索一如圖，（如圖，（1） 指出指出1的邊和頂點的邊和頂點（2）把）把AO ,DO延長，得到延長，得到 OC，OB ，形成，形成2 ，觀察這兩個角，它們有什么特點？，觀

4、察這兩個角，它們有什么特點？（3）總結：對頂角的定義：）總結：對頂角的定義：DBCOA2143 一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線，一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種位置具有這種位置 關系的兩個角叫做對頂角。關系的兩個角叫做對頂角。圖中還有沒有其他對頂角？（1）下列各圖中，）下列各圖中，1與與2是對頂角的是（是對頂角的是（ ）12C12DD12A12B對頂角定義：對頂角定義：有公共頂點，并且兩邊互為反向延長線，有公共頂點，并且兩邊互為反向延長線，的兩個角叫做對頂角的兩個角叫做對頂角。（2 2）如圖所示）如圖所示, ,直直ABAB、CDCD相相交于交于O O點，點，OEOE是射

5、線，則是射線，則1 1的對頂角是的對頂角是 ，4 4的的對頂角是對頂角是 。AODAOD33O O2 21 13 34 4E EB BA AC CD D請你觀察圖中請你觀察圖中1和和2這組對頂角，你這組對頂角，你發(fā)現(xiàn)它們的大小有什發(fā)現(xiàn)它們的大小有什么關系么關系?觀察觀察發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)2 221ABCDO已知：如圖，直線已知：如圖，直線AB與與CD交于交于O求證：求證：1=2 探究探究對頂角性質：對頂角性質： ABDC證明：證明：O1（）21 +AOC =180 (平角定義平角定義)2 +AOC =180(平角定義平角定義) 1 = 2 (等式性質等式性質)1 =180-AOC 2 =180-AOC

6、A AB BC CD DE EF FO O(3)如圖，已知如圖，已知DOE=90，AB是經(jīng)過點是經(jīng)過點O的一條直線。如果的一條直線。如果AOC=700，那么那么BOF等于多少度等于多少度?為什么為什么?AOC=70（已知）（已知）BOD=70（對頂角相等）（對頂角相等）DOE=90（已知）（已知）DOF=90（平角定義）（平角定義）BOF=DOF-DOB =90- 70=20（1）定義中的定義中的“互為互為”一詞如何理解？一詞如何理解？（3）互補、互余的兩角是否一定有公共頂點或公共邊？互補、互余的兩角是否一定有公共頂點或公共邊？（2）1 + 2 + 3 = 180,能說能說1 、2、 3 互補

7、嗎？互補嗎？余角互余補角互補 的余角的余角的補角的補角5776223x 練習1：8513273790-x 17510311737180-x 2.同一個銳角的補角比它的余角大多少？同一個銳角的補角比它的余角大多少？=90=90180o-xo思考：思考：1.銳角是否都有余角和補角？鈍角呢？銳角是否都有余角和補角？鈍角呢？(90o-xo)- 的余角的余角的補角的補角5776223x 練習1：8513273790-x 9514517510311737180-x 8535不存在不存在不存在不存在同一個銳角的補角比它的余角大多少？同一個銳角的補角比它的余角大多少？=90=90 互余和互補是兩個角的數(shù)量關系

8、，與它們的位置無關?；ビ嗪突パa是兩個角的數(shù)量關系，與它們的位置無關。180o-xo-(90o-xo)練習練習2:2: 若一個角的補角等于它的余角的若一個角的補角等于它的余角的4 4倍，求這個倍，求這個角的度數(shù)。角的度數(shù)。解：設這個角是x ，則它的補角是(180 x), 余角是(90 x) ,根據(jù)題意得： 180 x = 4 (90 x)解得： x = 60答：這個角的度數(shù)是60 。圖圖2 22 2小組合作交流，解決下列問題：在圖小組合作交流，解決下列問題：在圖23中中問題問題1：哪些角互為補角？哪些角互為余角？：哪些角互為補角？哪些角互為余角？問題問題2：3與與4有什么關系？為什么？有什么關系

9、？為什么？問題問題3：AOC與與BOD有什么關系？為什么？有什么關系？為什么？N N 2 2D DC C O O1 13 34 4A AB B圖圖2-32-3打臺球時，選擇適當?shù)姆较?，用白球擊打紅球，反彈后的紅球打臺球時，選擇適當?shù)姆较?，用白球擊打紅球，反彈后的紅球會直接入袋，此時會直接入袋，此時1=21=2，將圖，將圖2-22-2抽象成圖抽象成圖2-32-3，ONON與與DCDC交于交于點點O O，DON=CON=90DON=CON=900 0，1=21=2。1）若）若1與與2互余，互余， 2與與3互余，則互余，則 _，根據(jù)，根據(jù)_.2）若1與2互補， 2與3互補，則_，根據(jù)，根據(jù)_.1=

10、3同角的余角相等同角的余角相等1= 3同角的補角相等同角的補角相等鞏固練習鞏固練習1 互補的角互補的角 2=4 , AOC=BOC=DOE=900 1=3 互余的角互余的角 相等的角相等的角13AOEDOBDOBCAOBDE）（）4312如圖如圖A、O、 B在同一直線在同一直線上上,AOC= DOE= 90，找出圖中找出圖中鞏固練習鞏固練習2如圖如圖1-2-3，已知，已知AOC與與BOD都是直角，都是直角，BOC=60（1）求）求AOB和和DOC的度數(shù)；的度數(shù)；（2）A OB與與DOC有何大小關系；有何大小關系；（3）若不知道）若不知道BOC的具體度數(shù)，其他條件的具體度數(shù)，其他條件不變，這種關

11、系仍然成立嗎？請說明理由。不變，這種關系仍然成立嗎？請說明理由。鞏固練習鞏固練習2（1）如圖，）如圖，ABC中，中，C=90.則則A是是B的的 。（2 2）變式訓練：）變式訓練：在在的基礎上，作的基礎上，作CDA=90CDA=900 0，如圖，如圖. .1.1.則則AA的余角有哪幾個？為什么？的余角有哪幾個？為什么？2.2.請找出圖中相等的角，并說明理由。請找出圖中相等的角，并說明理由。鞏固練習鞏固練習3C CA AB BC CA AB BD D圖圖21ABCDOADCBO 定義：定義：一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。延長線，這兩個角

12、叫做對頂角。DBCOA那么那么3 3和和4 4 呢？呢？21也是對頂角！也是對頂角！43對頂角對頂角 ABDCO O）2 21 1（如圖，直線如圖，直線AB和和CD相交相交于點于點O，我們就把其中的我們就把其中的1和和2叫做叫做對頂角對頂角。AOC和和BOD還有沒有還有沒有對頂角對頂角？（1）下列各圖中，）下列各圖中，1與與2是對頂角的是（是對頂角的是（ ）12A12B12C12D試一試！試一試！D（2 2）如圖所示）如圖所示, ,直直ABAB、CDCD相相交于交于O O點，點，OEOE是射線，則是射線，則4 4的對頂角是的對頂角是 ，1 1的的對頂角是對頂角是 。AODAOD33O O2 2

13、1 13 34 4E EB BA AC CD D 對頂角性質：對頂角性質：對頂角相等對頂角相等 ABDC證明：證明：直線直線AB與與CD交于交于O(已知已知)， 1 +AOC =180 (平角定義平角定義) 2 +AOC =180(平角定義平角定義) 1 = 2 (等式性質等式性質) 已知：如圖，直線已知：如圖，直線AB與與CD交于交于O求證：求證：1=2O1（）2性質的應用性質的應用 如圖所示，三條如圖所示，三條直線直線ABAB、CDCD、EFEF相交相交于一點于一點O,AOCO,AOC的對頂?shù)膶斀鞘墙鞘?，COFCOF的的對頂角是對頂角是_._. B BD DE EA AC CF FO

14、ODOBDOBDOEDOE 如圖，三條直線如圖，三條直線ABAB、CDCD、EFEF兩兩相交，在這兩兩相交，在這個圖形中有對頂角個圖形中有對頂角_對，對，A AE ED DC CB BF F6 若把上題中若把上題中1=401=400 0 這這個條件換成其他條件，個條件換成其他條件，而結論不變，請自編幾而結論不變，請自編幾道題。道題。 ABDC1234 若直線若直線ABAB，CDCD相交，相交，1=401=400 0則則2 2 =_ 度，度，3 3 =_ 度，度，4 4 =_度度40140140如圖所示，三條直線如圖所示，三條直線ABAB、CDCD、EFEF相相交于點，交于點，1 10 00 0,2=75,2=750 0, ,則則3 3等于多少度等于多少度? ?C CD DE EA AF FO OB B1 12 23 3解解: : 110 0 2= 75 (已知已知) AOF= 180 2 1 = 180 75 0 = 65 3= AOF= 65 65 ( (對頂角相等對頂角相等) )