第四節(jié)無窮小量與無窮大量二稿ppt課件

1、第四節(jié) 無窮小量與無窮大量 第一章第一章 到目前為止， 我們已經(jīng)闡明了數(shù)列與函數(shù)的極限下面我們再來研究一類比較簡單但十分重要的函數(shù)，即所謂的無窮小量二、無窮大量二、無窮大量Infinitely Large Quantity）一、無窮小量一、無窮小量Infinitely Small Quantity）一、無窮小量當(dāng)當(dāng)定義定義1 假設(shè)假設(shè)0 xx 時時 , 函數(shù)函數(shù),0)(xf則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf0 xx 例如例如 :8lim(8)0,xx函數(shù)函數(shù) 8x當(dāng)當(dāng)8x 時為無窮小時為無窮小;1lim0,nn函數(shù)函數(shù) 1nn 時為無窮小時為無窮小;)x(或為為時的無窮小時的無窮小 .)x(或需要指出的

2、是，需要指出的是， （1不要認為無窮小量是一個很小很小的數(shù)；不要認為無窮小量是一個很小很小的數(shù)；（2除除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! ；（3無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和乘積未必是無窮小.其中其中 為為0 xx 時的無窮小量時的無窮小量 . Axfxx)(lim0 Axf)(,證證: :Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)00 xx時時, ,有有 Axf)( )( )xf xA0lim( )0 xxx注：對自變量的注：對自變量的其它變化過程類其它變化過程類似可證似可證 .定理定理 1 ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極

3、限的關(guān)系 )例如：例如：1lim, 1xxx有有11( )1xf xxx 其中其中11( )( )0()xf xxx 無窮小量的運算法則定理定理2 有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小 考慮：考慮：222111lim12nnnnn？1說明說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小定理定理3證證: 設(shè)設(shè), ),(10 xxMu 又設(shè)又設(shè),0lim0 xx即即,0,02當(dāng)當(dāng)),(20 xx時時, 有有M取取,min21則當(dāng)則當(dāng)),(0 xx時時 , 就有就有uuMM故故,0lim0ux

4、x即即u是是0 xx 時的無窮小時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理利用定理3 可知可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線的漸近線 .例例2 求求（課本習(xí)題（課本習(xí)題15 52）小結(jié)-無窮小量:1.無窮小量是微積分學(xué)的一個重要概念.2.利用無窮小量與極限的關(guān)系處理極限證明和計算二、無窮大量 Mxf)(定義定義2 若任給若任給 M 0 ,000 xx一切滿足

5、不等式一切滿足不等式的的 x , 總有總有則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時為無窮大時為無窮大, 使對使對.)(lim0 xfxx若在定義中將若在定義中將 式改為式改為Mxf)(則記作則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作記作, )(Mxf總存在總存在注意注意:1. 按函數(shù)極限定義來說，按函數(shù)極限定義來說， 無窮大的函數(shù)無窮大的函數(shù) f (x)的極限是不的極限是不存在的存在的.但為方便起見，但為方便起見，我們也說我們也說“函數(shù)的極限是無窮大函數(shù)的極限是無窮大” .2. 無窮大不是很大的數(shù)無窮大不是很大的

6、數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài)它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).3. 函數(shù)為無窮大函數(shù)為無窮大 , 必定無界必定無界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當(dāng)當(dāng)n2但但0)(2nf所以所以x時時 ,)(xf不是無窮大不是無窮大 !oxyxxycos2lim.xx 證證: 任給正數(shù)任給正數(shù) M ,要使要使2,xM即即,xM只要取只要取0,XM則對滿足則對滿足xX的一切的一切 x , 有有2,xM所以所以2lim.xx 例例1 證明證明思考題思考題 證明證明01 3lim.xxx （習(xí)題（習(xí)題14 13）提示：提示：要使要使1 3,xMx即即13,Mx就要

7、就要1,313xMx即即13,Mx只要取只要取103M（其中（其中M 3）定理定理4無窮小與無窮大的關(guān)系）無窮小與無窮大的關(guān)系）假設(shè)假設(shè))(xf為無窮大為無窮大,)(1xf為無窮小為無窮小 ;假設(shè)假設(shè))(xf為無窮小為無窮小, 且且,0)(xf那那么么)(1xf為無窮大為無窮大.那那么么(自學(xué)自學(xué))據(jù)此定理據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論無窮小來討論.在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明:小結(jié)-無窮大量確定方法:1.利用無窮大量定義證明；2.利用無窮小量與極限無窮大量的關(guān)系計算內(nèi)容小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義; ;四個定理四個定理. .2、幾點注意、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的. .（1） 無窮?。o窮小（ 大是變量大是變量,不能與很小大的數(shù)不能與很小大的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；混淆，零是唯