第六章 真空中的靜電場(chǎng)1,2liti2011z

1、P 連續(xù)分布連續(xù)分布帶電體帶電體 Q 的場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算步驟的計(jì)算步驟QdqEdQ EEd分解分解求求dq在在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dqrrE3041d 視為點(diǎn)電荷視為點(diǎn)電荷dq疊加疊加r選電荷元選電荷元dq lsVqdddd體電荷體電荷面電荷面電荷線電荷線電荷在坐標(biāo)系中要化為分量積分。在坐標(biāo)系中要化為分量積分。電偶極電偶極子子r-q+q一對(duì)靠得很近的等值異號(hào)的點(diǎn)電一對(duì)靠得很近的等值異號(hào)的點(diǎn)電荷荷 +q 及及- q 組成的系統(tǒng)組成的系統(tǒng).條件條件l a、L2=0 ；或或 L1=0 、L2a 時(shí)時(shí)aEaEaEyx0004244 jEiEEyx (半無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒端點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)半無(wú)限長(zhǎng)帶

2、電細(xì)棒端點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng))作業(yè)：作業(yè)：8-3；8-6；8-7。dldq 由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式：由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式：prXxEd+ORdl202024141rdlRqrdldE 解：解：圓環(huán)上電荷元帶的電量圓環(huán)上電荷元帶的電量分割帶電體，取分割帶電體，取,dl例例3、求均勻帶電圓環(huán)（電荷線密度為、求均勻帶電圓環(huán)（電荷線密度為 ）軸線）軸線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。Rq2 rxRrqdldEdEx 20241cos由于對(duì)稱性可知由于對(duì)稱性可知 0dEprXxEd+ORdl dE/dEdEdEdExcos/ dEdEdEysin 垂直分量抵消了！垂直分量抵消了！XEdPEdrxRqdlrrdldEELLL

3、x2414cos2020 30302042214241rqxRRrqxdlrxRqrL 22/cosxRx 222xRr prXxEd+ORdl30302042214241rqxRRrqxdlrxRqrL 22/cosxRx 222xRr 23220)(41RxqxE ixRqxE2/3220)(4 電場(chǎng)沿電場(chǎng)沿x x 方向方向討論：討論：1）0, 0 ExixqE204 PixRqxE2/3220)(4 RXx可視為點(diǎn)電荷！可視為點(diǎn)電荷！2）2041xqERx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)（可視為點(diǎn)電荷）（可視為點(diǎn)電荷）（環(huán)心處）（環(huán)心處）r2dr解：解：建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系OXrdrdsdq2 2/322

4、0)(4xrxdqdEx R+drrXO將圓盤視為由許多同心細(xì)將圓盤視為由許多同心細(xì)圓環(huán)組成。圓環(huán)組成。xEdP半徑為半徑為r、寬度為、寬度為dr 的細(xì)的細(xì)圓環(huán)所帶電荷量為圓環(huán)所帶電荷量為例例4 4. .求面電荷密度為求面電荷密度為 的，半徑為的，半徑為R R的簿均勻帶電圓的簿均勻帶電圓盤軸線上任一點(diǎn)盤軸線上任一點(diǎn)X X處的電場(chǎng)強(qiáng)度。處的電場(chǎng)強(qiáng)度。ixRqxE2/ 3220)(4 細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)2/3220)(42xrrxdr 2/3220)(2xrrxdr 2/3220)(4xrxdqdEx rdrdsdq2 2/3220)(2xrrxdrdEx xxdEEE Rxrxrdx02/

5、322220)(2)(2 2/32200)(2xrrdrxR 由對(duì)稱性可知電場(chǎng)只沿由對(duì)稱性可知電場(chǎng)只沿x x 軸軸方向方向即即 各各 同向同向EdixRxE 220122）0 x)1(2220 xRxE 02 討論：討論：1）R(xR)02E, ,成為無(wú)限大帶電平板成為無(wú)限大帶電平板02E無(wú)限大平面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小無(wú)限大平面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小3）)(Rxx 222)/(11xRRxx2/12)/(1xRixRxE)1(2220 442283211xRxR2022204)211(12xRxRE分子分母同乘分子分母同乘 ：20202202444xqxRxRE相當(dāng)一點(diǎn)電荷。相當(dāng)一點(diǎn)電荷。例例5、一

6、均勻帶正電的細(xì)棒彎成一半徑為、一均勻帶正電的細(xì)棒彎成一半徑為R的半圓環(huán)，求的半圓環(huán)，求半圓環(huán)中心的電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)細(xì)棒帶電量為半圓環(huán)中心的電場(chǎng)強(qiáng)度。設(shè)細(xì)棒帶電量為q。解：由題意知，場(chǎng)源電荷連續(xù)分布且具有解：由題意知，場(chǎng)源電荷連續(xù)分布且具有一定的對(duì)稱性。選對(duì)稱軸為一定的對(duì)稱性。選對(duì)稱軸為X軸。軸。 對(duì)稱電荷對(duì)稱電荷dq= 產(chǎn)生的電產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)x軸對(duì)稱。判知場(chǎng)強(qiáng)軸對(duì)稱。判知場(chǎng)強(qiáng)y分量互相抵消，合場(chǎng)強(qiáng)沿分量互相抵消，合場(chǎng)強(qiáng)沿x方方向。其大小為：向。其大小為：dlRdldEEcos4cos20 20202202022cos4cos41RqRdRRRd iRqE2022 yxRdqdqEddRd

7、RRdRdlRdqdE0202020414441 dRdEdEdRdEdEyxsin4sincos4cos00 RdRERdREyx020002004sin44cos4 )(40jiRE )(40jiRE EddyxRdqROOR例例6、求均勻帶電細(xì)棒在（、求均勻帶電細(xì)棒在（1）自身延長(zhǎng)線上（）自身延長(zhǎng)線上（2）細(xì)）細(xì)棒的中垂線上的分布。設(shè)棒長(zhǎng)為棒的中垂線上的分布。設(shè)棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，帶電量為帶電量為q。解：取如圖所示的坐標(biāo)，在細(xì)棒上取線元解：取如圖所示的坐標(biāo)，在細(xì)棒上取線元dx，在在P點(diǎn)的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿場(chǎng)強(qiáng)方向沿X軸負(fù)向。軸負(fù)向。2041xdqdE Prdxdq XOEdx軸負(fù)方向，大小為：軸負(fù)方向

8、，大小為：的方向沿的方向沿同方向，故同方向，故因因XEEd)(1441020LrrqxdxdEELLrr iLrrqE)(140(2)如圖所示，取對(duì)稱電荷如圖所示，取對(duì)稱電荷 dq，他們產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)他們產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)對(duì)對(duì)y軸對(duì)稱。軸對(duì)稱。XYOxx EdEda22041axdqdE 22sin)2cos(cosaxx . 0 xE由對(duì)稱性分析可知，由對(duì)稱性分析可知，041cos2222220LLxaxxaxdxdEE 4144441cos2202202222220LaaqLaLaaxaaxdxdEELLy jEEY作業(yè)：作業(yè)：6-3、6-6、6-7、6-9、610、6-11例例7：一無(wú)限大的帶電平面

9、上有一半徑為：一無(wú)限大的帶電平面上有一半徑為R的小圓孔，的小圓孔，設(shè)帶電平面的電荷面密度為設(shè)帶電平面的電荷面密度為 ，求通過(guò)圓孔中心，求通過(guò)圓孔中心，且垂直于帶電平面的軸線上任意點(diǎn)且垂直于帶電平面的軸線上任意點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。RPx解：按題條件，場(chǎng)源電荷分布有解：按題條件，場(chǎng)源電荷分布有一定對(duì)稱性，應(yīng)用帶電圓環(huán)中心一定對(duì)稱性，應(yīng)用帶電圓環(huán)中心軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)公式軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)公式23220)(41rxxdqdE 選以圓孔中心為圓心，選以圓孔中心為圓心，rR為為半徑的帶電圓環(huán)為電荷元，則：半徑的帶電圓環(huán)為電荷元，則：drrdq 2中心軸線上距圓心中心軸線上距圓心X處的場(chǎng)強(qiáng)大小為：處的

10、場(chǎng)強(qiáng)大小為：法一：場(chǎng)強(qiáng)疊加法法一：場(chǎng)強(qiáng)疊加法rr+dr220232202)(42RxxrxrdrxER 其其大大小小為為沿軸線。沿軸線。場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)的方向沿軸線，判知合的方向沿軸線，判知合EEd23220)(241rxrdrxdE 法二：補(bǔ)償法求解法二：補(bǔ)償法求解半徑為半徑為R的圓孔可以看成其上均勻地分布面密度為的圓孔可以看成其上均勻地分布面密度為 和和 的的 兩種電荷。若在圓孔處補(bǔ)上一個(gè)半徑為兩種電荷。若在圓孔處補(bǔ)上一個(gè)半徑為R ，電電荷面密度為荷面密度為 的圓盤，則的圓盤，則P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)可看成電荷面點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)可看成電荷面密度為密度為 的無(wú)限大均勻帶電平面在的無(wú)限大均勻帶電平面在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 和面密度為和面密度為 ，半徑為，半徑為R的帶電圓盤在產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的帶電圓盤在產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 的矢量和。的矢量和。 1E2E 軸正向。軸正向。方向沿方向沿XxRxxRxEEE,2)1(22220220021 由于由于 的方向均沿的方向均沿X軸方向，所以