最新一元二次方程解法講義

1、學(xué)習(xí)-好資料龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課題一兀一次方程的解法教學(xué)目標(biāo)1 .理解一元一次方程及具有美概念2 .會解一元二次方程，并能熟練運(yùn)用四種方法去解重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法與應(yīng)用考點(diǎn)及考試要求1. 一兀二次方程的定義，一般形式，配方式2 .熟練一元二次方程的解法能靈活運(yùn)用：直接開平法，配方法.，因式分解，公式法去3 . 一元二次方程在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容傳點(diǎn)一、概念(1)定義：T只含有丁個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程就是一二次方程。(2) 一般表送式：ax +bx + c=0(a=0)注：當(dāng)b=0時(shí)可化為ax2+c=0這是

2、一二次方程的配方式(3)四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2; (3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為F二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理.如果能整理為ax2 +bx+c-0(a#0)的形式，則這個(gè)方程就為F二次方程.(4)將方程化為T形式：ax2 +bx+c=0 時(shí)，應(yīng)滿足(aw0)難點(diǎn)：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的F二次方程的是()A 3(x+1 2 =2(x+1 ) B2+-2 = 0

3、C ax +bx+c = 0D x +2x = x +1x x變式：當(dāng)k時(shí)，關(guān)于x的方程kx2 +2x - x2 +3是一元二次方程。例2、方程(m +2 km+3mx+1 - 0是關(guān)于x的一兀一次方程，則 m的值為。忻點(diǎn)二、方程的解|概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值;典型例題：例1、已知2y2 +y3的值為2,則4y2 +2y+1的值為。例2、關(guān)于x的一兀二次方程(a 一2 X2+x +a2 -4 = 0的一個(gè)根為0,則a的值為。說明：任何時(shí)候，都不能忽略對一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2

4、 +bx+c = 0(a # 0 )的系數(shù)滿足a + c=b,則此方程必有一根為 o說明：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對“代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“ -1 ”巧解代數(shù)式的值。例4、已知a,b是方程x2 -4x + m = 0的兩個(gè)根，b, c是方程y28y +5m = 0的兩個(gè)根，則 m的值為 o例 5、已知 a#b, a2 2a1 =0 , b22b1 = 0,求 a+b=變式：若 a22a1=0, b22b1=0,則 a+P 的值為。b a6、方程(a -b x2 +(b-cx+c-a=0的一個(gè)根為()A -1B 1 Cb-c D -a7、若 2x +5y -3 =0,WJ 4x 32y =0

5、考點(diǎn)三、方程麗T(1)基本思想方法：解一元二次方程就是通過“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。(2)方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法類型一、直接開方法：就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如 x2 =m(m之0 )其解為：x = ±'m對于(x +a 2 =m , (ax + m 2 =(bx +n f等形式均適用直接開方法典型例題：例 1、解方程：(12x28=0;(2) (3x+1)2=7(311 - xf -9=0;(4) 9(x-1 2 =16(x+2f(5) 9x2 -24x+16 = 11例2、解關(guān)于x的方程：ax2-b = 03.

6、下列方程無解的是()A. x2 3=2x2-1 B. x -2 2 =0 C. 2x 3=1-x D. x2 9 =0類型二、配方法更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料基本步驟:1.先將常數(shù)c移到方程右邊 2.將二次項(xiàng)系數(shù)化為 13.方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方4.方程左邊成為一個(gè)完全平方式:在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明x2-2x+3的值恒大于0, 10x2+7x-4的值恒小于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式x2+y2 +2x 4y+7的最小值。變式：若t =2 -V-3x2 +12x-9 ,則t的最大值為,最小值為

7、。例3、已知x2 +y2 +4x_6y +13=0, x、y為實(shí)數(shù)，求xy的值。211.1變式 1:已知 xx 4 = 0,貝(J x +=.x xx變式 2:如果 a 十b + vcTi_1 =4V732 +2v'b+1-4,那么 a+2b3c 的值為 例4、分解因式：4x2+12x+3類型三、因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積 的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到 的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法(x -x1 jx -x2 )=0 = x = x1，或x = x2

8、方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“0”,方程形式：如(ax + m 2 = (bx + n 2 , (x +a jx +b )= (x + a jx + c ) , x2 + 2ax + a2 = 0分解方法：提公因式，利用平方差與完全平方公式，十字相乘法 針對練習(xí)： 例 1、2x(x-3)=5(x-3 附根為(.5_一 一Ax= B x=3 C243 238x y+6x y -2x y (提公因式)22例 2.(1) 4a -169b (平方差)(2)更多精品文檔2_(4) a +6a +9 (完全平方式)一_22(5 ) 12xy+x +36 y (完全平方式)2(6) (

9、a+b) +5(a+b)+4 (十字相乘法)p27pq+12q2 (十字相乘法)(8) 5n(2mn)22(n 2m)(3) (m+n) -4(m -n)(平萬差)(提公因式)例 3、若(4x+y j +3(4x+y ) 4 =0,則 4x+y 的值為。例4、方程x2 +|x| -6 =0的解為()A. x1二-3,X2 =2 B.x二 3,x2 =-2C.x1二3,x?=-3D.x1二2,x?=-2例 5、解方程：x類型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式的值,當(dāng)判別式大于等于零時(shí),把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式，就可得到方程的根。 -條件：(a#0,且b2 4a

10、c 之0 X2)公式：x = , (a =0,且b24ac之 0 )2a典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 3(1 +x2 =6.(x +31x +6 )=8. x2 4x+1 =0 3x2 -4x 1=0 3僅1 j(3x +1 )=(x -1 j(2x +5)說明：解一元二次方程時(shí)，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。例2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1) x2 -2<2x -3；(2) -4x2+8x-1. 2x2-4xy-5y2說明：對于二次三項(xiàng)式ax2 -bx-c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式、這例1、已知一個(gè)

11、直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x+ 7=0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是()A. 、3B.3C.6 D.6說明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握a + b、a-b、ab、a2+b2 之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組： +2(73+1 x+2并+4 =0例6、已知2x2 3xy 2y2 =0，貝(J上上的值為x -y變式：已知 2x2 -3xy -2y2 = 0,且 x>0, y>。，® -xy 的值為x- y例7、解下列方程(1) (2x- 3) 2 = (3x- 2) 2(4) 5m 2 - 17m + 14=0(5) (xb2 =

12、04x+14x-55- 22+x+1)(x 2 +x + 12)=422 o x+23(6) 2x2 + (3a-b)x- 2a2+3ab-例8、解關(guān)于x的方程x2+x - 2+k(x 2+2x)=0(對k要討論)種方法首先令ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成ax2 bx c = a(x x1)(x X2).分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、“降次思想”的應(yīng)用主要內(nèi)容：求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：例1、已知x2 -3x +2=0,求代數(shù)式 "3 -x+1的值。x - 1例2、如果x2+x-1=0,那么代數(shù)式x3 +2x2-7的

13、值。例3、已知a是一元二次方程x2 -3x +1=0的一根，求a -2，-511的值。a 1說明：在運(yùn)用降次思想求代數(shù)式的值的時(shí)候，要注意兩方面的問題：能對已知式進(jìn)行靈活的變形;能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次幕化為低次幕，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組,"十6,x2 -5xy+6y2=0.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。 但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想一一化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.考點(diǎn)四、根與系數(shù)的關(guān)系 前提：忖于ax2+bx+c=0而言，當(dāng)滿足a#0、之0時(shí)，才能用韋達(dá)定理主要內(nèi)容：x1

14、 +x2 =-b,x1x2 =ca a應(yīng)用：惟體代入求值。典型例題：'x + y = 10, ;xy=24;2 22(2)x +y =10,x y =2.說明：一些含有x+y、x2+y2、xy的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利 用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時(shí)，后者顯得更為簡便.例3、已知關(guān)于x的方程k2x2 +(2k 1 x+1 =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k的值；若不存在，請說 明理由。例4、當(dāng)k取何值時(shí)，方程x24mx+4x+3m22m

15、 + 4k = 0的根與m均為有理數(shù)?例5、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為 1)時(shí)，小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而 得到解為8和2,小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正 確解應(yīng)該是多少？ 例 6、已知 a#b, a2 _2a_1 =0 , b22b1 = 0,求 a+b=變式：若a22a1=0, b2-2b-1=0,則芻+b的值為b a例7、已知% P是方程x2 -x-1=0的兩個(gè)根，那么口4+32=.測試題目：、選擇題1 .解方程：3x2+27=0 得().(A)x=±3(B)x=-3(C)無實(shí)數(shù)根 (D)方程的根有無數(shù)個(gè)2

16、.方程(2-3x) + (3x-2) 2=0 的解是().221馬=-Ji = - M = 一(A)x 2=-1(B)2,3(C)x i=X2= j(D)2二,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-24.用配方法解方程:正確的是().(A)1工=5 h A1 -21(B)3J42±73一,x =93(C)l5. 兀89,原方程無實(shí)數(shù)解(D)38 一 8原方程無實(shí)數(shù)解次方程一公+ 2 -2 = 0用求根公式求解，先求a,b,c的值，正確的是().(A)a=1,b= 一一一二 (B)a=1,b=- y1,c=2(C)a=-1,

17、b=-1 ,c=-2(D)a=-1,b= 一 y 二，c=26.用公式法解方程：3x2-5x+1=0,正確的結(jié)果是(5±7135 +后(A)(B)(C)(D)都不對、填空7.方程9x2=25的根是,另一個(gè)根是8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一個(gè)根是2,則t=9.關(guān)于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一個(gè)根是0,則m的值為學(xué)習(xí)-好資料次方程的條件為10 .關(guān)于 x 的方程(m22.用因式分解法、配方法、分式法解方程 2x+5x-3=0.-m-2)x 2+mx+n=0H11 .方程(x+2)(x-a)=0 和方程x2+x-2=0有兩個(gè)相同的解,貝U a=三、

18、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x和y的方程更多精品文檔12. (x+2) (x-2) =1.13.(3x-4)2=(4x-3) 214.3x 2-4x-4=0.15.x2+x-1=0.16.x 2+2x-1=0.17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 一 產(chǎn)； = 丁;丁19.x2-bx-2b 2=0.20.a 2x2+2abx+b2- 4=0(a 豐 0).21.(b-c) x2- (c-a ) x+ (a-b) =0 (aw c)(A)因式分解法(B)配方法(C)公式法23.解方程:(1) ''' ' 1'曲'威-"+川” = ogso)學(xué)習(xí)-好資料24.解關(guān)于 x 的方程：x2-2x+1-k (x2-1 ) =025.已知 |2m-3|=1 ,試解關(guān)于 x 的方程 3mx (x+1) -5 (x+1) (x-1 ) =x226、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40元的