第2講三角變換與解三角形教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第2講三角變換與解三角形【高考考情解讀】1從近幾年的考情來(lái)看，對(duì)于三角恒等變換，高考命題以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，其中與角所在范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識(shí)結(jié)合為命題的熱點(diǎn)；解三角形與其他知識(shí)以及生活中的實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系緊密，有利于考查考生的各種能力，因而成了高考命題的一大熱點(diǎn).2分析近年考情可知，命題模式一般為12題，其中，選擇(填空)題多為低檔題，解答題則一般為與其他知識(shí)(尤其是三角函數(shù)、向量)交匯的綜合題或?qū)嶋H應(yīng)用題，難度中等.瞄準(zhǔn)高考主干知識(shí)梳理1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(a±3=sinacosB±joso(sin0(2) cos(a

2、77;®=cosacos0?sin«sin0tana±an0(3) tan(a±0)=i?tan舶門(mén)02. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2a=2sinacosa(2)cos2a=cos2asin22a=2cos.2a1=12sina.(3)tan2a=2tana1tana3. 三角恒等式的證明方法(1) 從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡(jiǎn).(2) 等式的兩邊同時(shí)變形為同一個(gè)式子.(3) 將式子變形后再證明.4. 正弦定理七=；=十；=2R(2RABC外接圓的直徑).sinAsinBsinC變形：a=2RsinA,b=2RsinB,

3、c=2RsinC.sinA=補(bǔ)，sinB=土,sinC=$2R2R2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC.5. 余弦定理a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosC.推論：-b+caa+cbcosA=,cosB=2bc2ac222a+bccosC=2ab變形：b2+c2a2=2bccosA,a2+c2b2=2accosB,a?+b?c?=2abcosC.6. 面積公式111&abc=bcsinA=acsinB=?absinC.7. 解三角形(1) 已知兩角及一邊，利用正弦定理求解.(2) 已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定

4、理求解，解的情況可能不唯一.(3) 已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解.(4) 已知三邊，利用余弦定理求解.熱點(diǎn)分類(lèi)突破考點(diǎn)一三角變換1n，xR.(1)求fn的值;若cos0=5,0甞2n)求f(20+解fGn=cos(-6n_n612=,2cosn=.2cosn=1.(2)f20+n=.2cos2n20+312=蕓UV2cos20+n/【例1】(2013廣東)已知函數(shù)f(x)=2cosx=cos20sin20,又cos0=5，0佇,2nj,sin0=5,2427sin20=2sin0os0=亦，cos20=2cos01=亦,Jnc.72417-f20+3=cos20sin20=25+25=怎

5、.拆元打當(dāng)已知條件中的角與所求角不同時(shí)，需要通過(guò)“拆”、“配”等方法實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，一般是尋求它們的和、差、倍、半關(guān)系，再通過(guò)三角變換得出所要求的結(jié)果.化簡(jiǎn)常用技巧： 常值代換：特別是“1”的代換，1=sin2B+cos20=tan45等； 項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin2a+2coSa=(sin$a+COS?a)+COS?a,a=(a3+B等； 降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； 弦、切互化：一般是切化弦.變式訓(xùn)竦1(1)(2013四川)設(shè)sin2a=sina,a才對(duì)，則tan2a的值是.(2012江蘇)設(shè)a為銳角，若cosa+6=5，貝卩sin2a+12的值為.答案3葺解析(

6、1)：sin2a=sina,/sino(2cosa+1)=0,n,sina0,2cosa+1=0即cosa=12,sina=2，tana=53,-tan2a=2tana1tan2a2,3132(2)/a為銳角且cosa+n=5,J計(jì)3-sina+6=37t7tsin2a+劭=sin?(a+詁a+=.2sina+4=sin2a+6cos4cos2a+6sin522cos=-2x5x5-子朕42-1=12W2=17V2=2550=50.考點(diǎn)二正、余弦定理【例2(2013課標(biāo)全國(guó)n)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.求B；若b=2，求ABC面積的最大值.解

7、(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB,又A=n(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.由和C(0,n得sinB=cosB.n又B(0,n,所以B=4.1ABC的面積S=2acsinB="4ac.由已知及余弦定理得4=a2+c22accosn.4224又a+c>2ac,故ac<2寸2當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.因此ABC面積的最大值為.2+1.拆元打三角形問(wèn)題的求解一般是從兩個(gè)角度，即從“角”或從“邊”進(jìn)行轉(zhuǎn)化突破,實(shí)現(xiàn)“邊”或“角”的統(tǒng)一，問(wèn)題便可突破.幾種常見(jiàn)變形：(1) a:b:c=sinA:sin

8、B:sinC;(2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中RABC外接圓的半徑；(3) sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=cosC.*工鳥(niǎo)U設(shè)厶abc的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且(2b.3c)cosA=3acosC.(1) 求角A的大??；(2) 若角B=f,BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為.7,求厶ABC的面積.解(1)/(2b.3c)cosA=.3acosC,(2sinB_3sinC)cosA=3sinAcosC.即2sinBcosA=,3sinAcosC+3sinCcosA./2sinBcosA=3sinB./sinB豐0,cosA叮n0<

9、A<n，A=6.n2n由知A=B=6,所以AC=BC,C=3,1設(shè)AC=x,貝UMC=2x.又AM=7,在厶AMC中，由余弦定理得AC2+MC22ACMCcosC=AM2,=丹即x2+|/2xXcos120=(寸7)2，解得x=2,故SaaBC考點(diǎn)三正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【例3】(2013江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有:;1兩種路徑一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線步行到C現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻

10、速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長(zhǎng)為1260m,12 3經(jīng)測(cè)量cosA=cosC=一.13 5(1) 求索道AB的長(zhǎng)；(2) 問(wèn)：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？(3) 為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在厶ABC中，因?yàn)閏osA=蘭,cosC=一135所以sinA=盤(pán)，sinC=5從而sinB=sinn-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC由正弦定理ABsinCACsinB，得AB=-ACBsinC=1|360x)1040(m).sinB63565所以索道AB的長(zhǎng)為1040m.假設(shè)乙出發(fā)t

11、分鐘后，甲、乙兩游客距離為d,此時(shí)，甲行走了(100+50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得22212d2=(100+50t)2+(130t)22X130tx(100+50t)x-13=200(37t270t+50),1040由于0wtw130，即0wtw8,35故當(dāng)t=min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短.BCAC由正弦定理-BCA=SAB65乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50x(2+8+1)=550(m)，還需走710m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得一3w500誓w3，解得vw|25,v504314所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，乙步行的速度應(yīng)控制在&

12、#165;3°，625(單位：m/min)范圍內(nèi).擇元打應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題一般分為下列四步：(1) 分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等；(2) 根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3) 將所求的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解；(4) 檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案.北在南沙某海島上一觀察哨A上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60°的C處，12時(shí)20分測(cè)得船在海島北偏西60°的B處，12時(shí)40分輪船到

13、達(dá)位于海島正西方且距海島5km的E港口，如果輪船始終勻速直線前進(jìn)，問(wèn)船速為多少？解由題意，得輪船從C到B用時(shí)80分鐘，從B到E用時(shí)20分鐘.又船始終勻速前進(jìn)，所以BC=4EB.設(shè)EB=x,貝VBC=4x.由已知，得/BAE=30°/EAC=150°在厶AEC中，由正弦定理，得EC=AEsin/EAC=sinC，所以sinC=AEsin/EAC=EC=5sin150=5x=12X.在厶ABC中，由正弦定理，得BC=ABsin120=sinC，丄.ABBCsinC4x2x4衍AB=sin120=T=32在厶ABE中，由余弦定理，得222BE2=AB2+AE22ABAEcos30

14、=詈+252X垮X(qián)523=31=93(km/h).3所以該船的速度為93km/h.規(guī)律恙結(jié)1. 求解恒等變換的基本思路一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化思想“去異求同”的過(guò)程，具體分析如下:(1)首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心.(2)其次看函數(shù)名稱(chēng)之間的關(guān)系，通常切化弦(3) 再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).2. 解三角形的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1) 正、余弦定理是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角互化的依據(jù)，注意定理的靈活變形，如a=2RsinA,sinA=2R(其中2R為三角形外接圓的直徑)，a2+b2c2=2abcosC等，靈活根據(jù)條件求解三角形中的邊與角.(2) 三角形的有關(guān)

15、性質(zhì)在解三角形問(wèn)題中起著重要的作用，如利用"三角形的內(nèi)角和等A+BC于n”和誘導(dǎo)公式可得到sin(A+B)=sinC,sin=cos2等，利用"大邊對(duì)大角”可以解決解三角形中的增解問(wèn)題等.押題精練1.在厶ABC中，已知tanA護(hù)=sinC,給出以下四個(gè)結(jié)論: 1<sinA+sinB<2; sinA+cosB=1;222 cosa+cosB=sinC.其中一定正確的是A.B.C.D.答案D解析依題意,A+Btan丁sinA+B2A+Bcos-2A+B2sin2cos?sinA+B2A+B2cos2_1+cosA+BsinC=sinC.1+cosA+B/sinC豐0

16、,/1+cos(A+B)=1,cos(A+B)=0.n0<A+B<n,A+B=2，即ABC是以角C為直角的直角三角形.對(duì)于，由tan_B=1,得tanA=tanB,即A=B，不一定成立，故不正確；n對(duì)于，A+B=2,/sinA+sinB=sinA+cosA=>.j2sin(A+，/1<sinA+sinB<2，故正確；n對(duì)于，A+B=2，.22222sinA+cosB=sinA+sinA=2sinA，其值不確定，故不正確；對(duì)于，a+b=n，cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C，故正確.XX2X2.已知函數(shù)f(x)=.3sin4COS4+co

17、s4.(1) 若f(x)=1，求cos手一X的值；1(2) 在厶ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足acosC+?c=b，求f(B)的取值范圍.解(1)f(x)=3sinXcosX+cos444.3x1x1xn1=ysin2+2cos2+2=sin2+6+由f(x)=1，可得sin|+才=2.cosnn=cosn(3+x)=COS(3+x).2xn1=2sin(2+6)1=2'1 a2+b2c21(2)由acosC+尹=b,得a?ab+2°=b,22222b+ca1即b+ca=be,所以cosA=-.2bc2n2n因?yàn)锳(0,n,所以A=3,B+C=-3-,所

18、以0<B<2n，所以n<B+n<n所以f(B)=sinB+6+2i，3.專(zhuān)題突破練（推薦時(shí)間：60分鐘）、選擇題x/531.設(shè)a3都是銳角，且cosa=+,Sin(a+3)=5貝Vcos3等于C癥佃5C.25答案解析根據(jù)a3都是銳角，且cosa=-tT,sin2a+cos2a=1,5得sinnn4<°<2，又.飛泊(a+3=l，COS(a+®=5.又COS3=COS(a+3a=cos(a+3)cosa+sin(a+®sina鏟，故選A.252.已知cossina=43,貝ysina+壬的值是2*35b¥C.-54D.5

19、答案解析a+|sina=5.3.3?cos34a+ina=5<3,sin£+45,sina+尋=sin6+7t45.3.（2013遼寧）在厶ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=2b，且a>b,則/B等于nA6nB.32nCE答案解析由條件得asinBcosC+,sinBcosA=21依正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=?,11sin(A+C)=2，從而sinB=3,又a>b,且B(0,因此B=f4.銳角三角形ABC中,C=2B，則AC的范圍是(.2,2)(3,2)A.(0,2)C.(2,3)答案C解

20、析設(shè)厶ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則有AB=c=皿=沁B=2cosB則有ACbsinBsinBnn又C=2B<2，Bv：.又A=n(B+C)=n3B<?,nehnnb>6,即6<B<4,-_22<cosB<23.2<2cosB<3.3-5.已知ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是23a、b、c，且tanB=a2b2+c2，BCBA=2則tanB等于B.3-1C.2D2.3答案D解析由題意得,BCBA=|BC|BA|cosB=accosB=舟，即卩cosB=疵,由余弦定理，得22,2a+cb丄？/丄2.24cosB=c=c

21、?a+cb=1,2ac2ac所以tanB=22232=23,故選D.ab+c6.（2013重慶）4cos50tan40等于A.2b.3C.,3D.2,21答案解析4sin40cos40sin404cos50°tan40°cos402sin80sin40°2sin50°+30°sin40cos40cos40也sin50羊cos50sin40°°/3sin50°尸o='3.cos40cos40二、填空題7.（2013福建）如圖，在ABC中，已知點(diǎn)sin/BAC=乎，AB=32,AD=3,答案3解析sin/BAC

22、=sin（2/BAD）=cos/BAD,cos/BAD=2、23BD=AB2sina+cosa+AD22ABADcos/BAD=(32)2+322X32X3X即BD2=3,BD=3.&(2013安徽)設(shè)厶ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=.答案2n3解析由已知條件和正弦定理得：3a=5b,且b+c=2a,ntt5b門(mén)7b貝Ua=-3,c=2ab=-32,22a+bccosC=2ab1 2n2 又0<C<n,因此角C=3".9.已知tana+1n小2，且2<a<0,則22sina+sin2ac

23、osan答案2；55解析由tana+tana+1121tana得tana=.冗又2<a<0,可得sina=嚅.cosa422sina+sin2a故2sinasina+cos=22sina=5.510. 在ABC中，C=60°AB=.3,AB邊上的高為£,貝VAC+BC=答案11解析依題意，利用三角形面積相等有：112ABXh=ACXBCsin60,°”3X4=1ACXBCsin60,A"C=隊(duì)利用余弦定理可知cos6022AC+BC382X3222AC2+BC2AB2cos60=2ACXBC解得：AC2+BC2=¥.3222又(AC

24、+BC)=AC+BC+2ACXBC17,16亍+亍11,AC+BC=11.三、解答題n211. 已知函數(shù)f(x)=sin(2x6)+2cosx1(xR).(1) 求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；1(2) 在厶ABC中，三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知f(A)=3,2a=b+c,bc=18,求a的值.解(1)f(x)=sin(2x-訴2cos2x11in2xgeos2x+cos2x2x+.31="sin2x+cos2x=sinnnn令2kn2x+2kn+尹Z),得kn乂三"+$kZ),即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為knfkn+諛Z).1n1由f(A)=2，得sin(2A+6

25、)=n6<2A+nn<2n+/+討n3.由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=(b+c)23bc.又2a=b+c,bc=18,a2=4a23X18,即a2=18,a=3.2.2AB12. (2013四川)在厶ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cos2cosBsin(A3 B)sinB+cos(A+C)=5.(1)求cosA的值；若a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.2A一B3解(1)由2coscosBsin(AB)sinB+cos(A+C)=5得3cos(AB)+1cosBsin(AB)sinBcosB=53即cos(AB)cosBsin(AB)sinB=5.3