初中數(shù)學競賽專項訓練找規(guī)律題

1、培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察觀察一一歸納一猜想一一找規(guī)律給出幾個具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結論？由題的思路是實施特殊向一般的簡化；具體方法和步驟是：（1）通過對幾個特例的分析，尋找規(guī)律弁且歸納；（2）猜想符合規(guī)律的一般性結論；（3）驗證或證明結論是否正確，下面通過舉例來說明這些問題？基本技巧（一）標出序列號：例如，觀察下列各式數(shù):我們把有關的量放在一起加以比較：給出的數(shù)：0,3,8,15,24,。序列號：1,2,3,4,5,。0,3,8,15,24,2容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項是n-1（二）公因式法：每位數(shù)分成

2、最小公因式相乘，然后再找規(guī)律，看是不是與2n,或2n、3n有關。例如：1,9,25,49,（81）,（121）,的第n項為（2n1）,1,2,3,4,5.。，從中可以看出n=2時，正好是2X2-1的平方，n=3時，正好是2X3-1的平方，以此類推。（三）增副A:2、9、28、65?增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、183答案與3有關且是n的3次幕，即：n+1B:2、4、8、16.增幅是2、4、8答案與2的乘方有關即:（四）時減去第一位數(shù)，成為第二位開始的新數(shù)列，然后用（一）技有的可對每位數(shù)同、（二）、（三）巧找出每位數(shù)與位置的關系。再在找出的規(guī)律上加上第一位數(shù)，恢復到原來。例：2、5、

3、10、17、26，同時減去2后得到新數(shù)列：0、3、8、15、24，序列號：1、2、3、4、5,從順序號中可以看出當n=1時，得1*1-1得0,當n=2時，2*2-1得3,3*3-1=8以此類推，得到第n個數(shù)為n-1o再看原數(shù)列是同時減2得到的新數(shù)列，則在n-1的基礎上加2,得到原數(shù)列第n項n1（五）有的可對每位數(shù)同時加上，或乘以，或除以第一位數(shù)，成為新數(shù)列，然后，在再找出規(guī)律，弁恢復到原來。例：4,16,36,64,?,144,196，？同除以4后可得新數(shù)列是同除以4得到的新數(shù)列，24*100=40000（一）等差數(shù)列1、4、9、16所以求出新數(shù)列（第一百個數(shù)）2,很顯然是位置數(shù)的平方，得到新

4、數(shù)列第n項即n,原數(shù)列2n的公式后再乘以4即，4n,則求出第一百個數(shù)為例題：2,5,8,()0例題5:12,15,18,(),24,27培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察(二)等比數(shù)列例題1:2,1,1/2,()。A.0B,1/4C.1/8D.-1例題2:2,8,32,128,()。(三)平方數(shù)列1、完全平方數(shù)列：正序：1,4,9,16,25逆序：100,81,64,49,362、一個數(shù)的平方是第二個數(shù)。1)直接得出：2,4,16,(256)解析：前一個數(shù)的平方等于第二個數(shù)，答案為256o2)一個數(shù)的平方加減一個數(shù)等于第二個數(shù)：1,2,5,26,(677)前一個數(shù)的平方加1等于第二個數(shù)，答案為677

5、。3、隱含完全平方數(shù)列：1)通過加減一個常數(shù)歸成完全平方數(shù)列：0,3,8,15,24,(35)前一個數(shù)加1分別得到1,4,9,16,25,分別為1,2,3,4,5的平方，答案352)相隔加減，得到一個平方數(shù)列：例：65,35,17,(3),1A.15B.13C.9D,3解析：不難感覺到隱含一個平方數(shù)列。進一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1,35等于6的平方減1,17等于4的平方加1,再觀察時發(fā)現(xiàn)：奇位置數(shù)時都是加1，偶位置數(shù)時都是減1,所以下一個數(shù)應該是2的平方減1等于3,答案是Do*(四)立方數(shù)列立方數(shù)列與平方數(shù)列類似。例題1:1,8,27,64,(125)解析：數(shù)列中前四項為1,2,

6、3,4的立方，顯然答案為5的立方，為125。例題2:0,7,26,63,(124)解析：前四項分別為1,2,3,4的立方減1,答案為5的立方減1,為124。(五)、加法數(shù)列數(shù)列中前兩個數(shù)的和等于后面第三個數(shù)：n1+n2=n3例題1：1,1,2,3,5,(8)。A8B7C9D10解析：第一項與第二項之和等于第三項，第二項與第三項之和等于第四項，第三項與第四項之和等于第五項，按此規(guī)律3+5=8答案為Ao例題2:4,5,(9),14,23,37A6B7C8D9A.20B.21C.22D.23解析：與例一相同答案為D例題3:22,35,56,90,(145)99年考題A162B156C148D145解

7、析：22+35-仁56,35+56-仁90,56+90-仁145，答案為D(六)、減法數(shù)列前兩個數(shù)的差等于后面第三個數(shù)：n1-n2=n3例題1:6,3,3,(0),3,-3A0B1C2D3解析：6-3=3,3-3=0,3-0=3,0-3=-3答案是A。(提醒您別忘了：空缺項在中間，從兩邊找規(guī)律”)培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察(七)、乘法數(shù)列1、前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)例1：1,2,2,4,8,32,(256)前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)，答案是256o例題2:2,12,36,80,()(2007年考題)A.100B.125C.150D.175解析：2X1,3總，4X9,5X16自然下一項應該為

8、6X25=150選C,此題還可以變形為：12,22324,425 1.,以此類推，得出nE1)2、兩數(shù)相乘的積呈現(xiàn)規(guī)律：等差，等比，平方等數(shù)列。例題2:3/2,2/3,3/4,1/3,3/8(A)(99年海關考題)A1/6B2/9C4/3D4/9解析：3/22/3=12/3X/4=1/23/4X3=1/41/3X8=1/83/8X1/16答案是A。(八)、除法數(shù)列與乘法數(shù)列相類似，一般也分為如下兩種形式：1、兩數(shù)相除等于第三數(shù)。2、兩數(shù)相除的商呈現(xiàn)規(guī)律：順序，等差，等比，平方等。(九)、質數(shù)數(shù)列由質數(shù)從小到大的排列：2,3,5,7,11,13,17,19-(十)、循環(huán)數(shù)列幾個數(shù)按一定的次序循環(huán)

9、出現(xiàn)的數(shù)列。例：3,4,5,3,4,5,3,4,5,3,4以上數(shù)列只是一些常用的基本數(shù)列，考題中的數(shù)列是在以上數(shù)列基礎之上構造而成的，下面我們主要分析以下近幾年考題中經常出現(xiàn)的幾種數(shù)列形式。1、二級數(shù)列這里所謂的二級數(shù)列是指數(shù)列中前后兩個數(shù)的和、差、積或商構成一個我們熟悉的某種數(shù)列形式。例1:26122030(42)A.38B.42C.48D.56解析：后一個數(shù)與前個數(shù)的差分別為：4,6,8,10這顯然是一個等差數(shù)列，因而要選的答案與30的差應該是12,所以答案應該是Bo例2:2022253037()A.39B.45C.48D.51解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：2,3,5,7這是一個質數(shù)

10、數(shù)列，因而要選的答案與37的差應該是11,所以答案應該是CO例5:34716(43)例3:25112032(47)A.43B.45C.47D.49解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：3,6,9,12這顯然是一個等差數(shù)列，因而要選的答案與32的差應該是15,所以答案應該是Co例4:4571119(35)A.27B.31C.35D.41解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：1,2,4,8這是一個等比數(shù)列，因而要選的答案與19的差應該是16,所以答案應該是CO18的差應該是-1,所以答案應該是D例&1,3,7,15,31,(6331的差應該是32,所以答案應該是CO例9:(69),36,19,10,5

11、,2A.77B.69C.54D.48培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察A23B17C39D.43解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：差應該是27,所以答案應該是DO例6:3227232018(17)A.14B.15C.16D.171,3,9這顯然也是一個等比數(shù)列，因而要選的答案與16的解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為:-5,-4, -3,-2這顯然是一個等差數(shù)列，因而要選的答案與例7:1,4,8,13,16,20,(25)A.20B.25C.27D.28解析:的差應該是后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為:5,所以答案應該是Bo3, 4, 5, 3,4這是一個循環(huán)數(shù)列，因而要選的答案與20A.61B.62

12、C.63D.64解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為:2, 4, 8, 16這顯然是一個等比數(shù)列，因而要選的答案與解析：前一個數(shù)與后一個數(shù)的差分別為：后面的數(shù)應該是17*2-1=33,因而33+36=69例10:1,2,6,15,31,(56)3, 5,答案應該是9,Bo17這個數(shù)列中前一個數(shù)的2倍減1得后一個數(shù),A.53B.56C.62D.87解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為:與31的差應該是25,所以答案應該是Bo例11:1,3,18,216,(5184)1,4,9, 16這顯然是一個完全平方數(shù)列，因而要選的答案A.1023B.1892C.243D.5184解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的比值分

13、別為：的比值應該是24,所以答案應該是D:216*24=5184例12:-21716(28)433, 6, 12這顯然是一個等比數(shù)列，因而要選的答案與216A.25B.28C.3lD.35解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差值分別為:3, 6, 9這顯然是一個等差數(shù)列，因而要選的答案與16的差值應該是12,所以答案應該是B例13:1361015()A.20B.21C.30D.25解析：相鄰兩個數(shù)的和構成一個完全平方數(shù)列，即:1+3=4=22,6+10=16=42,則15+?=36=62呢，答案應該是Bo例14:102,96,108,84,132,(36),(228)解析： 后項減前項分別得-6,12,

14、-24,48,是一個等比數(shù)列， 則48后面的數(shù)應為-96,132-96=36,再看-96后面應是96X2=192,192+36=228。:、設計類11111培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察【例1】在數(shù)學活動中，小明為了求的值(結果用n表示)，設計如圖所示的圖形。(1)請你利用這個幾何圖形求1111一+,1的值為M1BM1B工動態(tài)類【例 31 右圖是一同形圖，其同形通道的寬與0B的長均為1,同形線與射線0A交于點Ai,A,氏,若從0點至UA1點的同形線為第1圈(長為7),從Ai點至UA點的同形線為第2圈，”，依此類推。則第10圈的長為oEl【例4】已知甲運動方式為：先豎直向上運動1個單位長度后，再水

15、平向右運動2個單位長度；乙運動方式為：先豎直向下運動2個單位長度后，再水平向左運動3個單位長度。在平面直角坐標系內，現(xiàn)有一動點P第1次從原點0出發(fā)按甲方式運動到點P,第2次從點P1出發(fā)按乙方式運動到點P,第3次從點P2出發(fā)再按甲方式運動到點P3,第4次從點P3出發(fā)再按乙方式運動到點P4,”。依此運動規(guī)律，則經過第11次運動后，動點P所在位置Pn的坐標是。解析：【例31我們從簡單的情形出發(fā)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第1圈的長為1+1+2+2+1,第2圈的長為2+3+4+4+2,第三圈的長為3+5+6+6+3,第四圈的長為4+7+8+8+4一， 歸納得到第10圈的長為10+19+20+20+10=79。【例

16、4】(3,4)四、計算類-：-?：；門：二，”則第n個等式可以表培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察1111(2)請你利用圖b,再設計一個能求.1的值的幾何圖形【例10】觀察下列等式：la+2xl=lx(l+2)2a+2x2=2x(2+2)7K為o解析：【例10】八-上八+J【例11】觀察下列各式：(x-l)(F+/+x+l)=-l,根據前面的規(guī)律,(其中n為正整數(shù))2(xT)(+x+l)=A3-1。？得：I):.1,n表示了自然數(shù)）ifc五、圖形類【例13】在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點。觀察圖中每一個正方形（實線）四條邊上的整點的個數(shù)，請你猜測由里向外第10個正方形（實線）

17、四條邊上的整點共有個解析：【例13】第一個正方形的整點數(shù)為2X4-4=4,第二個正方形的正點數(shù)有3X4-4=8,第三個正方形的整點數(shù)為4X44=12個，”故第10個正方形的整點數(shù)為11X4-4=40,【例14“*”代表甲種植物,企”代表乙種植物，為美化環(huán)境，采用如圖所示方案種植。按此規(guī)律，第六個圖案中應種植乙種植物株【例14】第一個圖案中以乙中植物有2X2=4個，第二個圖案中以乙中植物有3X3=9個，第三個圖案中以乙中植物有4X4=16個，”故第六個圖案中以乙中植物有7X7=49個.、數(shù)字排列規(guī)律題1觀察下列各算式：221+3=4=21+3+5=9=3,1+3+5+7=16=4按此規(guī)律（1）試

18、猜1+3+5+7+-+2005+2007的值？想（2）推廣：1+3+5+7+9+?+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？2、下面數(shù)列后兩位應該填上什么數(shù)字呢？35812173、請?zhí)畛鱿旅鏅M線上的數(shù)字7、100個數(shù)排成一行，其中任意三個相鄰數(shù)中，中間一個數(shù)都等于它前后兩個數(shù)的和，如果這前兩個數(shù)依次為1,0,那么這100個數(shù)中0的個數(shù)為個.幾何圖形變化規(guī)律題1、觀察下列球的排列規(guī)律（其中？是實心球，O是空心球）從第1個球起到第2004個球止，共有實心球個.2、觀察下列圖形排列規(guī)律（其中是三角形，口是正方形，O是圓）培養(yǎng)思維的高度訓練敏銳的觀察1123584、有一串數(shù)，它的排列規(guī)律是什么？5、有一

19、串數(shù)字36102112、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聰明的你猜猜第100個數(shù)是1521第6個是什么數(shù)?6、觀察下列一組數(shù)的排列：A.1B.2C,31、2、3、4、3、2、1、2、3、4、D43、2、1、，那么第2005個數(shù)是（100個數(shù)的，口0公口口0公口0公口口0口三、,若第一個圖形是正方形，則第2008個圖形是（填圖形名稱）？數(shù)、式計算規(guī)律題已知下列等式：13=12;13+23=13+23+13+23+由此規(guī)律知,32;33=62;33+43=102;第個等式是2、 觀察下面的幾個算式:1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=161+2+3+4+5+4+3+2+仁25,根據你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你直接寫出下面式子的結果:1+2+3+,+99+100+99+,+3+2+1=3、11+2+3+,+100=?經